Décembre 2019, 3e défi

Le 20 décembre 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 51

Quel est le plus petit nombre entier positif qui peut s’écrire comme la différence des carrés de deux nombres entiers de trois façons différentes ?

Solution du 2e défi de décembre :

Enoncé

La solution est $ 2019=11^3+7^3+7^3+1^3+1^3$.

Il est assez facile d’écrire $2019$ comme somme de sept cubes, puisque $2000=10^3+10^3$,

et donc \[2019=10^3+10^3+2^3+2^3+1^3+1^3+1^3.\]
Par contre pour réaliser $ 2019$ comme somme de cinq cubes, il faut utiliser des nombres plus grands que $10$.

Comme $13^3=2197$, on doit nécessairement utiliser un $11^3$ ou un $12^3$.

Avec $11^3$ on trouve
$11^3+7^3+7^3+1^3+1^3=1331+343+343+1+1=2019$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Décembre 2019, 3e défi

le 25 décembre 2019 à 13:05, par Hébu

On peut aussi les prendre impairs, en autorisant que 2 seulement soient distincts, et en cherchant les decompositions 1.(uvw), u.(vw), (uv)w

Par exemple avec 3,3,5, 45=49-4, etc
Avec 3,3,7, 63=64-1=144-81, etc
Avec 3,5,5, etc
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