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• Décembre 2020, 3e défi

  le 18 décembre 2020 à 08:08, par Al_louarn

  Soit $r$ le reste de $p$ modulo $10$. Alors $p-10$ et $p+10$ sont congrus à $r-1$ et $r+1$ modulo $3$ puisque $10$ est congru à $1$. Ainsi l’un des $3$ nombres $r-1,r,r+1$ est $0$ et donc l’un des nombres $p-10, p, p+10$ est multiple de $3$. Comme ils doivent être premiers, la seule solution est le triplet $3,13,23$. La réponse est $p=13$.

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• Décembre 2020, 3e défi

  le 19 décembre 2020 à 15:25, par ROUX

  J’ai lu les premiers mots de la solution précédente : ils m’ont orienté vers l’algèbre modulaire.
  Je décale le problème : je cherche q tel que q, q+10 et q+20 soient premiers.
  Or 10=3*3+1 et 20=3*6+2.
  Donc, il faut que q ne soit pas égale à 3*k+2 sinon 3*k+2+10=3*(k+4) qui est multiple de 3 et il ne faut pas que q soit égal à 3*k+1 sinon 3*k+1+20=3*(k+7) est multiple de 3.
  q ne peut donc être égale que à 3*k et comme il doit être premier il ne peut prendre que la valeur correspondant à k=1 soit q=3.
  3 puis 3+10=13 puis 3+20=23 sont premiers.
  q+10=p donc, un seul nombre premier qui est 3.

  Je relis la solution précédente, difficile pour moi mais je repère une histoire de multiple de 3 : je ne sais donc pas trop bien si ma solution n’est pas fondamentalement la solution précédente rédigée différemment... Auquel cas, eh bien, j’en suis désolé !

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