Décembre 2020, 3e défi

Le 18 décembre 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».
De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 51
Déterminer tous les nombres premiers $p$ tels que $p-10$ et $p+10$ soient aussi premiers.

Solution du 2e défi de décembre :

Enoncé

La réponse est : $10$ personnes.

Soit $A$ une personne du groupe. Alors $A$ connaît au plus trois personnes, disons $B, C$ et $D$. Chacune des personnes $B, C$ et $D$ connaît au plus trois personnes, mais cela inclut $A$. Par conséquent, $B$ connaît au plus deux autres personnes en dehors de $A, B, C, D$.

De même $C$ et $D$ connaissent chacune au plus deux personnes en dehors de $A, B, C, D$. Mais toute personne du groupe est connue de $A$ ou de $B$, ou de $C$, ou de $D$.

Donc il y a au plus $1+3+6=10$ personnes dans ce groupe.

Réciproquement, on voit sur le dessin ci-dessous une configuration de 10 personnes où chacune connaît trois personnes et où deux personnes quelconques ont une connaissance commune.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Décembre 2020, 3e défi

le 18 décembre 2020 à 08:08, par Al_louarn

Soit $r$ le reste de $p$ modulo $10$. Alors $p-10$ et $p+10$ sont congrus à $r-1$ et $r+1$ modulo $3$ puisque $10$ est congru à $1$. Ainsi l’un des $3$ nombres $r-1,r,r+1$ est $0$ et donc l’un des nombres $p-10, p, p+10$ est multiple de $3$. Comme ils doivent être premiers, la seule solution est le triplet $3,13,23$. La réponse est $p=13$.
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Décembre 2020, 3e défi

le 19 décembre 2020 à 15:25, par ROUX

J’ai lu les premiers mots de la solution précédente : ils m’ont orienté vers l’algèbre modulaire.
Je décale le problème : je cherche q tel que q, q+10 et q+20 soient premiers.
Or 10=3*3+1 et 20=3*6+2.
Donc, il faut que q ne soit pas égale à 3*k+2 sinon 3*k+2+10=3*(k+4) qui est multiple de 3 et il ne faut pas que q soit égal à 3*k+1 sinon 3*k+1+20=3*(k+7) est multiple de 3.
q ne peut donc être égale que à 3*k et comme il doit être premier il ne peut prendre que la valeur correspondant à k=1 soit q=3.
3 puis 3+10=13 puis 3+20=23 sont premiers.
q+10=p donc, un seul nombre premier qui est 3.

Je relis la solution précédente, difficile pour moi mais je repère une histoire de multiple de 3 : je ne sais donc pas trop bien si ma solution n’est pas fondamentalement la solution précédente rédigée différemment... Auquel cas, eh bien, j’en suis désolé !
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