Décembre 2014, 3ème défi

Le 19 décembre 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 51 :

Jean et Louis ont chacun un plateau de jeu de type échiquier, avec $L$ lignes, $C$ colonnes et $P$ pièces. Jean place toutes ses pièces, pas plus d’une par case, de sorte que $8$ lignes soient vides et que chacune des autres ait $9$ cases vides. Louis dispose toutes ses pièces de façon que $12$ lignes soient vides et chacune des autres ait $6$ cases vides. Combien vaut le rapport $\frac{C}{L}$ ?

Solution du 2ème défi de Décembre

Enoncé

La réponse est $20\left (\sqrt{2}-1\right )$ cm.

Appelons $x$ la longueur des côtés adjacents à l’angle droit des triangles rectangles isocèles et $y$ la longueur des côtés de l’octogone. On a alors $2x+y=20\,cm$.

Chaque triangle rectangle isocèle a pour côtés $x$, $x$, $y$. En appliquant le théorème de Pythagore, on a $2x^2=y^2$, soit $y=x\sqrt{2}$.
On obtient alors

$ 2x+x\sqrt{2} = 20$

$x = \frac{20}{2+\sqrt{2}}=\frac{20(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}= (20-10\sqrt{2})$ cm.

Par conséquent $y=\left (20\sqrt{2}-20\right)=20\left (\sqrt{2}-1\right )$ cm est la longueur de chaque côté de l’octogone.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Décembre, 3ème défi

le 19 décembre 2014 à 08:53, par gedspilett

Bonjour

Pour Jean P= LC-8C-9(L-8)=LC-8C-9L+72

Pour Louis P= LC-12C-6(L-12)= LC-12C-6L+72

ce qui implique LC-8C-9L+72=LC-12C-6L+72

soit 4C=3L

donc C/L= 3/4
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