Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

Piste verte Le 5 août 2015  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (6)

Un découpage élégant qui date du dix-neuvième siècle et permet d’illustrer le théorème de Pythagore. Les trois pièces du puzzle peuvent être accrochées ensemble pour en faire un jouet d’un seul tenant.

Rediffusion d’un article publié le 4 septembre 2011.

La construction présentée ici est due à l’astronome Airy, vers 1855 [1]. Elle donne lieu à une jolie preuve « mécanique » du théorème de Pythagore, que nous expliquerons à la fin de ce texte. Mais commençons par expliquer ce découpage d’Airy.

La construction

Dans une feuille de papier, tracez deux carrés accolés. Un côté
du grand carré prolonge un côté du petit pour former un long
segment. Vous obtenez la figure suivante :

Deux carrés accolés

Ici, le petit carré est placé à droite, le grand à gauche. Les longueurs des côtés sont égales
à $3$ et $4$ respectivement (nous aurions pu choisir d’autres longueurs).

Placez vous en l’extrémité de ce segment qui forme
un sommet du grand carré, et reportez la longueur du côté du petit
carré. Tracez alors un trait joignant le point obtenu aux sommets
opposés des carrés, comme sur la figure ci-dessous.

La figure de départ

On remarquera que deux triangles semblables apparaissent.
Ils ont tous les deux un angle droit, et les côtés issus de cet angle ont
la même longueur dans chacun des deux triangles (soit $3$ et $4$
dans le cas de la figure présentée ici). Un coloriage s’impose alors :

La même figure, après coloriage

Après avoir découpé chacune des trois pièces de ce puzzle,
nous pouvons maintenir deux coins accrochés et faire doucement
tourner chacun des triangles autour de ce coin, comme ceci :

On déploie les ailes

Encore et encore

Puis on les rabat

Doucement

Pour refermer la figure

Et pour ceux qui n’aiment pas tourner la tête, nous obtenons un carré :

Si vous n’avez pas envie de réaliser votre propre découpage d’Airy
mais voulez jouer avec sur votre ordinateur, vous pouvez utiliser le
fichier geogebra suivant, aimablement fourni par Christophe Boilley :

GeoGebra - 2.1 ko

Et le théorème de Pythagore

Voici maintenant quelques petites remarques finales.

Notons $a$ la longueur
du petit côté, $b$ la longueur du grand, et $c$ la longueur du grand côté des triangles rectangles
qui sont apparus (c’est l’hypoténuse de ce triangle à angle droit). Dans notre
exemple, nous avons donc $a=3$ et $b=4$.
La pièce initiale a une aire totale qui est égale à la somme de deux carrés :
\[ Aire = a \times a + b \times b. \]
La figure finale est un carré de côté $c$, son aire est donc égale à $c\times c$.
Puisqu’il n’y a eu ni perte ni gain d’aire au cours de la transformation,
nous obtenons
\[ Aire = a \times a + b \times b = c\times c, \]
soit $a^2 + b^2 = c^2$ avec une autre notation équivalente. C’est le théorème
de Pythagore : dans un triangle à angle droit, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans notre exemple, le lecteur pourra vérifier que $c=5$ (utiliser le théorème de Pythagore, ou mesurer
sur l’écran).

Une dernière propriété de cette figure, pour le plaisir. Au lieu de faire tourner les deux triangles autour de sommets fixes, nous pouvons les déplacer par translation.
Le triangle en haut à droite sera translaté en bas à gauche, et le triangle de gauche translaté en bas à droite. À nouveau, un carré apparaît, dans lequel les triangles rose et violet ont été permutés.

Pour finir, signalons simplement que l’existence d’un puzzle permettant de passer de la figure initiale à un carré de même aire en ré-assemblant ses pièces relève d’un principe général : de tels découpages existent pour tous les polygones du plan ; c’est le théorème de Bolyai et Gerwien, expliqué dans l’article de Daniel Perrin sur ce site. Ce qui est plus surprenant avec la construction d’Airy, c’est que le puzzle ne comporte que trois pièces et que celles-ci peuvent être liées en deux sommets par des articulations. Ceci permet de réaliser des modèles en bois que l’on trimbale sur soi sans jamais perdre l’une des trois pièces. De quoi impressionner ses amis ... ou en garder des exemplaires en classe et les faire manipuler par les élèves sans avoir à reconstituer les puzzles une fois la classe terminée.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant :
thoms, Bruno Duchesne, bedaride nicolas et Christophe Boilley.

Notes

[1Suivant les sources, la construction est due à George Biddle Airy, ou à Philip Kelland. Plus précisément, le livre de Greg N. Frederickson intitulé « Dissections, Plane and Fancy » stipule que G. B. Airy en fit part à W. R. Hamilton en 1855, tandis que John Bryant et Chrys Sangwin renvoie à un texte de P. Kelland de 1864 (voir leur livre intitulé « How Round Is Your Circle ».

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Découpage d’Airy et théorème de Pythagore» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Image obtenue sur le site de Wikipedia, représentant G. B. Airy, elle-même issue du Popular Science Monthly, volume 3.

Commentaire sur l'article

  • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

    le 6 septembre 2011 à 22:30, par François Brunault

    Un découpage similaire est peut-être suggéré dans un commentaire du livre Les neuf chapitres, classique par excellence de la mathématique chinoise. Il s’agit du puzzle de Gougu. Il est donc possible que ce découpage ait en fait été découvert il y a longtemps (Karine Chemla pourrait certainement donner plus de détails à ce sujet). Pour ceux que cela intéresse, je recommande cette présentation vidéo très intéressante des Neuf chapitres par Karine Chemla.

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  • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

    le 29 septembre 2011 à 00:24, par Olivier

    Bonjour, je ne suis absolument pas mathématicien (malheureusement) et je me pose une question toute bête. Pourquoi passer d’une forme triangulaire à une forme carrée comme sur votre exemple, en d’autre terme à quoi sert le théorème de Pythagore ? Les grecs anciens à ma connaissance étaient des gens plutôt pragmatiques et lorsqu’ils ne s’émerveillaient pas devant les lois cachées de la nature (Pythagore), ils cherchaient et enseignaient des règles « utiles » à leurs concitoyens et à la vie de tous les jours (calcul des surfaces, calculs de proportions en architecture etc.). Aussi quel est l’intérêt pragmatique de calculer la surface totale de trois aires à partir d’un triangle ?
    Merci est désolé de l’aspect vraiment terre à terre de ma question.

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    • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

      le 14 novembre 2011 à 22:14, par Olivier

      Bonjour à moi même !
      Les mathématiciens seraient-ils des sortes de consultants auprès de qui il vaudrait mieux poser des questions dont les réponses sont déjà connues (au risque sinon de perdre la signification de sa propre question) ? Ou alors une espèce de psychanalyste qui vous répondrait inlassablement « soigne toi toi même et revient me voir quand tu seras guéri » ?
      Bon, j’ai questionné mon entourage, perdu beaucoup d’amis (qui me croyaient « intelligent » !) puis j’ai appris d’un collègue au bord de la crise de nerf que le théorème n’était pas grec mais d’origine égyptienne ... soit !
      Et en effet, le site de wiki sur la construction mathématiques de la pyramide de Chéops m’oriente, enfin, vers un début de réponse : http://fr.wikipedia.org/wiki/Observation_mathématique_de_la_pyramide_de_Khéops.
      Les égyptiens recherchent une « pente » dotée d’une proportion idéale à leurs yeux (selon un rapport de 14/11ème). Ils leur faut donc calculer ici la longueur de l’hypoténuse, en faisant varier hauteur ou base du triangle afin d’obtenir « la pente idéale ». Puis répéter l’opération symétriquement pour obtenir une pyramide « parfaite ».

      Satisfait d’avoir répondu à ma question, je tombe sur le livre de Pierre Brémaud, « le dossier Pythagore », et là ... patatras ! La piste égyptienne est à abandonner faute de source crédible sur le contenu de la trousse à outil mathématiques de l’architecte égyptien.
      En fait c’est à Babylone, en Mésopotamie, qu’il faut chercher la source véritable du théorème, même si les Grecs eux-même ont semblé l’ignorer. C’est par un « poème » de ce type que les babyloniens se transmettaient la connaissance :
      "... Toi, prends le carré de 30 tu trouveras 900.
      Soustrais 6 de 30 tu trouveras 24.
      Prends le carré de 24 tu trouveras 576.
      Soustrais 576 de 900 tu trouveras 324.
      324 est combien au carré ?
      C’est 18 au carré.
      De 18 sur le sol il s’est éloigné."

      Bon, à mes yeux l’image du mathématicien ne s’est pas franchement amélioré. J’ai certainement encore du mal à pardonner les séances de tortures, pourtant lointaines, qui ont rythmées ma scolarité. Ah si, soyons honnête, Pierre Brémaud est mathématicien de son état, pourtant son livre sur Pythagore est diablement passionnant.

      Sans rancune !

      Répondre à ce message
    • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

      le 14 novembre 2011 à 22:18, par Olivier

      Bonjour à moi même !

      Les mathématiciens seraient-ils des sortes de consultants auprès de qui il vaudrait mieux poser des questions dont les réponses sont déjà connues (au risque sinon de perdre la signification de sa propre question) ? Ou alors une espèce de psychanalyste qui vous répondrait inlassablement « soigne toi toi même et revient me voir quand tu seras guéri » ?
      Bon, j’ai questionné mon entourage, perdu beaucoup d’amis (qui me croyaient « intelligent » !) puis j’ai appris d’un collègue au bord de la crise de nerf que le théorème n’était pas grec mais d’origine égyptienne ... soit !
      Et en effet, le site de wiki sur la construction mathématiques de la pyramide de Chéops m’oriente, enfin, vers un début de réponse.
      Les égyptiens recherchent une pente dotée d’une proportion idéale à leurs yeux (selon un rapport de 14/11ème). Ils leur faut donc calculer ici la longueur de l’hypoténuse, en faisant varier hauteur ou base du triangle afin d’obtenir « la pente idéale ». Puis répéter l’opération symétriquement pour obtenir une pyramide « parfaite ».

      Satisfait d’avoir répondu à ma question, je tombe sur le livre de Pierre Brémaud, « le dossier Pythagore », et là ... patatras ! La piste égyptienne est à abandonner faute de source crédible sur le contenu de la trousse à outil mathématiques de l’architecte égyptien.
      En fait c’est à Babylone, en Mésopotamie, qu’il faut chercher la source véritable du théorème, même si les Grecs eux-même ont semblé l’ignorer. C’est par un « poème » de ce type que les babyloniens se transmettaient la connaissance :
      « ... Toi, prends le carré de 30 tu trouveras 900.
      Soustrais 6 de 30 tu trouveras 24.
      Prends le carré de 24 tu trouveras 576.
      Soustrais 576 de 900 tu trouveras 324.
      324 est combien au carré ?
      C’est 18 au carré.
      De 18 sur le sol il s’est éloigné. »

      Bon, à mes yeux l’image du mathématicien ne s’est pas franchement amélioré. J’ai certainement encore du mal à pardonner les séances de tortures, pourtant lointaines, qui ont rythmées ma scolarité. Ah si, soyons honnête, Pierre Brémaud est mathématicien de son état, pourtant son livre sur Pythagore est diablement passionnant.

      Sans rancune !

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  • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

    le 5 octobre 2011 à 13:50, par log.bertrand

    Bonjour,
    Il me semble que cette démonstration est la m^me que celle de Thabit IBN QURRA, non ? En tout cas elle est très intéressante et très accessible !

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  • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

    le 12 octobre 2011 à 16:02, par Guichard Jean-Paul

    La construction d’Airy, avec la rotation des 2 triangles se trouve dans les Elémens de Géométrie de Clairaut (1753, Seconde partie, paragraphe XVII : Faire un quarré égal à deux autres pris ensemble). Clairaut explique comment trouver le point d’où tirer les 2 segments qui vont servir au découpage, et il déduit de façon évidente, dans le paragraphe suivant, le théorème de Pythagore, puisque l’aire du grand carré est la somme des aires des deux autres et que les côtés de l’un ou l’autre des triangles rectangles tournants sont les côtés des 3 carrés.

    D’où Clairaut tient-il ce découpage, en est-il l’auteur, je l’ignore. En tout cas les commentaires précédents suggèrent deux pistes à explorer.

    Abul Wafa (940-998) traite ce même problème mais avec un autre découpage, qui fait intervenir le même triangle rectangle.

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