La construction présentée ici est due à l’astronome Airy, vers 1855 [1]. Elle donne lieu à une jolie preuve « mécanique » du théorème de Pythagore, que nous expliquerons à la fin de ce texte. Mais commençons par expliquer ce découpage d’Airy.

La construction

Dans une feuille de papier, tracez deux carrés accolés. Un côté
du grand carré prolonge un côté du petit pour former un long
segment. Vous obtenez la figure suivante :

Deux carrés accolés

Ici, le petit carré est placé à droite, le grand à gauche. Les longueurs des côtés sont égales
à $3$ et $4$ respectivement (nous aurions pu choisir d’autres longueurs).

Placez vous en l’extrémité de ce segment qui forme
un sommet du grand carré, et reportez la longueur du côté du petit
carré. Tracez alors un trait joignant le point obtenu aux sommets
opposés des carrés, comme sur la figure ci-dessous.

La figure de départ

On remarquera que deux triangles semblables apparaissent.
Ils ont tous les deux un angle droit, et les côtés issus de cet angle ont
la même longueur dans chacun des deux triangles (soit $3$ et $4$
dans le cas de la figure présentée ici). Un coloriage s’impose alors :

La même figure, après coloriage

Après avoir découpé chacune des trois pièces de ce puzzle,
nous pouvons maintenir deux coins accrochés et faire doucement
tourner chacun des triangles autour de ce coin, comme ceci :

On déploie les ailes

Encore et encore

Puis on les rabat

Doucement

Pour refermer la figure

Et pour ceux qui n’aiment pas tourner la tête, nous obtenons un carré :

Si vous n’avez pas envie de réaliser votre propre découpage d’Airy
mais voulez jouer avec sur votre ordinateur, vous pouvez utiliser le
fichier geogebra suivant, aimablement fourni par Christophe Boilley :

Et le théorème de Pythagore

Voici maintenant quelques petites remarques finales.

Notons $a$ la longueur
du petit côté, $b$ la longueur du grand, et $c$ la longueur du grand côté des triangles rectangles
qui sont apparus (c’est l’hypoténuse de ce triangle à angle droit). Dans notre
exemple, nous avons donc $a=3$ et $b=4$.
La pièce initiale a une aire totale qui est égale à la somme de deux carrés :
\[ Aire = a \times a + b \times b. \]
La figure finale est un carré de côté $c$, son aire est donc égale à $c\times c$.
Puisqu’il n’y a eu ni perte ni gain d’aire au cours de la transformation,
nous obtenons
\[ Aire = a \times a + b \times b = c\times c, \]
soit $a^2 + b^2 = c^2$ avec une autre notation équivalente. C’est le théorème
de Pythagore : dans un triangle à angle droit, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans notre exemple, le lecteur pourra vérifier que $c=5$ (utiliser le théorème de Pythagore, ou mesurer
sur l’écran).

Une dernière propriété de cette figure, pour le plaisir. Au lieu de faire tourner les deux triangles autour de sommets fixes, nous pouvons les déplacer par translation.
Le triangle en haut à droite sera translaté en bas à gauche, et le triangle de gauche translaté en bas à droite. À nouveau, un carré apparaît, dans lequel les triangles rose et violet ont été permutés.

Pour finir, signalons simplement que l’existence d’un puzzle permettant de passer de la figure initiale à un carré de même aire en ré-assemblant ses pièces relève d’un principe général : de tels découpages existent pour tous les polygones du plan ; c’est le théorème de Bolyai et Gerwien, expliqué dans l’article de Daniel Perrin sur ce site. Ce qui est plus surprenant avec la construction d’Airy, c’est que le puzzle ne comporte que trois pièces et que celles-ci peuvent être liées en deux sommets par des articulations. Ceci permet de réaliser des modèles en bois que l’on trimbale sur soi sans jamais perdre l’une des trois pièces. De quoi impressionner ses amis ... ou en garder des exemplaires en classe et les faire manipuler par les élèves sans avoir à reconstituer les puzzles une fois la classe terminée.