Del otro lado del espejo : ¿ser el mismo o no ?

Prefacio de Valerio Vassallo, Profesor de la Université Lille 1 y matemático de la Cité des Géométries

Todas las mañanas uno se para frente al espejo de su sala de baño y observa su imagen. Después uno se lava la cara, se peina, se maquilla o se afeita. Mientras cumple con todos esos rituales tan viejos como la humanidad, se asombra al descubrir un ser que parece idéntico a uno mismo, pero que de todas maneras muestra algunas diferencias.

Uno se sorprende a sí mismo haciendo algunos gestos para comprender lo que ocurre. También se queda igual de maravillado cuando mira su propia imagen moviéndose en un charco de agua, un río o un lago. Los matemáticos y los físicos han recurrido a menudo a esos ejemplos para introducir uno de los mayores temas de las ciencias : la simetría. Los pintores han sido también muy sensibles a este fenómeno de reflexión. Un buen ejemplo de simetría está dado por el cuadro Narciso, atribuido a Caravaggio y conservado en la Galería Nacional de Arte Antiguo de Roma.

Esos fenómenos de reflexión no han pasado inadvertidos a los ojos de los científicos y han hecho de la simetría uno de los objetos más estudiados. Los matemáticos dicen que la imagen de nuestro cuerpo en el espejo es el simétrico de nuestro propio cuerpo en relación al plano del espejo. No se trata entonces solamente de contemplar una imagen (la suya en este caso), sino también de apreciar las diferencias.

Desde la escuela primaria los profesores sensibilizan a los niños con la noción de simetría por medio de dibujos. Con frecuencia les hacen trazar una línea recta sobre una hoja de papel (esta línea reemplazará al espejo), luego les piden a los niños que dibujen un objeto a la izquierda de esta línea, por ejemplo, una letra del alfabeto, una casa o un personaje, y que tracen su simétrico en relación a la línea.

El primer objeto dibujado se convierte en otro objeto. Si uno traza una segunda línea al lado del reflejo del objeto inicial y paralelo a la anterior, luego dibuja la imagen simétrica del segundo objeto en relación a esta línea, obtiene entonces un tercer objeto perfectamente idéntico al primero.

En un lenguaje más técnico, se puede decir que uno compuso las dos simetrías, es decir, que aplicó una simetría después de la otra. Se puede recalcar que el objeto inicial, al componer dos simetrías, experimentó un desplazamiento o, en lenguaje matemático, una traslación. Se comprende entonces por qué los matemáticos están tan interesados no solamente en una única simetría, sino también en los efectos logrados componiendo varias simetrías.

En algunos cursos, los profesores ilustran la teoría de las simetrías mediante experimentos con espejos de verdad. Así, uno o varios pequeños espejos (a menudo de forma rectangular) son dispuestos verticalmente, en paralelo o lado a lado, para reflejar objetos y observar así lo que sucede con sus imágenes. También es interesante observar en un espejo el movimiento de un péndulo y comprobar ¡que el movimiento de las varillas está al revés ! Se dice entonces que las simetrías conservan la longitud de las varillas, pero revierten el movimiento rotatorio. La simetría es, por lo tanto, una transformación de objetos, que cambia el sentido de las rotaciones y mantiene inalterables las longitudes. Por esta razón, entre otras, los matemáticos inventaron otro nombre para estos objetos no inalterados : los invariantes.

Cuando dos espejos forman un ángulo particular, se puede comprobar que el número de imágenes cambia en función del valor del ángulo. Parejas de espejos yuxtapuestas forman un caleidoscopio, nombre de origen griego que significa ’’mirar un lindo objeto’’. Las imágenes de los objetos obtenidos son sorprendentes y, como la palabra lo indica, son verdaderamente muy bellas. Parecen sugerir que el objeto inicial sufrió una rotación alrededor del eje formado por los dos espejos. Se pasa entonces del mundo real al mundo matemático. Los matemáticos, en efecto, descubrieron que los desplazamientos de figuras en el plano están todos engendrados por un único y mismo movimiento : ¡la simetría !

Las imágenes de caleidoscopios evocan a veces las que uno encuentra en papeles pintados, mosaicos y ornamentos. Las regularidades presentes en esas imágenes no deberían intrigar solo a los artistas, sino también hacer reflexionar a los matemáticos, apasionados por todo lo que les parezca ’’regular’’. Los científicos -siempre preocupados por buscar la simetría en sus objetos de estudio habituales como las ecuaciones algebraicas o los polígonos regulares- han llevado su atención hacia la simetría en sí, e inventaron una de sus herramientas más potentes para comprenderla, la teoría de grupos, que este libro aborda. Es sorprendente darse cuenta que los grupos fueron presentidos por los artesanos y artistas ¡que dejaron las primicias en los magníficos motivos de La Alhambra, en Granada ! Ese lugar simboliza por sí solo el cruce de los genios artístico y científico, y demuestra que la frontera entre arte y matemáticas a veces es tan sutil, que es difícil hacer la diferencia entre las dos.

Extracto del capítulo 6 - La simetría en todos lados

Una pequeña vuelta por el lado de la biología y de la química

La exploración de ese mundo es muy extensa : presenta, en efecto, numerosas ocasiones para detenerse y observar las manifestaciones naturales de la simetría.

La manifestación más espectacular de simetría es la de la doble hélice del ADN, una estructura introducida en nuestra cultura por James Watson (nacido en 1928) y Francis Crick (1916-2004) y que ha pasado a ser un ícono del progreso de la humanidad.

No obstante, en el campo biológico, existen centenares de ejemplos de procesos, motivos y formas en las que la simetría ha dejado su impronta, a menudo de manera discreta. Daremos aquí algunos cortos ejemplos. Así, el narval está acostumbrado a no tener más que un diente (y no un cuerno) que presenta un enrollamiento característico en espiral. Sin embargo, ciertos especímenes presentan dos. Y cuando este es el caso, los dos son hélices de simetría izquierda. Por otro lado, la superficie del adenovirus, un virus común, es icosaédrico y está dotado de una simetría básica. Los cuernos del argalí de Marco Polo (un tipo de carnero) siguen una simetría helicoidal y son enantiomorfos uno del otro. Podemos pensar también que las abejas son ilustres geómetras, y todavía ahora se investiga el mecanismo que las empuja a construir sus nidos de manera tan geométrica, formando celdas hexagonales perfectas.

Una mariposa, un ejemplo perfecto de simetría bilateral... ¿o de etología en acción ?

La música simétrica

Se puede hablar extensamente de la influencia más o menos importante de la simetría en la música, pero aquí solo vamos a citar algunas curiosidades musicales simétricas. Por ejemplo, compositores como Bach en el Arte de la Fuga y Mozart presentaron en piezas con evidente simetría. Un ejemplo accesible a todos es esta partitura de Mozart que se toca al unísono por dos violines, uno leyéndola a la derecha y el otro en el sentido inverso.

Partitura de la composición de Mozart titulada Der Spiegel (El Espejo).

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