Dentelles et flocons de neige arithmétiques

Piste rouge Le 12 juin 2015  - Ecrit par  Jouni Parkkonen, Frédéric Paulin Voir les commentaires

Le but de cet article est de présenter des constructions arithmétiques qui créent dans le plan de jolies dentelles. Elles sont obtenues par des floconnages successifs, en répartissant des points selon un hasard bien ordonné. Nous commencerons par décrire la situation analogue sur la droite, qui permet déjà de se poser des questions sur la qualité de la répartition de nos flocons de neige, tombant au fur et à mesure. Nous verrons que malgré les apparences, nos nuages de flocons ont un comportement statistiquement semblable à ceux des gaz parfaits de la thermodynamique.

Les nombres entiers (positifs ou négatifs) se représentent (voir le dessin ci-dessous) sur la droite numérique de manière harmonieuse, se suivant de la gauche vers la droite dans l’ordre croissant, séparés par une distance uniforme.

Lorsque l’on veut comprendre graphiquement une fraction donnée $\frac{p}{q}$ de deux nombres entiers $p$ (appelé le numérateur) et $q$ (appelé le dénominateur [1]), on peut commencer par subdiviser l’intervalle entre $0$ et $1$ en $q$ parties de longueur égales, et en mettre bout à bout $p$ exemplaires, voir le dessin ci-dessous avec $p=7$ et $q=5$.

Bien sûr, les gourmands préfèrent penser à des parts de tartes !

Mais si l’on veut essayer de représenter toutes les fractions de nombres entiers, des problèmes se posent, faisant apparaître des phénomènes intéressants :

  • la dichotomie : l’opération de couper en deux parties de longueur égales l’intervalle de départ et de recommencer sur chacun des intervalles obtenus est sans fin (cette division est mathématique, dans le monde physique, on arrive à des obstructions moléculaires !) :

(si l’on part de l’intervalle entre $0$ et $1$, tous les nombres que l’on obtient sont des fractions, mais l’on n’obtient pas toutes les fractions ainsi, seulement celles dont le dénominateur est une puissance de $2$) ;

  • la densité des fractions de nombres entiers dans la droite numérique : en regardant le dessin précédent, on se convainc que tout point de la droite numérique est à distance aussi petite que l’on veut d’une fraction de nombres entiers [2].

Une des possibilités, particulièrement exploitée par Farey [3], est d’essayer de représenter les fractions de nombres entiers en les regroupant par niveau, celles dont le dénominateur est au plus $1$, puis celles de dénominateur est au plus $2$, puis au plus $3$, etc. Nous n’effectuerons les dessins que dans l’intervalle entre $0$ et $1$, ils se répètent sur tous les intervalles entre deux nombres entiers consécutifs [4]. Les premiers niveaux peuvent se dessiner à la main (voir le dessin ci-dessous), le niveau 1 contenant deux fractions, le niveau 2 trois fractions, le niveau 3 cinq fractions, le niveau 4 sept fractions, le niveau 5 onze fractions.

Mais par la suite, il vaut mieux utiliser un ordinateur ! Les dessins suivants montrent respectivement les $13$ et les $100$ premiers niveaux de fractions de Farey dans l’intervalle entre $0$ et $1$.

PNG - 17.5 ko
(Cliquer sur l’image pour l’agrandir !)

Plusieurs questions apparaissent à la vue de ces dessins.

  1. Le nombre de fractions obtenues n’a pas l’air très régulier : seules les fractions où l’on ne peut pas simplifier le numérateur et le dénominateur par un même entier apparaissent. Est-il possible de les compter, ou du moins de donner des estimations sur leur nombre (voir le menu déroulant ci-dessous) ?
  2. La répartition de ces points n’a pas l’air très harmonieuse : on a l’impression qu’ils laissent des parties de l’intervalle moins remplies que d’autres, et que les longueurs des intervalles entre deux fractions de Farey de niveau donné est chaotique [5].

Dénombrement des fractions de Farey

Pour tout entier positif $n$, notons $F(n)$ le nombre de fractions $\frac{p}{q}$ entre $0$ et $1$, dont on ne peut pas simplifier numérateur et dénominateur par un même entier, telles que $q$ soit au plus $n$. Notons qu’alors $p$ est au plus $n$ aussi. Il y a au plus $n$ tels nombres entiers $q$, et, pour chacun d’entre eux, au plus $n+1$ nombres entiers $p$. Donc $F(n)$ est au plus $n(n+1)$. En comptant les fractions dont le numérateur est $1$, on obtient que le nombre $F(n)$ est au moins $n+1$. Mais des résultats bien plus précis sont connus depuis longtemps : la formule de Mertens [6] dit que $F(n)$ est de l’ordre de $\frac{3}{\pi^2}\;n^2$, plus précisément que la quantité
\[ (F(n)-\frac{3}{\pi^2}\;n^2)/(n\ln n) \]
reste bornée quand $n$ grandit.

Les dessins suivants montrent que le rapport $\frac{F(n)}{n^2}$ se rapproche de la valeur attendue $\frac{3}{\pi^2}= 0.303964...$, ainsi que les petites fluctuations autour de cette valeur. Le premier représente les valeurs de $\frac{F(n)}{n^2}$ pour $n$ compris entre $1$ et $10$, et le second pour $n$ compris entre $100$ et $1000$.

L’impression exposée au point 2. ci-dessus s’avère trompeuse (du moins à grande échelle) lorsque l’on essaie de la quantifier de la manière suivante. Commençons notre explication par une analogie physique. C’est un principe de la thermodynamique qu’un gaz (à grand nombre de particules) laissé libre dans une boîte tend à se distribuer uniformément dans la boîte. Il ne viendrait ainsi pas à l’idée à un gaz laissé à lui même de se répartir de la manière du dessin de gauche ci-dessous, en laissant des parties de l’espace ayant une proportion très faible de molécules : il essayera de se répartir au mieux, en occupant les espaces proportionnellement à leur volume, comme sur le dessin de droite ci-dessous.

Nous noterons $[x,y]$ l’intervalle de la droite numérique compris entre les points $x$ et $y$. Intéressons-nous à la proportion des points des niveaux dans un intervalle donné, c’est-à-dire au rapport du nombre de points du niveau dans cet intervalle par le nombre de points total du niveau. Par exemple, dans l’intervalle $[0.24, 0.54]$, pour les niveaux $3$, $5$ et $7$, la proportion est respectivement $0.400$, $0.363...$ et $0.315...$. Comme le montre le graphique ci-dessous, elle semble se rapprocher de la longueur de cet intervalle, qui est $0.3$, quand les niveaux (représentés horizontalement) augmentent.

Définition 1 : Considérons des parties finies de l’intervalle $[0,1]$ numérotées par les nombres entiers positifs $1,2,3,...$. Nous dirons que ces parties s’équidistribuent dans l’intervalle $[0,1]$ si pour tout intervalle $[a,b]$ entre $0$ et $1$, la proportion des points de la $n$-ème partie qui sont dans l’intervalle $[a,b]$ devient arbitrairement proche, quand $n$ devient grand, de la longueur de l’intervalle $[a,b]$.

Rappelons que le niveau $n$ des fractions de Farey est l’ensemble des fractions de nombres entiers $\frac{p}{q}$ dans l’intervalle $[0,1]$ dont le dénominateur $q$ est au plus $n$. Il est effectivement possible de montrer [7] que les niveaux des fractions de Farey s’équidistribuent dans l’intervalle $[0,1]$. Ceci se comprend sur les dessins, car il y a beaucoup de points proches de régions plus blanches que d’autres.

De nombreux résultats plus fins sont connus (donnant en particulier une explication à petite échelle des raisons pour l’impression exposée au point 2. ci-dessus). Mais nous souhaitons maintenant changer de dimension, pour étudier des problèmes de répartition de points dans le plan. Ce qui suit nécessite de parler des nombres complexes.

On représente graphiquement (voir le dessin ci-dessous) le nombre complexe $z=x+y\,i$ comme le point du plan de coordonnées $(x,y)$ (et donc le nombre complexe $i$, racine carrée imaginaire de $-1$ [8], comme $(0,1)$). La première coordonnée $x$ est appelée la partie réelle de $z$, et la seconde coordonnée $y$ est appelée la partie imaginaire de $z$. La distance de $z$ à l’origine du plan est $|z|= \sqrt{x^2+y^2}$. Le nombre complexe conjugué de $z=x+y\,i$ est le point $\overline{z}=x-y\,i$ de coordonnées $(x,-y)$, symétrique de $z$ par rapport à l’axe horizontal.

L’addition des nombres complexes se visualise bien comme l’addition des parties réelles et des parties imaginaires. Mais il est important pour notre propos de nous rappeler qu’il est possible de multiplier un nombre complexe $z$ par un nombre complexe $z'$, en multipliant leurs distances à l’origine et en ajoutant leurs angles avec l’axe horizontal. On peut aussi diviser un nombre complexe $z$ par un nombre complexe $z'$, en divisant leurs distances à l’origine et en soustrayant leurs angles avec l’axe horizontal, du moins quand $z'$ n’est pas le nombre complexe zéro (représenté par l’origine du plan), et on continue d’utiliser la notation $\frac{z}{z'}$ pour désigner le résultat de cette division.

Définition 2 : Les entiers de Gauss [9], qui sont des généralisations des nombres entiers dans le passage de la droite au plan, sont les points du plan dont les deux coordonnées sont des nombres entiers.

Les entiers de Gauss se répartissent harmonieusement dans le plan, en formant un réseau, comme le montre le dessin ci-dessous.

Comme les nombres entiers usuels, on peut multiplier les entiers de Gauss [10] et former des fractions d’entiers de Gauss $\frac{\bf p}{\bf q}$, qui sont des nombres complexes, où maintenant ${\bf p}$ et ${\bf q}$ sont des entiers de Gauss, avec bien entendu ${\bf q}$ qui n’est pas le nombre complexe zéro.

Représentation graphique des fractions d’entiers de Gauss

En multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur de $\frac{\bf p}{\bf q}$ par le nombre complexe conjugué $\overline{\bf q}$ de ${\bf q}$, on ne change pas ce nombre complexe, mais son dénominateur est maintenant ${\bf q}\overline{\bf q}=|{\bf q}|^2$, la somme des carrés des parties réelle et imaginaire de ${\bf q}$, qui a le bon goût d’être un entier usuel. On peut alors subdiviser les axes de coordonnées horizontaux et verticaux en parties égales de longueur $\frac{1}{|{\bf q}|^2}$. Les parties réelle $x$ et imaginaire $y$ de l’entier de Gauss ${\bf p} \overline{\bf q}$ sont des nombres entiers usuels, et le point $\frac{\bf p} {\bf q}$ est donc obtenu en prenant $x$ fois horizontalement la subdivision en $\frac{1}{|{\bf q}|^2}$ et $y$ fois verticalement la subdivision en $\frac{1}{|{\bf q}|^2}$ (en faisant attention aux signes !), voir le dessin ci-dessous pour un exemple.

Mais il est plus délicat que dans le cas de la droite de représenter les fractions d’entiers de Gauss dans leur ensemble. Elles satisfont aussi un principe analogue de densité dans le plan : on peut trouver des fractions de Gauss arbitrairement près de n’importe quel nombre complexe, il suffit par exemple d’appliquer le processus de dichotomie aux deux coordonnées à la fois.

Nous allons nous atteler à représenter les fractions $\frac{\bf p}{\bf q}$ d’entiers de Gauss par niveau. Pour tout entier $n$, le $n$-ème niveau est formé des fractions $\frac{\bf p} {\bf q}$ d’entiers de Gauss, qui sont dans le carré unité de sommets $0,1,i,1+i$, telles que ${\bf q}$ appartienne au disque de rayon $\sqrt{n}$ centré en l’origine du plan. Cette dernière condition signifie que la somme des carrés des parties réelle et imaginaire du dénominateur ${\bf q}$ est au plus $n$. Chaque niveau est fini [11]. Par exemple, le niveau $1$ est formé des quatre points $0,1,i,1+i$ ; le niveau $2$ est formé des cinq points $0,1,i,1+i, \frac{1}{1-i}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$, ainsi que le niveau $3$ ; le niveau $4$ est formé des neuf points $0,\frac{1}{2},1,\frac{i}{2},\frac{1}{1-i},\frac{2+i}{2},i,\frac{1+2\,i}{2},1+i$ ; le niveau $5$ est formé de dix-sept points qui, en plus des points du niveau $4$, sont $\frac{1}{2-i},\frac{1}{1-2\,i},\frac{2}{2-i},\frac{2}{1-2\,i},\frac{1+i}{2-i},\frac{1-i}{1-2\,i},\frac{2+i}{2-i},\frac{2-i}{1-2\,i}$, ainsi que les niveaux $6$ et $7$. Pour mieux visualiser les symétries, dans la suite de dessins ci-dessous, respectivement pour les niveaux $n=3$, $n=8$, $n=24$ et $n=99$, nous représentons en fait ces fractions d’entiers de Gauss dans les quatre carrés unités contenant l’origine du plan : en faisant tomber des flocons de neige dans le plan, de jolies dentelles apparaissent. Les couleurs, attribuées en fonction de la distance du dénominateur ${\bf q}$ à l’origine du plan, ne sont essentiellement là que pour des raisons artistiques.


Des observations similaires à celles sur la droite apparaissent :

  1. le nombre de points dessinés lorsque le niveau $n$ grandit n’a pas l’air de varier de manière très régulière ; de sorte que l’on peut se demander s’il est possible d’estimer le nombre de points dans le $n$-ème niveau des fractions d’entiers de Gauss de manière précise (voir le menu déroulant ci-dessous) ;
  2. à chaque niveau $n$ fixé, le diamètre maximal d’un disque centré en une fraction d’entiers de Gauss, et qui n’en contient pas d’autre, a l’air de varier de manière chaotique ; des régions plus blanches que d’autres apparaissent.

Dénombrement des fractions d’entiers de Gauss

Pour tout entier $n$, notons $G(n)$ le nombre de points dans le $n$-ème niveau des fractions d’entiers de Gauss. Alors on peut montrer que $G(n)$ est proche de $c\;n^2$ pour une constante explicite $c>0$, et plus précisément qu’il existe une constance $c'>0$ telle que la quantité
\[ (G(n)- c\;n^2)/(n^{2-c'}) \]
reste bornée. Des méthodes arithmétiques (voir par exemple le livre de H. Iwaniec et E. Kowalski, Analytic Number Theory, American Mathematical Society) peuvent donner des résultats plus précis. Pour une démonstration utilisant de la géométrie et de la dynamique, nous renvoyons à l’article de survol [12].

Malgré l’impression décrite dans le point 2. ci-dessus, les fractions d’entiers de Gauss satisfont néanmoins la propriété des gaz parfaits à l’équilibre, de répartition proportionnelle à l’aire : pour tout carré contenu dans le carré unité de sommets $0,1,i,i+1$, la proportion des points du $n$-ème niveau des fractions d’entiers de Gauss qui sont dans ce carré devient arbitrairement proche, quand $n$ devient grand, de l’aire de ce carré [13]. Ceci se comprend sur les dessins, car il y a beaucoup de points proches de régions plus blanches que d’autres.

Dans le plan, d’autres généralisations des nombres entiers sont possibles, nous ne nous intéresserons ci-dessous qu’aux entiers d’Eisenstein, c’est-à-dire aux nombres complexes de la forme $a+b\,j$ où $j=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ et $a,b$ sont des nombres entiers usuels. Comme pour les nombres entiers et les entiers de Gauss, la multiplication de deux entiers d’Eisenstein est encore un entier d’Eisenstein [14]. L’étude de la répartition des fractions d’entiers d’Eisenstein s’effectue de manière simultanée à celle pour les entiers de Gauss, et nous renvoyons donc aux mêmes références. Nous concluons cet article par deux dessins représentant pour $n=24$ et $n=99$, les fractions $\frac{\bf p}{\bf q}$ d’entiers d’Eisenstein, qui sont contenus dans le carré de sommets $1+i, -1+i, -1-i, 1-i$, et telles que la distance du dénominateur ${\bf q}$ à l’origine du plan est au plus $\sqrt{n}$.


Une analyse plus fine, permettant d’estimer de manière optimale la vitesse d’équidistribution et les fluctuations liées à l’absence apparente d’uniformité dans cette équidistribution, fait partie des problèmes actuels de recherche.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des Maths et les auteurs remercient les relecteurs Nicolas Duhamel et François Gramain pour leur lecture attentive et leurs commentaires judicieux.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Nous supposerons toujours qu’un dénominateur n’est pas zéro.

[2Voir par exemple ce site.

[3John Farey (1766-1826), géologue, écrivain et mathématicien anglais.

[4Pour une représentation sur le cercle des fractions de Farey, nous recommandons de consulter l’article de Marie Lhuissier, « Mon groupe préféré, PSL_2(Z), par Bruno Sevennec » — Images des Mathématiques, CNRS, 2015.

[5Pour le fait que les fractions avec un petit dénominateur sont moins bien approchées par les fractions de Farey de niveau donné, et d’autres informations précises sur la longueur des intervalles de Farey, nous renvoyons à l’excellent article de Shalom Eliahou, « Le problème 3n+1 : y a-t-il des cycles non triviaux ? (III) » - Images des Mathématiques, CNRS, 2011.

[6Voir par exemple le Theorem 330 du livre classique de G. H. Hardy et E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford Univ. Press, 6ème éd., 2008.

[7Voir la référence de la note précédente.

[8Voir l’article de Patrick Popescu-Pampu, « Ecrire les imaginaires » — Images des Mathématiques, CNRS, 2015.

[9C. F. Gauss (30 avril 1777 - 23 février 1855) est par
ailleurs le vulgarisateur de la notation $i$, voir la note précédente.

[10La formule algébrique $(x+y\,i)(x'+y'\,i)=(xx'-yy') + (xy'+yx')\,i$ de la multiplication des nombres complexes, obtenue en utilisant la relation fondamentale $i^2=-1$ et les règles algébriques usuelles, montre que le produit de deux entiers de Gauss est encore un entier de Gauss.

[11Utiliser le fait que pour tout entier $n$, le nombre de points du plan à distance au plus $n^2$ de l’origine, et dont les deux coordonnées sont entières, est fini.

[12Par les auteurs, A survey of some arithmetic applications of ergodic theory in negative curvature, disponible sur ce site.

[13Voir le Theorem 1 de l’article des auteurs On the arithmetic of crossratios and generalised Mertens’ formulas, Numéro Spécial ”Aux croisements de la géométrie hyperbolique et de l’arithmétique”, F. Dal’Bo, C. Lecuire eds, Ann. Fac. Scien. Toulouse 23 (2014) 967-1022.

[14Utiliser le fait que $j^2= -1-j$, ce qui se vérifie par un petit calcul.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Jouni Parkkonen, Frédéric Paulin — «Dentelles et flocons de neige arithmétiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

img_14293 - Tarte au pommes : http://www.passionfroid.fr
img_14295 - Roses : http://dreamatico.com/rose.html
img_14305 - Billes : http://mesbilles.fr/fr/
img_14307 - Tulipes : http://plantafond.blogspot.com/p/les-tulipes.html

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM