Des Nœuds Indétordables

Piste rouge Le 24 janvier 2015  - Ecrit par  Frédéric Le Roux, Patrick Massot Voir les commentaires (7)

John Pardon a démontré en 2010 que certains nœuds toriques ont une distorsion arbitrairement grande. Nœuds toriques ? Distorsion ?? Pas de panique ! Pour tout comprendre, il suffit de se mettre dans la peau d’un escargot ou d’une libellule...

Distorsion d’une courbe

Jojo l’escargot et Lulu la libellule habitent sur un nœud de trèfle, une belle courbe qui dessine trois pétales avant de se refermer sur elle-même. Pour aller d’un point à un autre, Jojo glisse le long de la courbe, tandis que Lulu peut voler en ligne droite. Leur façon de mesurer les distances est donc très différente.

Dans la vidéo ci-dessus, par exemple,
Lulu n’a que 3cm à parcourir pour aller d’un point rouge à l’autre ; pour Jojo, par contre, la distance le long de la courbe entre ces deux mêmes points est égale à 36cm environ. On évalue leur désaccord en calculant le rapport entre la distance mesurée du point de vue de Jojo, d’une part, et la distance mesurée du point de vue de Lulu, d’autre part : ce rapport est ici égal à 36/3 = 12. On a choisi justement dans la vidéo de représenter les deux points de la courbe pour lesquels leur désaccord est au maximum : pour tout autre choix de deux points, le rapport des deux mesures de distance est plus proche de 1. On dit que le nombre 12 est la distorsion de la courbe sur laquelle habitent Jojo et Lulu.

Jojo préfèrerait habiter sur une courbe où les distances sont les mêmes le long de la courbe ou à vol d’oiseau. Un instant de réflexion lui permet de se convaincre que ça n’est possible que sur une droite ou un segment. Mais les résidences en forme de droite coûtent infiniment cher, et les segments sont dangereux (on tombe quand on arrive au bout !). Quand même, il doit bien y avoir des courbes qui se referment sur elles-mêmes et dont la distorsion est plus petite que 12 ?

Et s’ils habitaient sur un cercle ? Le pire adviendrait pour deux points diamétralement opposés. Pour Lulu, ces points seraient à une distance égale au diamètre, tandis que pour Jojo leur distance serait égale à la moitié du périmètre ; puisque le périmètre d’un cercle est égal à son diamètre multiplié par le nombre $\pi$, le rapport des deux distances mesurées vaut la moitié de $\pi$. La distorsion du cercle est donc égale à la moitié de $\pi$, soit environ 1,57, ce qui serait quand même beaucoup mieux que pour le nœud de trèfle !

— Allons-y, dit Jojo : un coup de scie, quelques coups de marteau et un peu de colle, et je me fais fort de transformer notre demeure en un magnifique cercle !

Distorsion d’un nœud

Mais Lulu, qui a retrouvé leur contrat de location, tempère les ardeurs de l’escargot : il y est stipulé que si les travaux de déformation sont autorisés, l’usage de la scie est rigoureusement interdit.

— Tant pis ! Cherchons quand même, parmi toutes les courbes qu’on pourrait obtenir en déformant notre nœud de trèfle sans le déchirer, celle qui a la plus petite distorsion.

Plus facile à dire qu’à faire ! Les petites déformations semblent plutôt augmenter la distorsion, mais comment être certain qu’il n’y a pas une déformation astucieuse qui amènerait à une courbe moins distordue ?

La vidéo ci-dessus montre un nœud qui se déforme. A chaque instant, on a indiqué la distorsion du nœud, et colorié en rouge les deux points pour lesquels le désaccord entre Lulu et Jojo serait maximal. Dans cette vidéo on voit plusieurs choses remarquables.
Tout d’abord les déformations peuvent changer beaucoup l’allure d’un nœud : aviez-vous reconnu un nœud de trèfle déformé au début de la vidéo ? Ensuite on voit que la paire de points de désaccord maximal peut sauter subitement d’une région du nœud à une autre.

Le jour s’achève et nos deux amis s’endorment sans avoir résolu leur problème.
Lorsque Jojo se résove sort desili de co panu enviour ssa une cri,ulu la dessmde. ’en avonvird résv que 8217;en avmbe t ma#8217;un ngment. Mp>

— TaN, mac8217;écota bien y us pehoiveb !

— TaCment êta,ivird rus penou qbsp;?

Etdash; TaCmentur unceessine ,ecogdeur.

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Etdash; TaTu ns-.e co besnel"proleide mesiqure leur les etfuts chocoumatirsbsp; !!p>

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La nomuds toriques

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MaIl&ft laen y 8217;unairuerbsp;: avs mêhématiquens-.vo un nm à sotenir ens desidulta poucé cos un distorsion, e snomuds t. Voi éand même beelques couertreud, poetui ques coes con/rs/p>

Eturbes qurmenes vi> o). Voi ée autre. L\[ \acta{\mbox{stance le long de la courbe e}}{\mbox{stance le vol d&#Lulellule h}} \]r class='autobr' /> Lt stipricment d&us peande.ee si viitié de $\pi$, soit environ 1,5.57. Ceesidulta e $\khaïl Gromov, st au pr luuns lae liv enuubl en ro1981La dismontrsat dn est pltucieuse qmais coqu cot pltcssEnle qutoxotraud&as de demierre leanne du 8217;un niedte"é.pan class="auip_dos ee_fer -&[ href="#'#nb1'lass='spip_dos eerel='stfoots eeretle="E'Altleurs

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Jo DiQ scon/rbsp;: ap>an> < p>JoOu,t dentrat i, ilexte-roil av ccourbe qunt la distorsion esst plusierande. ue 12&00,t nofereelusierande. ue 12&00 lsque 8217;éonelaéforman bsp;?

EtPr lesquêhématiquens-.la dies con/ri Galmov, st auirrint, et nochivnrtaine./e la co href="http://imfr.wikipia/1rg/mawiki/Topologi class="bpip_dot lrel='stt" rrnal'>topologi a>, #8217;écoeud,emesirman si&71; pomle, sbsp;»

Di nomuds tors diffordue&se Jojo Pardon ah3>

Ma Aps dioir résolfor enrda"> d&us diftrèter'ute.la dies con/ri Galmov, saotra desolu l ns lejo Pardon a,ans lae ticle wrs s& ligne dr 2010 qu péubl en ro10 1pan class="auip_dos ee_fer -&[ href="#'#nb3'lass='spip_dos eerel='stfoots eeretle="E' videion estligne drseiouvéeas lesqeraivr des oucéubltion/rsbsp;-&(.3a> ]span> Lp/160DaIl&ft lair rcetteo conmion as-mentn cesidulta e&quelonbsp;Taasymptotue ! 1ruelonbsp;: pos le nœud de trèfle&n,ui den8217;endstern y d8217;autre&n e le nomud àrique34 (2,3),’escaonmion as Jojo Pardon a t do1/80ce qui se#8217;a qprt dbecou ndeinrmation asisque le distorsion, e sc#8217;a imrt dbeelqu courbe qut plffprimee d& pn c.ardoontre, lausier nombre $\ scutesuput plande.lausier 8217;escaonmion ast plinratessa uebsp;&#;e d-del dirla recflps pe la moes con/ri Galmov, s( de se ponbre $\&quelonbsp;Ta100bsp;?<1ruelon peu deurovatioee ),ette ticle w us ?

JoLelecteurs

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JoLeleux po ges desvant", montre u opux disque lq.uleremiers ,iviuoceu,st docetire lnt êsitu qu l’auextrimee s uuriqebsp;&#;es ossntrd,n rouge l,st docetire lnt ê l’auinratee bsp;&#;eonac nro8217;unx dit dord l par le cercle&nui a t doat c pas un dis ufe pe#uuriqepoetui a fenntre, os e nœud derique34,essine en roedt,n ro4oints pour lesqremiers oetu3oints pour lesqrssntrdDaIgnie s sein">nairnquan8217;éone forman v wr ue quoceuu l’auextrimee s uuriqe,n rotorisérnqu pord le l&isse là la rus ufe pe#uuriqeui a fereelimbile-t/aAlsio quod ledur ue quformé aunsiurrait jams lefenntre, moins lodqui ae nints se las e nnnbe quedtei> oLa 8217;unhmenion asi seru.

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Dan8217;autre&n rt, et nombre $\ scints se 8217;auinerction clere un nele ue quoceuuedo viurbe ouedte traquageiédeo>ent ês unlsque 8217;éonefa bibiterne déformation as l’auenmblentedur sine bsp;: il y n8217;achg de 8217;un ce&71; poinvar&as roopologie ! 187;

JoLerincipale"o ngdéies lomèties ufe pi> on co paboul il suf8217;achg de spoints se t la distora es denere unt docxacment d&$R$,t nos nas un rpoints sei sero ê l&stora esinrrimee d& à ale à la$R$). Cetteotphre lefenntre, os e nurbe entr cerclin qumbre $\ scints s,os eo cettombre $\pN(R)$. Fson deein">nairnqu viinys- au scuteles combres prpN(R)$ lsque qu$R$var&entre ce$0$a un peing duee sfixes n$R_0$LeOpoobties ltstaieunombre $\pN$uan8217;éonert saappel sp&quelonbsp;Tainys- au scombres pr 8217;auinerction cde la courbe poaveces segphre lsbsp;?<1ruelon/aAlsio aortran as sccrbe oui set dons la viboul e réay as$R_0$saoe cing duee sauoiti digale àadeurodu. oLr>

Jons ce couace cousiersimp par exemple,

JoExic LL mêhématiquens-.vforinse lnqu viinys- au l’autidd&#dentrcepor 8217;auingaltu bsp;&#;es e nod ndeinrrimee d&s8217;écolt pa c ,e sefron deès dimpnds-. p
Lpan class='spip_document_1321008pip_documents spip_documents_right' style='float:right;'>

L\[ \hérm{Lg duee }(\gamma \cap B(0,R_0)) \geq \in_0^{R_0} \hérm{Card}(\gamma \cap S(0,R)) dR \]r class='autobr' /> L leB(0,R)i> on leS(0,R)i> onsacne dnnoferptioivtnt. a viboul eedo viiphre le réay as$R$br class='autobr' /> LCetteo conmion asfa bos raneisscc e 8217;en a ippelnte co href="http://imfr.wikipia/1rg/mawiki/g%C3%A9om%C3%A9ieomètie

JoExame s seusurqusi&cetteormatu cot plvient ds ce coanè (ur lesimp ifi les deuxine s)La digures s-dentre, ontre un ncourbe

JoC corcle&nsuchivpe no n ue quntent"rnqu viurbe entr cerite ue quebiois p#8217;abo- atoxournrcre ues, poebi davchivpe nogminee viurbe entr hu. L\[ 2\onm s (r_2-r_1) + 4\onm s (r_3-r_2) + 2\onm s (r_4-r_3), \]r class='autobr' /> Li a t docxacment d& nombre $\inys-a 8217;auinerction cdelculan par le 8217;auingaltu i-dessus m/p>

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JoUnet- ato,ommentnlle dessa planète TeSure< t,ort satre cessine enr un ceanèbr class='autobr' /> LUnecylnre, ert satre cesformé autr cet- ato,om8217;endstessurqusi& nopolog le noqlit&fi laigale nt opuxo&quelonbsp;Taanère ! 1ruelon/r class='autobr' /> Lrdoontre, combremac8217;ét-maà-re qu dis ufe pe#8217;une cobou q<,tn8217;endstes une eenmblenteanère&n.orsque 8217;éonefa bi cerclin qumbre $\ sc(rite s)nouvsuns lae mbremaopoobties le mbrenouv que iu part saur jr sus untre cesformé aur une cortran as scanèbsp;: il y n8217;endstes unsnère&n.ois le les8217;éoneschivpele mbren long de 8217;un cercle esi a tnefa bilscute,& àobties le cylnre, erdue&mai a t dosnère&n.p>

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DaCo péo&ro lain">nairnque mbrenformé a,usformé auis co mbile-t/aPfeno lae dibv qui iol rtreit. ,i nofegdon ase qui seraarmssenlsque 8217;éonestnute eurappy as sc viboul ilequan8217;éonesuppmestes cotrcatoxe#uuriqeui a refeouvée ê l’auextrimee s sc viboul /r class='autobr' /> LOn refeouvée’abord le vecee mbrenouv qbsp;&#;een yt au cerclin qumbre $\ sctrcatoxesnère&npeuvent chseormat sp(ir rq8217;achmenion a)br class='autobr' /> LCtreinuvsu l&stnute la rappy as scs e nodul il un aument

DiEpilog lh3>

Madash; TaWaouh/p>

Etdash; TaWaouh/p>

Etdash; TaWaouh/ Oui,ulu l. C8217;a dstegnifique c/p>

Etdash; TaAlsio jo, dand mtur ua que Luturvdula qu ndemeure enins distordue&n…r class='autobr' /> Touuu partnua qus unan8217;éoneennouvéedt qu neiss la vimonre, estorsion, man ?? h3

Etdash; TaAhuta,in ??!p>

— TaTlibellule haa s='ées,& àqu coa s='éesbsp;?? h3

Etdash; TaEu coa s='éesLa 8217;unhgt. jmbile-i lecota biscotch que d mture de un quan8217;éonevdula habiter su ndeaéosacne Lurmenes nns lae cace pos naeucliies…r3

Etdash; TaElair là,ae ande.enele es r co href="http://imfr.wikipia/1rg/mawiki/3-sph%C3%A8r class="bpip_dot lrel='stt" rrnal'>iphre le$\hébb{S}^3$a>, ur le#o perdierseumsbsp;!

Etdash; Tastorsion d&gale à launbsp;??!p>

— TaFinsea porcoumatirsbsp; !ans cette vimeure endrésv

aouvnga >JoLeleter suedo vidétion="& 8217;unages des maMhs fimentrcie les ml='teurs Tohmenion a.vo untra decdes var le nleter suaveces logienslubelreo href="http://imwww.bndrierrg/maclass="bpip_dot lrel='stt" rrnal'>Bndriera>
ticles- déit par leFrédéric Le Roux,
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2aCtentaires"as les'ticle wa-rsstitle="EsRSS3es Nœuds Indétordables <

qu janvier 2015

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3es Nœuds Indétordables

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qu 5anvier 2015h4>

iv class="comessagci ap Mtrciour lev e nurentaires". trudioir cetoiveg la dicoqu sortduapport deinvercesLatrudioir cegmineesuppmes leur modofrt@ia wusecota bil dir lesuggratele ceromrt dbnt. jrgioulr 20 parite dichirte quma que ieconnuv enefftioivtnt. adnombre $ poobje sei seneero ês unls duee scal/ctnt. arimest nos8217;éontu c és undcistorsion esen y forins . Cerda"> d& avexte-regminees ombre $ s courbes qujrgioulrre lsuma qulipschitzns- asoebi dun8217;endstes unexcluutrinciqui> on8217;enle coaies le eetite distorsion.

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3es Nœuds Indétordables

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qu 7anvier 2015h4>

iv class="comessagci ap jdistoe 8217;auembl le e inuqunelmprendrequs unen y tte viéo&endcistorsion estqu coes os8217;auticle wa cosmolt p,egmineej8217;escacre lenbes unus res- uy des s lerarquabnpeuvet-tre cenaïvnm/p>

Et2°-eslibellule hadste&quelonbsp;Taen-dehorsbsp;?<1ruelondn courbe poalsio e in 8217;escargot&nn do nernt rovar&ablbroces es-- ,t st- qu&quelonbsp;TahomoaénraEt3°-eslibellule hatoit bosuntre cerple, c p ns leunenuus o#tora un nbride messins ?Et4°-ee couses enouvle qu be#blente pr laîe nfs dbnt. ( unmoindeelqeg lels a ssa epesties laucoup l&ouvpeinurrelte T poebialsio htaiton lemoibsp; !)uavecette vinodn es 1.at j no&quelonbsp;Taoes iesbsp;! 1ruelonbsp;: pol8217;endste elntrpéo&reralnnoes r ui-me, s-mentn ceovar&tra d,nfiniment chminue,e t la di&quelonbsp;Taoopologinbsp;! 1ruelonfereel diinveconduerbr3

Etjes fxbaymatilausasquens-, guadelp l,np> < ahref="sps N-Noes tnduserdables div> h3> d> d="cormaum12269i a> d="cormaum12269ieass='suntentaic iv class="contaitaic iv class="coaderc

3es Nœuds Indétordables

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qu16novtnlreo15<6& pa17:32par exédéric Le Rouxh4>

iv class="comessagci ap Bonjr ,r3

Etjréflps dsuavecei ques cojr su(hum)ndréetard.

EtTt l a codtéilultsoduroblème.<,om8217;endstee 8217;en avtngageioopologin e lomètie

JoL8217;escargot&nnvisur un diurbe potte#8217;a qus untccfldi son/ricxratee bsp;&#;eur lesqu hématiquens-e viurbe ent do nde&quelonbsp;Tavar&tra des stntaon, eunbsp;??1ruelonunet #8217;écoeud,emeec covar&tra dsst pltus zeuauv enuuis8217;enle csemo unutes leéqvantnt pesl un aurcle ebsp;: avs eseumc&quelonbsp;Tainvar&as romètie < ahref="sps N-Noes tnduserdables div> h3> d> d="cormaum12271i a> d="cormaum12271heass='suntentaic iv class="contaitaic iv class="coaderc

3es Nœuds Indétordables

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qu18novtnlreo15<6& pa02:36par exbaymatia>h4> iv class="comessagci ap bonjr t notrci.r3

Etjrur sseivird r peu de quoduusebr class='a"tobr' /> et #8217;ééo&en&quelonbsp;Taud dunintordables et (b)o&quelonbsp;Tatordab r peud : 1ruelon do neoxymoronbsp;&#;e li ccophras bsp;: poourc8217;ét-me nœud&nuebi dut doforc lnt grriqdu& àoneut sa coburdab r lelltn8217;endstes une eud dLab, mapla qa ueeEts comud dunvirosag dssmo un snomuds toriquestltrrn pvi> otdéuit>o la ee smimenums ocis pents s.ec comuds tonnnnu a ssenquan8217;é ceseumc&quelonbsp;TacotaJbsp;?<1rueloni> otur lesquels le ponsiut sadfftiou 20e si snouquagemes se laésenterrdn esi> ot(isse lnt. ad8217;ene dirtran as sc 8217;autre&n ot aese d coiphre ler un delle ha#8217;écoeatut doneine e,ommentnv e nemple,Etime be#tos coes con/rsa 8217;auisooopieero êard l p var lepdon a ds ce asticle was learxiv,alle qsu snomuds toi>non-tltrrn pvi> otspaouvnga (c8217;ét-maà-re qurectngatpar exemple,eete-rr R3rdash;&nolle deen&quelonbsp;Tatr&asglebsp;! 1ruelondash;&noi a ntrpaivrour mme bembre $\ sccis pents s) offres le eeande. ck htssca 8217;auinvecondion as- lepmenttra un aarmsse s 8217;une &quelonbsp;TacotaJbsp;?<1ruelonl un autre&n (c8217;ét-maà-re qu drseidéuisa d&uasl un aurquagemes e laésenterrdn es mentn ndué li-dessus m)

Etjes fxbaymatibr class='a"tobr' /> < ahref="sps N-Noes tnduserdables div> h3> d="cormaum12272i a> d="cormaum12272heass='suntentaic iv class="contaitaic iv class="coaderc

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3es Nœuds Indétordables

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qu29anvier 2015h4> iv class="comessagci ap S l, poaicle wbsp;!

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