Des calculs dans l’atelier de fabrication d’Élie Cartan

Quelques aperçus de ses cahiers de brouillon

Piste verte Le 12 septembre 2017  - Ecrit par  Emmylou Haffner Voir les commentaires

En 2009, les petits-enfants du mathématicien Élie Cartan ont fait don de ses archives à l’Académie des Sciences. Ce fonds, extrêmement riche, donne une vision inédite des activités d’Élie Cartan. Parmi ces documents précieux se trouvent de nombreux cahiers de brouillon, qui nous permettent d’entrer dans l’atelier de fabrication des mathématiques d’Élie Cartan. Nous en présentons ici quelques aspects.

La carrière d’Élie Cartan en mathématiques et en physique est très riche. Ses apports sont fondamentaux, notamment pour la géométrie différentielle, la classification des groupes de Lie et des espaces symétriques et les mathématiques de la relativité générale.

Normalien, Élie Cartan (1869-1951) soutient à la Sorbonne, en 1894, une thèse intitulée « Sur la structure des groupes simples finis et continus ». Il est ensuite successivement professeur dans les universités de Montpellier (1894-1896), de Lyon (1896-1903), de Nancy (ainsi qu’à l’Institut électrotechnique de mécanique appliquée, 1903-1909), à la Sorbonne (1909-1912), à l’École supérieure de physique et de chimie industrielles de la ville de Paris. Il est élu membre de l’Académie des sciences en 1931 et en est président en 1946 [1].

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Photo tirée de l’album de la Mathematische Gesellschaft (Hamburg).

À l’Académie des sciences de Paris, sont conservés neuf cartons contenant les archives d’Élie Cartan, qui ont été données, en 2009, par les enfants de son fils Henri Cartan. Le tri de l’immense volume d’archives laissé par Henri Cartan, qui semble n’avoir jamais jeté aucun papier (Audin, 2012, p. 2), a été confié à Michèle Audin par les filles Cartan. Les archives d’Élie Cartan en constituaient, d’après M. Audin, moins d’un quart. Ce fonds, aujourd’hui conservé à l’Académie des sciences grâce au travail de Michèle Audin et Florence Greffe [2], se compose de cahiers, de documents administratifs (concernant la faculté des sciences de Paris, le CNRS, l’Académie des sciences et d’autres sociétés scientifiques), d’extraits de sa correspondance, de manuscrits divers (notes scientifiques, brouillons d’articles, livres, conférences, polycopiés de cours...) et reproductions d’articles d’autres mathématiciens.

Le fonds est, dans l’ensemble, en excellent état. Le site Élie Cartan Papers fournit une base de données textuelle et iconographique, un catalogue analytique page à page, un système de mots-clefs et de références pour une partie de ces 45 cahiers. Le site offre une cartographie générale du fonds et permet aux lecteurs de le parcourir par de simples recherches (par mot-clef, par référence, mais également dans les tableaux du catalogue qui sont retranscrits en plein texte), et d’avoir un aperçu immédiat du panorama dessiné par les cahiers [3].

Dans cet article, je propose de considérer les cahiers de Cartan en tant qu’outils de travail du mathématicien. Ces cahiers sont vraisemblablement les premières étapes de la recherche pour Cartan. On peut y voir la première étape, d’après les nombreuses ratures et essais répétés, et les développements ultérieurs. En effet, certaines recherches sont très détaillées, parfois reformulées de plusieurs manières différentes, les erreurs sont corrigées. Les cahiers de brouillon, ici, fonctionnent véritablement comme un laboratoire. [4]
De ce point de vue, ces cahiers sont extrêmement précieux pour les historiens (et les admirateurs de Cartan), car ils ouvrent une porte sur l’atelier de fabrication des travaux de Cartan. Ils dévoilent les explorations faites par Cartan avant d’arriver à des théorèmes ou méthodes nouveaux, les hésitations et errements de la recherche, les erreurs parfois, et les mathématiques « en train de se faire » à l’état brut, avant que le travail ne soit réorganisé et lissé pour la publication. En effet, les articles publiés suivent une route logique et claire qui ne suit que rarement le processus de recherche, parfois très long — pour Cartan comme pour de nombreux scientifiques [5]. La version rédigée pour publication offre donc une narration des résultats qui suit un ordre logique parfois rigide, répondant aux normes de la communauté scientifique à laquelle s’adresse l’auteur.
L’auteur efface donc, en général, le chemin (parfois) sinueux que sont les processus de découverte et de recherche de preuve. Pourtant, pouvoir retracer la naissance d’un travail peut en donner une meilleure compréhension — c’est sans doute pour cette raison que certains auteurs racontent les circonstances de leurs découvertes.
Et, ce qui est peut-être plus intéressant ici, ce processus de recherche et de découverte peut se révéler extrêmement instructif sur la manière de travailler d’un auteur. Chez certains auteurs, en effet, une grande partie de ces étapes de recherche sont effacées dans la rédaction pour adopter une méthode d’exposition qui leur paraît, pour des raisons philosophiques, didactiques ou contextuelles, plus appropriée à communiquer leurs résultats.
En lisant les cahiers de brouillon de Cartan, on constate qu’une grande partie de ses recherches consistent en des pages de longs calculs compliqués.

Après une brève présentation des cahiers de brouillon contenus dans le fonds Cartan, je m’intéresserai à un aspect spécifique des brouillons de Cartan : la prééminence des calculs, sous de nombreuses formes, et en quantité remarquable — ce qui ne surprendra pas les connaisseurs de Cartan. Ces calculs révèlent comment Cartan procède dans les différentes étapes de la recherche. Bien qu’ils ne priment pas dans ses travaux publiés, les calculs apparaissent, dans ses brouillons, comme la charpente même de ses recherches. J’évoquerai un certain nombre d’exemples, accompagnés de reproductions de pages des cahiers [6]. L’accès à toutes les sources est possible par la base de données Élie Cartan Papers. Les lecteur.rice.s curieux.ses de suivre les calculs de Cartan pourront donc se référer aux sources mêmes.

J’insisterai, ici, sur l’aspect exploratoire des calculs. Toutefois, il ne faut pas perdre de vue que les calculs ont, chez Cartan, plusieurs statuts : ils peuvent servir à prouver des résultats (lemmes, théorèmes, etc.), ils sont parfois le problème et la solution (e. g. structure des groupes), ou encore ils peuvent servir d’exemple (p. ex. dans l’étude des variétés holonomes dans le cahier 1-24).

Une brève présentation des cahiers de brouillon d’Élie Cartan

Dans le fonds se trouvent soixante cahiers de brouillon. Les quinze premiers cahiers du fonds, numérotés 1-01 à 1-15 [7], contiennent des notes prises par Cartan quand il était élève de l’École Normale Supérieure puis étudiant en thèse. Ces cahiers contiennent des notes sur les cours et conférences à l’ENS et à la Sorbonne d’Appell, Bourlet, Darboux, Friedel, Gernez, Hermite, Picard, Poincaré, Goursat et Tannery.

Les quarante-cinq cahiers restants (plus de 6000 pages), numérotés 1-15 bis à 1-57, couvrent la période de 1893 à 1947 et contiennent [8] :

  • des recherches personnelles de Cartan,
  • des notes de lecture de travaux de ses contemporains,
  • des notes de lecture des thèses que Cartan a supervisées ou pour lesquelles il a été rapporteur [9],
  • des notes de préparation de ses cours (plans détaillés, plannings, quelques leçons rédigées),
  • des bibliographies,
  • des notes administratives (rapports d’activité du CNRS, notices mortuaires, la préparation de son jubilé, des allocutions à l’Académie, en particulier lorsqu’il en était président),
  • des brouillons des discours et conférences donnés par Cartan,
  • diverses notes personnelles,
  • des notes rédigées par les étudiants de Cartan pendant ses cours.

Dans ces quarante-cinq cahiers, trente-huit sont de la main de Cartan. Les cahiers restants sont des notes rédigées par les étudiants de Cartan pendant certains de ses cours. Le graphique ci-dessous indique la répartition chronologique des cahiers [10] :

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Nombre de cahiers par année

Le fonds n’offre donc pas une vision exhaustive des travaux de Cartan, bien qu’il soit extrêmement riche [11]. Mais la grande richesse de ce fonds est aussi sa principale difficulté [12].
L’un des intérêts principaux de ces cahiers est de mettre au même niveau les nombreuses couches des activités de Cartan. Il devient possible de voir de quelle manière différents aspects (enseignement et recherche, recherche et tâches administratives, etc.) peuvent se rencontrer et parfois se compléter. Les cahiers de Cartan abordent beaucoup de thèmes différents, et certains alternent parfois page par page entre de nombreux sujets. Il reste généralement facile de s’orienter dans les cahiers, car Cartan précise toujours les sujets abordés en donnant des titres à ses notes. Cela suggère que les cahiers sont un véritable outil de travail pour Cartan. Il est difficile de savoir s’il revient sur les cahiers après les avoir terminés, mais il arrive que Cartan dresse lui-même une table des matières, ou fasse des références internes ou à des travaux antérieurs. Les rédactions sont souvent déjà soignées au brouillon, les résultats mis en avant clairement, les résultats antérieurs ou liens avec d’autres travaux sont également souvent mentionnés explicitement [13].

Panorama des calculs dans les brouillons de Cartan

En 1930, dans une recension de (Cartan, 1930), A. Bühl écrit de Cartan qu’il est « le prodigieux calculateur de la Théorie des Groupes ; quels patients et prodigieux monuments de transformations algébriques explicites il a bâtis en de longs et nombreux mémoires amorcés par une thèse déjà magnifique ! » (Bühl, 1930, p. 192). Bühl souligne que Cartan, quoique « prodigieux calculateur », reste ouvert aux nouvelles méthodes et les maîtrise même mieux que les « géomètres plus jeunes tels M. H. Weyl » (Bühl, 1930, p. 192). Savoir éviter les calculs serait donc un signe de modernité.
Les calculs sont autant présents — et importants — dans les cahiers du jeune Cartan que dans les cahiers des années 1940. Il est difficile de donner une quantification précise des calculs dans l’ensemble des cahiers. En utilisant les tableaux formant le catalogue analytique, on relève près de 1700 occurrences du mot « calculs » (pour environ 5000 pages) dans les cahiers de notes scientifiques de Cartan [14]. Mais ce dénombrement n’est qu’une borne inférieure pour la quantité de calculs : je n’y relève que les fois où le catalogue mentionne seulement que Cartan fait des « calculs », et le catalogue étant assez détaillé, certains calculs, s’ils y sont explicités ont sans doute échappé à ma recherche par mots-clef. Certains cahiers contiennent plusieurs dizaines de pages d’affilée constituées exclusivement de calculs (par exemple, le cahier 1-56 de 1939). Il est fréquent que les calculs soient complètement ou en partie raturés, voire que plusieurs couches d’écriture se recouvrent (sans qu’il soit très clair si Cartan a refait les mêmes calculs ou pas).

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Cahier 1-21 (groupes et surfaces), pages 25-26. Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

Si les recherches mathématiques dans les cahiers de Cartan sont souvent encore au stade exploratoire, on peut parfois lier ces recherches aux résultats publiés. Ainsi, par exemple, dans le cahier 1-15 bis (vers 1900), dans lequel il étudie les « groupes infinis transitifs simples » dépendant de fonctions arbitraires (dans un premier temps une, puis deux, puis un nombre quelconque, page 103 et suivantes), et étudie les isomorphismes avec le groupe général.
Le brouillon donne notamment les théorèmes :

Le seul groupe simple transitif dépendant d’une fonction arbitraire est le groupe général à une variable.

Si un groupe simple transitif dépend de deux fonctions arbitraires, il est isomorphe soit au groupe général à deux variables, soit au groupe de plan qui conserve les aires. (Cahier 1-15 bis, p. 103 et 108)

Les pages comprises entre la page 103 et la page 108 contiennent une série de calculs, assez courts, sur les groupes dépendant de 2 fonctions arbitraires, et menant au résultat page 108. Les pages suivantes poursuivent les mêmes questions et contiennent presque exclusivement des calculs. Elles se terminent sur l’affirmation :

Si $n=2$, il n’y a pas de groupes simples (...) autres que les groupes à 2 variables. (Ibid., p. 115)

Les résultats énoncés se trouvent, de manière plus complète, dans une note dans les Comptes Rendus de l’Académie des sciences « Sur la structure des groupes infinis » (Cartan, 1902, p. 854). Dans cet article, qui est écrit pour répondre aux critères des Comptes Rendus de l’Académie des sciences, aucun calcul n’apparaît — tout juste quelques formules pour les expressions de Pfaff [15].

Les calculs, chez Cartan, ne sont pas restreints à certaines investigations déterminées, mais semblent être une manière de travailler sur laquelle Cartan se repose largement. Si certains des calculs les plus impressionnants se trouvent dans les recherches sur les groupes et les représentations des groupes [16], on retrouve une approche par le calcul dans de nombreux autres aspects de théorie des groupes (par exemple pour le calcul du dernier et de l’avant-dernier groupe dérivé, du groupe adjoint, des sous-groupes invariants, du groupe de rotation d’un repère, du caractère...) mais également en géométrie, sur les surfaces et hypersurfaces, les espaces (de Weyl, de Finsler, etc.), ainsi que pour le calcul différentiel (extérieur, notamment) [17].

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Cahier 1-43, pages 14-17 (recherches sur les surfaces isothermes). Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

Les pages de calculs sont souvent très denses, et continuent sur plusieurs pages, voire plusieurs dizaines de pages. Cela rend parfois les cahiers difficiles à appréhender pour quelqu’un qui ne connaît pas bien l’œuvre et les habitudes de Cartan, en particulier car (en plus de leur difficulté...) les calculs ne sont que peu explicités ou contextualisés, et certains raccourcis de Cartan restent parfois opaques [18].

Ainsi, il y a beaucoup à apprendre sur la manière de travailler avec et dans les calculs, chez Cartan : à quoi servent les calculs ? Comment sont-ils utilisés ? Sont-ils purement heuristiques ? Si non, quel(s) rôle(s) jouent-ils ? Qu’apprend-on des mathématiques de Cartan en étudiant ses calculs ? En quoi sont-ils distincts (s’ils le sont) des autres activités mathématiques ? Les réponses à ces questions sont parfois multiples, et ces calculs, denses et complexes, révèlent une manière de véritablement travailler avec et penser dans les calculs.

Les calculs comme réécritures

Tout d’abord, les cahiers de brouillon de Cartan montrent comment et à quel point la recherche par les calculs fait partie de la pratique mathématique de Cartan, et notamment de sa manière de s’approprier certains sujets ou d’en approfondir sa connaissance.

Calculs et lectures

Cet aspect est particulièrement remarquable dans les notes de lecture de Cartan. Un certain nombre de notes procèdent en effet d’une première réécriture par Cartan. Il reformule alors un problème dans son propre langage, avec ses propres notations et ses propres concepts, et l’apprivoise (souvent) à grands renforts de calculs. Ainsi, par exemple, pour l’étude de l’ouvrage de Dirk Struik Grundzüge der Mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Fondements de la géométrie différentielle à plusieurs dimensions) de 1922, Cartan reformule avec ses propres notations la preuve du théorème donné à la page 51 :

Si par tous les points d’une $V_{n-1}$ sont tracées des lignes géodésiques normales et que l’on porte sur chacune de ces géodésiques un arc constant, alors le lieu des points finaux [i.e. des extrémités des arcs] est encore une $V_{n-1}$ normale aux géodésiques.

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À gauche, la page 51 de l’ouvrage de Struik, à droite la page 10 du cahier 1-54 (ca 1922). Chaque cadre de couleur chez Struik correspond au cadre de même couleur chez Cartan. La partie en bleu chez Struik est dédoublée dans le texte de Cartan, la réécriture des hypothèses de Struik s’étant apparemment faite en deux temps. Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

Des auto-réécritures et des ratures

On remarque également que Cartan n’hésite pas à recommencer souvent plusieurs fois ses calculs — la plupart du temps explicitement, par exemple :

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Cahier 1-38 (1933-1938), page 18, calculs sur la géométrie des familles d’hypersurfaces. Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

Bien entendu, certains aspects matériels des brouillons mettent également cela en avant, et notamment la grande quantité de ratures. Il est souvent facile de localiser les endroits où Cartan corrige ses erreurs de calculs, comme ci-dessous :

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Cahier 1-38, page 29, pour corriger une « [e]rreur » (suite des recherches sur la géométrie des familles d’hypersurfaces). Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

Précisons toutefois que les raisons qui poussent Cartan à recommencer plusieurs fois les mêmes calculs ne sont pas toujours de simples erreurs. Il arrive également qu’il souhaite essayer une approche différente. Ainsi, des changements de notation apparaissent régulièrement pour mieux recommencer calculs, voire même en cours de calcul — toujours explicitement mais sans justification. Par exemple :

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Cahier 1-28 (1925-1928), pages 164-165. Notes de lecture sur la thèse de Long. Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

À cette première réécriture suit celle (que je n’évoquerai pas ici) de la constitution du texte pour la publication, où les calculs foisonnants sont ordonnés.

Les calculs comme exploration

Les calculs, chez Cartan, sont souvent une manière d’explorer certains problèmes.

Ses brouillons sur les espaces et groupes clos [19], par exemple, suggèrent également que dans les calculs et en particulier à travers l’étude de cas particuliers, Cartan trouve une base pour avancer graduellement vers des résultats (plus) généraux. Travailler avec des cas particuliers est une approche assez fréquente chez Cartan, qui, dans une lettre à Einstein du 3 janvier 1930 sur les solutions sans singularités des systèmes en involution, présente un exemple en expliquant « qu’il donne probablement un avant-goût de la difficulté du problème général » (Debever, 1979, p. 102).

Dans ses brouillons se trouvent de nombreux exemples de cette approche. Cartan y étudie un ou des cas particuliers en vue d’un résultat général. Ainsi, Cartan fonde souvent le général sur des cas particuliers, soit en trouvant (ou prouvant) un résultat général en fractionnant la preuve en plusieurs cas, soit en généralisant un résultat à partir de l’étude de quelques cas. On peut trouver ces deux approches dans les cahiers de Cartan.

Une première utilisation des cas particuliers est l’étude d’une liste (exhaustive, la plupart du temps) de cas. Il ne s’agit pas, ici pour Cartan, de hiérarchiser les cas, mais de commencer par étudier un exemple simple et d’avancer progressivement vers des cas plus complexes, jusqu’à obtenir une vue générale [20]
C’est une pratique si répandue dans les cahiers de Cartan que, d’après le catalogue des Élie Cartan Papers, seuls deux cahiers de la main de Cartan ne présentent pas de telles considérations [21]. Il semble donc important de souligner son importance, mais illusoire de lister les sujets que Cartan étudie avec ce procédé.

Soulignons néanmoins que constater que Cartan a souvent recours à cette approche n’est pas affirmer qu’il s’agit d’une stratégie systématique, bien entendu. L’exploitation des sources archivistiques présente en effet certains éléments de contingence qui doivent inciter à la prudence, pour ce genre de conclusion. Toutefois, cette approche se retrouve également beaucoup dans les notes de cours prises par ses étudiants. Ainsi, par exemple, Cartan considère différents cas un par un pour expliquer. Cette approche semble donc avoir pour Cartan une dimension heuristique et pédagogique essentielle.

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Cahier 1-39 (1934), pages 68-69. Recherches autour des groupes dérivés, étude des domaines bornés homogènes dans le cas où le dernier groupe dérivé de $\Lambda$ est $(p, q, r)$. Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

Une stratégie sensiblement différente est également souvent utilisée par Cartan et montre l’importance heuristique des calculs et des cas particuliers : l’ascension progressive vers le général via une succession d’études de cas de plus en plus générales.
Ici, le résultat général n’est pas conçu comme l’ensemble de tous les cas — contrairement à l’étude d’une liste exhaustive de cas — mais un état d’avancement de la recherche.
Cartan procède alors au cas par cas et à une généralisation progressive jusqu’à arriver à un résultat — ou, dans certains cas, à l’hypothèse que le résultat est « probablement général ».

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Cahier 1-37 (ca. 1931), pages 152-154. Extraits de recherches sur les « espaces de plans ». Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

Cartan ne fournit pas toujours de preuve pour les résultats généraux qu’il trouve de cette manière. Il conclut, par exemple, des recherches sur les connexions projectives par :

On n’a plus qu’à vérifier que cela marche !

(Cahier 1-38, page 35)

Les calculs sur lesquels se base Cartan pour élaborer ses études de cas successives suggèrent que ceux-ci jouent ainsi un rôle heuristique essentiel dans le raisonnement. Toutefois, il ne faudrait pas interpréter cette utilisation heuristique des calculs comme Cartan se laissant simplement guider par les calculs. Dans son exploration par les calculs, on observe, ici, une manière de penser dans les calculs.

Des bons et des mauvais calculs ?

Les cahiers de brouillon de Cartan montrent, en fait, que la pratique du calcul repose sur une réflexion profonde. Il n’est pas rare, comme cela a été mentionné ci-dessus, que Cartan refasse à plusieurs reprises les mêmes calculs, sans que cela soit nécessairement lié à des erreurs.

L’idée qu’il existe de meilleurs calculs (ou de meilleures manières de calculer) que d’autres revient dans des remarques de Cartan sur le travail de Robert Potier (cahier 1-40, 1937-1940) sur la géométrie différentielle conforme [22]. Dans ses notes de lecture, qui suivent la rédaction de Potier, Cartan souligne à plusieurs reprises que les calculs et formules employés sont (trop) compliqués. Dans le second paragraphe, titré « [é]tude des courbes de l’espace conforme tant qu’elles sont tracées sur une surface », Potier étudie, dans un premier temps, les « repères intrinsèques ». Les notes de lecture de Cartan consistent essentiellement en une description critique de la manipulation des repères par Potier, se ponctuant de remarques comme « les calculs sont compliqués ».
Des remarques similaires sont faites pour la seconde rédaction du paragraphe.

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Cahier 1-40 (1937-1940), pages 54-55, notes sur la thèse de Potier. Avec l’autorisation de l’Académie des Sciences.

Je ne développe toutefois pas cet exemple, car sans le texte de Potier, les notes de Cartan manquent de clarté. Cependant, les remarques sur la complexité des calculs soulignent à nouveau qu’il existe certains idéaux sur les calculs et leur valeur.

Les observations se faisant sur les brouillons de Cartan, nous avons une vue directe sur le procédé de création (ou de découverte), nous sommes témoins d’une réflexion à l’état brut. On peut donc voir que les calculs, sous des formes diverses (et nombreuses), apparaissent comme essentiels dans le processus heuristique, qu’ils guident le raisonnement, et donnent à voir une manière de penser dans et avec les calculs... dont les traces disparaissent souvent lors de la rédaction.

Références bibliographiques

Michèle Audin (2012). Henri Cartan & André Weil - Du XXe siècle et de la topologie. In Actes des journées X-UPS 2012. Henri Cartan & André Weil mathématiciens du XXe siècle, Paris, Éditions de l’École polytechnique.

A. Bühl (1930). Élie Cartan – La Théorie des Groupes finis et continus et l’Analysis Situs. (Recension). L’Enseignement Mathématique, 29:191–192.

Élie Cartan (1902). Sur la structure des groupes infinis. C. R. Acad. Sci Paris, 135:851–853.

Élie Cartan (1904). Sur la structure des groupes infinis de transformation. Ann. sci. ENS, 21:153–206.

Élie Cartan (1930). La Théorie des Groupes finis et continus et l’Analysis Situs. Mémorial des Sciences mathématiques dirigé par Henri Villat ; fasc. XLII, Paris.

Shiing-Shen Chern et Claude Chevalley (1952). Élie Cartan and his mathematical work. Bull. Amer. Math. Soc., 58(2):217–250.

Karine Chemla, Renaud Chorlay et David Rabouin, éditeurs (2016). The Oxford Handbook on Generality in Mathematics and the Sciences. Oxford University Press, Oxford.

Robert Debever, éditeur (1979). Élie Cartan - Albert Einstein Letters on Absolute Parallelism 1929-1932. Transl. J. Leroy et J. Ritter. Princeton University Press.

Emmylou Haffner (2017, à paraître). Esquisse d’une cartographie des cahiers d’Élie Cartan et quelques remarques sur les nombreuses pistes de recherches qu’ils ouvrent. Revue d’histoire des mathématiques.

Frederic L. Holmes, Jürgen Renn et Hans-Jörg Rheinberger, éditeurs (2003). Reworking the Bench. Research Notebooks in the History of Science. Numéro 7 de Archimedes, New Studies in the History and Philosophy of Science and Technology. Kluwer Academic Publishers, New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow.

Juliette Leloup, L’entre-deux-guerres mathématique à travers les thèses soutenues en France. Thèse de doctorat, Université Pierre et Marie Curie, 2009.

Robert Potier (1940). Sur certaines questions de géométrie différentielle conforme. Thèse de doctorat, Paris.

Laurent Rollet, Étienne Bolmont, Françoise Birck et Jean-René Cussenot, éditeurs (2017). Les enseignants de la faculté des sciences de Nancy et de ses instituts. Dictionnaire biographique (1854-1918). Éditions universitaires de Lorraine.

Anne Robadey (2006). Différentes modalités de travail sur le général dans les recherches de Poincaré sur les systèmes dynamiques. Thèse de doctorat, Université Paris Diderot, Paris.

Hermann Weyl (1938). Cartan on groups and differential geometry. Bull. Amer. Math. Soc., 44:598–601.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des Mathématiques ainsi que l’auteur remercie les relecteurs Jacques Lafontaine et Jérôme Germoni pour leur relecture attentive et leurs suggestions.

Article édité par Jenny Boucard

Notes

[1On pourra consulter la biographie de Cartan rédigée par Philippe Nabonnand dans (Rollet et al., 2017).

[2Le fonds est numéroté 38J et le catalogue complet se trouve en ligne.

[3Le site a été conçu, avec l’aide de Pierre Couchet (Archives Henri Poincaré – Université de Lorraine), en utilisant le logiciel libre Omeka.

[4On ne trouve pas dans les cahiers les brouillons rédigés de ses recherches. Veux-ci se trouvent dans les cartons 8 des archives de l’Académie.

[5À ce sujet, on pourra consulter (Holmes, Renn & Rheinberger, 2003) par exemple, qui analyse les carnets de laboratoires en tant que genre spécifique d’écrits scientifiques.

[6Je n’entrerai cependant pas dans les détails car cela prendrait trop de temps et d’espace — nous verrons notamment que l’une des caractéristiques de ces calculs est de s’étendre parfois sur plusieurs dizaines de pages.

[7La numérotation des cahiers a été faite par l’Académie des sciences. Les archives sont organisées et numérotées par genre : 1- pour les cahiers, 2- pour les documents liés à la faculté des sciences de Paris, 3- pour les documents liés au CNRS...

[8On pourra également consulter le nuage de mots-clefs.

[9Une liste des thèses sur lesquelles Cartan prend des notes (et les numéros des cahiers dans lesquels il en parle) est disponible en ligne.

[10Trois cahiers n’ont pu être datés précisément (cahier 1-19, 189 ? ; cahiers 1-22 et 1-23, 193 ?), aussi je lai ai comptabilisés pour la décennie entière (années 1890-1899, années 1930-1939), plutôt que de ne pas les compter (ou de les placer au hasard !). Le cahier 1-20 ter, en très mauvais état et dont la plupart des pages se détachent, contient les notes d’un cours de mécanique et dont les pages ont été numérotées dans le désordre par l’Académie. Les pages du cahier, dont la graphie suggère un jeune Cartan, ont une présentation atypique des cahiers de brouillon de Cartan, mais qui se retrouve dans les quinze premiers cahiers contenant les notes de Cartan lorsqu’il était étudiant. Dans le cahier 1-21, on trouve (en plus de notes mathématiques) des pages complétant vraisemblablement le cahier 1-20 ter : non seulement la présentation est similaire, mais certaines pages complètent de manière assez évidente des pages du cahier 1-20 ter. Nous avons tenté de reconstruire le cahier initial, mis en ligne sous le nom de « cahier cours de mécanique » mais avec un succès seulement partiel. Il semble que certaines pages soient manquantes. Toute aide pour donner une meilleure reconstitution du cahier est la bienvenue !

[11On constate les mêmes lacunes (1903-1918) dans d’autres parties du fonds, comme sa correspondance. Il semblerait qu’une partie des archives ait été perdue. Par ailleurs, la plupart des thèmes abordés sont assez typiques de ce que l’on connaît des activités mathématiques de Cartan.

[12Non seulement par la quantité de matériel, mais également par les questions méthodologiques que cela soulève. Par exemple : peut-on le traiter autrement que par tranches de taille réduite (temporelle ou thématique, par exemple) ? Est-ce cohérent ? Comment lier les brouillons aux travaux publiés ? au reste du fonds ?

[13L’article de François Lê exploite d’ailleurs certains des cahiers de Cartan pour retracer la route menant à l’article de 1896 « Sur la réduction à sa forme canonique de la structure d’un groupe de transformations fini et continu ».

[14J’exclus de ce dénombrement les cahiers de notes de cours prises par ses étudiants.

[15Le mémoire « Sur la structure des groupes infinis de transformation » (Cartan, 1904) de 1904-1905 développe ces résultats. On y voit plus clairement de quelle manière Cartan s’appuie sur les calculs dans ses recherches. Mais son étendue dépasse largement la note de 1902 et les pages de brouillons du cahier 1-15 bis.

[16Notamment dans les cahiers 1-21 (pages 27-52) daté de 1912, 1-38 (pages 111-200) daté de 1933-1938, et 1-43 (pages 251-259) daté de 1938 ou 1939 à 1942.

[17Une liste plus compréhensive — mais certainement pas exhaustive — des sujets abordés par Cartan à travers des calculs se trouve dans (Haffner, 2017).

[18La difficulté de lecture des travaux (publiés) de Cartan a été évoquée par plusieurs de ses lecteurs, notamment par Chern et Chevalley en 1952, rappelant des propos de Weyl : « Son approche, bien que menant au cœur du problème, n’est pas conventionnelle, en partie en raison d’une exposition inappropriée. Ainsi, Weyl faisant la recension d’un des livres de Cartan [La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile] écrit en 1937 : “Cartan est sans aucun doute le plus grand maître de la géométrie différentielle (...) je dois admettre que je trouve ce livre, comme la plupart des articles de Cartan, difficile à lire.” » (Chern & Chevalley, 1952, p. 218). Weyl, dans (Weyl, 1938), continue : « La raison en est-elle seulement la grande tradition géométrique française sur laquelle Cartan se repose, et le style et contenu qu’il considère plus ou moins comme une base commune acquise à tous les géomètres...? »

[19Dans le cahier 1-33 (1938-1940), aux pages 44-45, Cartan parle d’espaces clos pour désigner les espaces dont le groupe est clos. Un groupe clos est un groupe tel que tout ensemble infini de transformations du groupe admet au moins une transformation limite appartenant au groupe.

[20Sur la question du rapport général / particulier, il peut être intéressant de comparer l’approche de Cartan à celle de Poincaré, dont il a été l’élève. Anne Robadey, dans sa thèse (Robadey, 2006), a analysé les pratiques de la généralité dans les textes de Poincaré, et a mis en évidence certaines modalités de passage du particulier au général. Elle distingue deux attitudes face aux cas particuliers chez Poincaré : d’une part, reconnaître ce qui est exceptionnel pour se concentrer sur ce qui est général, d’autre part, étudier des cas particuliers pour en tirer des enseignements sur ce qui est général. Et comme le montre Robadey, la généralisation progressive par études de cas est également une pratique importante chez Poincaré (notamment (Robadey, 2006, p. 85)), ce qui suggère le rapprochement de la note précédente (avec précautions). L’approche de Cartan présente donc des similitudes avec celle Poincaré, mais mes remarques ici ne concernent que ses brouillons, tandis que Robadey étudie des textes publiés de Poincaré. Ce sont donc des textes avec des statuts très différents qui montrent des parties distinctes de l’activité mathématique. Sur les diverses pratiques de la généralité en histoire des sciences, on pourra également consulter (Chemla, Chorlay & Rabouin, 2016).

[21Il s’agit du cahier 1-44 qui contient des notes (succinctes) pour la préparation d’un cours de géométrie supérieure, et du cahier 1-50, qui est un cahier très court dans lequel figurent seulement des notes sur des travaux d’autres mathématiciens

[22Ces notes sont présentées par Cartan comme des « remarques » après une conférence. Dans les pages suivantes, Cartan commente une thèse dont l’auteur n’est pas précisé, mais dont le contenu est similaire (parfois mot à mot) aux remarques sur le travail de Potier. Ce dernier a soutenu, en 1940, une thèse intitulée « Sur certaines questions de géométrie différentielle conforme ». Dans l’introduction de sa thèse, dédiée à Cartan (voir également (Leloup, 2009, p. 193-196)), Potier annonce qu’il utilise la méthode du repère mobile (Potier, 1940, p. 1). Les extraits que je commente sont, au vu de leur contenu, des versions préliminaires de la thèse de Potier.

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Pour citer cet article :

Emmylou Haffner — «Des calculs dans l’atelier de fabrication d’Élie Cartan» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Image à la une - Cahier 1-53 (1946-1947), page 41. Avec l’autorisation de l’Académie des sciences.
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