Des carrés magiques en cadeaux

Un talisman numérique personnel

Piste bleue Le 27 mars 2019  - Ecrit par  Andrés Navas Voir les commentaires (2)
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Les carrés magiques de nombres sont de beaux objets qui permettent de connecter les mathématiques avec une partie de leur histoire ; de plus, leur compréhension ne nécessite pas de connaissances trop élaborées. Ici on donne une voie peu conventionnelle pour approcher ces carrés à partir des systèmes d’équations linéaires. On verra comment la résolution d’une telle équation permet de construire son propre carré, avec sa date de naissance en première ligne !

Un carré de nombres et une tortue

Un carré magique est un arrangement de $n^2$ nombres placés dans les cases d’un carré $n \times n$ de telle sorte que les sommes le long de chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales principales soient égales. Le plus ancien de ces carrés a son origine en Chine. Il comporte les chiffres $1, 2,\dots,9$ arrangés sur un carré $3\times3$ ; la somme associée est donc égale à $15$ :
\[4+9+2=3+5+7=8+1+6=15,\]
\[4+3+8=9+5+1=2+7+6=15,\]
\[4+5+6=2+5+8=15.\]
Ce carré est universellement connu sous le nom de Luo Shu. Le mot shu signifie tortue, alors que Luo est le nom d’un fleuve. Une vieille légende raconte que, lors d’une inondation, l’empereur chinois y est allé offrir des fleurs et des plantes en tant qu’offrandes aux dieux. Or, une tortue les a toutes remises sur le bord de la rivière. Cette tortue avait sur sa carapace 45 marques disposées comme les nombres qui apparaissent dans le carré magique $3\times3$.

Bonus track.

Les propriétés magiques du carré numérique entraînent évidemment
\[492 + 357 + 816 = 294 + 753 + 618,\]
\[438 + 951 + 276 = 834 + 159 + 672.\]
Il est très surprenant que les carrés de ces nombres vérifient des propriétés similaires :
\[492^2 + 357^2 + 816^2 = 294^2 + 753^2 + 618^2,\]
\[438^2 + 951^2 + 276^2 = 834^2 + 159^2 + 672^2.\]
En fait, ceci reste valable lorsqu’on lit ces nombres en n’importe quelle base de numération (plus grande que 10). Vérifiez-le !

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Le carré magique sur le dos d’une tortue.

On trouvera ici un article sur Images des mathématiques à propos de l’histoire ancienne (fascinante) des carrés magiques, ainsi qu’un algorithme pour construire des carrés $4\times4$ spéciaux (dits « panmagiques » ; voir plus bas) avec les nombres $1,2,\dots,16$ (donc ayant $34$ comme somme). Parmi eux, le plus fameux est sans nul doute celui de Khajuraho, appelé aussi Chautisa Yantra (le mot « chautisa » signifie $34$).

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Il est important de signaler qu’en général, la terminologie « carré magique » n’est utilisée que pour les carrés $n \times n$ remplis avec les nombres $1, 2,\ldots, n^2$. Pour ces carrés, la valeur de la somme correspondante est donc égale à
\[\frac{1}{n} \, (1+2+\ldots+n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n^2 (n^2+1)}{2} = \frac{n \, (n^2+1)}{2}.\]
Or, notre objectif ici étant de faire un peu d’algèbre linéaire, nous abandonnerons ces restrictions.

Comment « redécouvrir » tous les carrés magiques $3\times3$

Voici un premier calcul. Nous avons signalé que nous n’allons nous imposer aucune condition a priori sur les nombres à utiliser autre que les « propriétés magiques », c’est-à-dire que les sommes le long des lignes, colonnes, et les deux diagonales principales soient les mêmes. Pour des carrés $3\times 3$, cela veut dire que nous cherchons les formules « les plus générales » pour les « inconnues » $x$, $y$, $z$, $u$, $v$, $w$, $p$, $q$, $r$ de sorte à satisfaire les égalités

\[\hspace{-8cm} x+y+z = u + v + w = p + q + r =\\ \hspace{6cm} = x + u + p = y + v + q = z + w + r =\\ \hspace{12cm} = x + v + r = z + v +p, \]

le carré en considération étant

$x$ $y$ $z$
$u$ $v$ $w$
$p$ $q$ $r$

Ce calcul n’est pas difficile (c’est un exercice !). Il semble avoir été fait pour la première fois par Édouard Lucas au XIXe siècle. Les formules s’expriment de la manière suivante :

$\ell -m$ $\ell +m+n$ $\ell -n$
$\ell +m-n$ $\ell$ $\ell -m+n$
$\ell +n$ $\ell -m-n$ $\ell +m$

Ici, les nombres $\ell, m, n$ sont arbitraires (ils peuvent être non entiers, même non réels !). En effet :
\[(\ell-m)+(\ell+m+n)+(\ell-n) = 3 \ell,\]
\[(\ell+m-n)+(\ell)+(\ell-m+n) = 3 \ell,\]
\[(\ell+n)+(\ell-m-n)+(\ell+m) = 3\ell,\]
\[(\ell-m)+(\ell+m-n)+(\ell+n) = 3 \ell,\]
\[(\ell+m+n)+(\ell)+(\ell-m-n) = 3 \ell,\]
\[(\ell-n)+(\ell-m+n)+(\ell+m) = 3\ell,\]
\[(\ell-m)+(\ell)+(\ell+m) = (\ell-n)+(\ell)+(\ell+n) = 3\ell.\]

Si l’on veut faire apparaître les nombres $1,\dots,9$, on est obligé de prendre $\ell = 5$. En effet, la somme de tous les coefficients vaut $9\ell$, et elle est égale à
\[1+2+\ldots+9= 45.\]
À partir de là, il n’est pas difficile de déterminer toutes les possibilités : il y en a 8. Les carrés obtenus se correspondent l’un à l’autre par des mouvements géométriques (4 rotations et 4 réflexions [1]). Luo Shu s’obtient en faisant $m=1$ et $n=3$.

Un autre carré magique $3\times3$ intéressant s’en déduit en faisant $\ell = 59$, $m =-12$ et $n = 42$. C’est le carré magique de nombres premiers (distincts) les plus petits qui puisse exister.

$71$ $89$ $17$
$5$ $59$ $113$
$101$ $29$ $47$

Des carrés panmagiques $4\times 4$

Un carré magique est dit panmagique (ou diabolique) si les sommes le long de toutes les diagonales (y compris celles qui sont brisées [2]) sont les mêmes. Les carrés magiques $3\times3$ ne sont jamais panmagiques, sauf évidemment si les nombres de toutes les cases sont égaux (ceci découle directement des formules de Lucas plus haut). En revanche, il existe des carrés panmagiques $4\times4$, même avec les nombres $1, 2,\dots, 16$. En fait Chautisa Yantra, observé plus haut, en est un exemple.

Il se trouve que pour les carrés panmagiques, d’autres combinaisons que celles des lignes, colonnes et diagonales mènent aussi à la même somme. Autrement dit, les relations panmagiques entraînent de nouvelles relations (on reconnaîtra ici l’idée de « dépendance linéaire »), de telle sorte qu’à partir des 16 que l’on a originalement imposées (4 lignes, 4 colonnes, 8 diagonales, représentées par le première, deuxième, troisième et dernier carré plus bas), on aboutit finalement à 52. Ceci est illustré ci-dessous pour Chautisa Yantra. Dans chaque carré, les nombres des cases de même couleur ont pour somme $34$.

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Il y a 384 manières distinctes de mettre les chiffres $1,2,\ldots,16$ sur un carré de $4 \times 4$ de sorte à obtenir un carré panmagique (voir à nouveau cet article). De plus, on peut passer de l’une à l’autre par des mouvements très spéciaux [3]. Quant à la formule la plus générale pour un carré panmagique $4 \times 4$, son calcul est encore un bel exercice d’algèbre linéaire. Une façon particulièrement confortable de l’exprimer est la suivante :

$a$ $b$ $c$ $d$
$\frac{b+c+d-a}{2}+k$ $\frac{a-b+c+d}{2}-k$ $\frac{a+b-c+d}{2}+k$ $\frac{a+b+c-d}{2}-k$
$\frac{a+b-c+d}{2}$ $\frac{a+b+c-d}{2}$ $\frac{b+c+d-a}{2}$ $\frac{a-b+c+d}{2}$
$c-k$ $d+k$ $a-k$ $b+k$

Testez au moins que les 52 sommes plus haut donnent la même valeur avec ces expressions algébriques générales. Vous allez vous surprendre, je vous l’assure !

Le carré magique de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, célèbre mathématicien indien, a composé pour lui-même le carré magique ci-dessous [4]. Même s’il ne satisfait qu’à 36 des 52 relations du Chautisa Yantra, il a la particularité d’encoder sa date de naissance sur la première ligne : 22 décembre 1887 [5].

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Pourquoi Ramanujan n’a-t-il pas cherché à créer un carré panmagique avec sa date de naissance en première ligne ? La réponse vient de la formule générale ci-dessus. En effet, on voit clairement que pour obtenir un tel carré panmagique composé de nombres entiers, il faut que la date de naissance mène à une somme $a+b+c+d$ qui soit paire. Or, pour Ramanujan, cette somme est égale à $22 + 12 + 18 + 87 = 139$... Rien à faire.

Pour n’importe quelle première ligne prescrite il y a cependant un carré comportant toutes les relations de celui de Ramanujan et à nombres entiers. Plus bas, la formule la plus générale pour un carré $4 \times 4$ qui satisfait que les 34 combinaisons ci-dessus mènent à la même somme (encore un exercice...).

Mettez votre date de naissance en première ligne, donnez des valeurs quelconques à $m$ et $n$, et calculez votre propre carré magique !

$a$ $b$ $c$ $d$
$d+m+n$ $c-m-n$ $b-m+n$ $a+m-n$
$b-m$ $a+m$ $d+m$ $c-m$
$c-n$ $d+n$ $a-n$ $b+n$

Et voilà ! Par des carrés magiques, le monde des êtres humains se divise inexorablement en deux. D’un côté, il y a ceux (fortunés) qui sont nés à une date qui donne un nombre pair, et qui possèdent donc des carrés panmagiques à nombres entiers [6]. De l’autre, il y a ceux comme le malheureux Ramanujan -ou moi-même- qui n’ont que des carrés demi-panmagiques, du fait d’être nés en une date impaire...

Les carrés panmagiques $5\times5$ en tant qu’obituaires

L’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, Leonhard Euler, s’est beaucoup intéressé aux carrés magiques, et il en a même écrit un traité. Il est né le 15 avril 1707 et décédé le 18 septembre 1783 (à l’âge de 77 ans). En son honneur, j’ai composé le carré plus bas. Vous le remarquerez rapidement : les nombres des cases colorées correspondent à ses dates de naissance et de décès, et le carré est panmagique avec une somme égale à 77. J’ai été obligé, tout de même, de mettre des valeurs négatives.

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Il faut bien rajouter que sur tout carré panmagique $5 \times 5$ il y a des relations supplémentaires qui apparaissent. En effet, pour toute « configuration pentagonale » (quinconce) comme ci-dessous (et centrée en n’importe quel point [7]), la somme reste la même que pour les lignes, colonnes et diagonales. Ainsi, pour le carré obituaire d’Euler plus haut, il y a 120 configurations de nombres dont la somme est $77$ (comptez 5 lignes, 5 colonnes, 10 diagonales et 4 x 25 = 100 quinconces).

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Et voilà la formule générale des carrés panmagiques $5 \times 5$ à partir de laquelle on constate aisément les relations supplémentaires des quinconces
 [8]. Exercice : montrez cette formule !

$s+n-\mu$ $k$ $p+q-\mu$ $\ell$ $r+m-\mu$
$p$ $\ell +r-\mu$ $m+n-\mu$ $k+s-\mu$ $q$
$k+m-\mu$ $q+s-\mu$ $\mu$ $p+r-\mu$ $\ell +n-\mu$
$r$ $p+n-\mu$ $k+\ell - \mu$ $q+m- \mu$ $s$
$\ell + q-\mu$ $m$ $r+s- \mu$ $n$ $k+p - \mu$

Il est intéressant de remarquer que la somme associée à ce carré est égale à
\[k+\ell+m+n+p+q+r+s-3\mu.\]
Par conséquent, si l’on veut placer des dates de naissance et de mort d’une personne sur un carré panmagique comme plus haut ayant pour somme le nombre d’années vécus, il faut qu’une certaine condition de divisibilité par $3$ soit satisfaite par ces nombres. Encore une fois, Ramanujan en sort malheureux.

Enfin, oublions un peu les dates pour admirer le plus beau des carrés panmagiques $5 \times 5$. Il est composé des nombres $1,\ldots,25$, et il a la propriété supplémentaire que la somme du nombre de chaque case plus celui qui est dans la case opposée par rapport à la centrale est égale a $26$, la case centrale étant occupée par $13 = 26 \, / \, 2$ [9].

$17$ $24$ $1$ $8$ $15$
$23$ $5$ $7$ $14$ $16$
$4$ $6$ $13$ $20$ $22$
$10$ $12$ $19$ $21$ $3$
$11$ $18$ $25$ $2$ $9$

La dimension des carrés

La présentation des carrés magiques comme issus de systèmes d’équations linéaires n’est pas la plus habituelle, en partie parce qu’une vieille tradition veut qu’il soient remplis avec des nombres consécutifs, et il n’est pas du tout clair en regardant les solutions générales plus haut que cela puisse se faire.

Il n’est donc pas étrange que pas mal de chercheurs, en commençant par Nārāyaṇa en Inde (voir encore une fois cet article) et Philippe de la Hire en France (qui fut peut-être le premier chercheur de la période « moderne » des carrés magiques en Occident), et en passant par Euler et même Ramanujan, aient cherché à écrire des carrés magiques comme des carrés gréco-latins. Rappelons qu’un carré gréco-latin est un carré $n \times n$ qui est la somme de deux carrés avec la propriété d’être remplis avec $n$ nombres distincts dont chacun apparaît $n$ fois mais jamais sur la même ligne ni sur la même colonne. Voici une telle écriture pour des carrés panmagiques $5 \times 5$. Testez au moins que les propriétés panmagiques sont satisfaites !

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Il se trouve que l’expression finale à droite est tout à fait équivalente à celle donnée plus haut. Une manière assez illustrative pour s’en convaincre consiste à compter le nombre de paramètres ’’libres’’ dont on dispose dans chaque cas. Plus haut, nous avons utilisé 9 paramètres : $k,\ell,m,n,p,q,r,s,\mu$. Avec les carrés gréco-latins, il semblerait y en avoir 10, mais en réalité il n’y a que 9 car on peut jouer a soustraire une quantité quelconque $T$ à tous les nombres grecs et puis rajouter ce même $T$ à tous les nombres latins, en obtenant le même carré panmagique à la fin.

En fait, on peut passer d’une formule des carrés plus haut à l’autre par des changements de variables appropriés. Nous laissons encore cela comme exercice.

Dernier exercice

Montrez que si l’égalité ci-dessus mène à un carré comportant tous les nombres $0,1,\ldots,24$ et les carrés à gauche sont à nombres entiers positifs, alors
l’un des ensembles $\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}$ ou $\{a,b,c,d,e\}$ coincide avec $\{0,1,2,3,4\}$ et l’autre avec $\{0,5,10,15,20\}$.
En sachant ceci, répondez à la question suivante : combien de carrés panmagiques $5 \times 5$ à entrées $\{1,2,\ldots, 25\}$
existe-t-il ?
On attend votre solution dans les commentaires de cet article !

Le lecteur un peu plus savant reconnaîtra immédiatement que cette notion de « nombre de paramètres libres » n’est rien d’autre que la « dimension » de l’ensemble des carrés magiques lorsqu’on le pense comme un espace vectoriel (on peut sommer des carrés magiques pour en obtenir d’autres, ainsi que les multiplier par des scalaires en multipliant chaque entrée par ce scalaire). Et voici une bonne nouvelle : ces dimensions ont été calculées pour tout $n$ par X. Houa, A. Lecuona, G. Mullen et J. Sellers dans un article relativement récent [10].

Bref, si l’on veut incorporer encore des nombres à son propre carré magique, il suffit de choisir la bonne dimension !

La vie n’est pas si simple (et les carrés non plus)

Même si, de nos jours, les carrés magiques ne font pas partie des mathématiques les plus « modernes » et « sophistiquées », il reste encore beaucoup de questions ouvertes qui ont parfois des liens avec des problèmes actuels importants. Par exemple, le problème de comptage des carrés magiques $n \times n$ remplis avec $1,\ldots,n^2$ n’est pas encore résolu : à partir de $n=6$ on ne connaît pas le nombre total !

Bien sûr, pour $n=6$ c’est un problème que l’on peut passer à un ordinateur. Il suffirait de tester, pour chaque permutation possible, si les propriétés magiques sont satisfaites (cela prend 14 sommes par permutation). Or, le nombre de ces permutations est « astronomique » : il vaut
\[36 ! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 35 \times 36,\]
qui est égal à
\[371 \, 993 \, 326 \, 789 \, 901 \, 217 \, 467 \, 999 \, 448 \, 150 \, 835 \, 200 \, 000\, 000\]
(rappelons vite pourquoi : on a 36 casses pour placer le 1 ; une fois placé, il reste 35 casses pour placer le 2 ; etc ; le nombre total de permutations est donc le produit en question). On voit ainsi apparaître un problème plus général qui consiste à mettre au point des algorithmes qui permettent de mieux faire face à ce type de situations de comptage. Il est fort probable que dans les années à venir on puisse savoir la réponse à notre problème particulier pour $n= 6$, mais peut-on dire quelque chose pour $n = 2019$, par exemple ?

Pour conclure, voici un autre problème ouvert. Parmi les nombreuses contributions d’Euler autour des carrés magiques, voici l’une des plus belles :
c’est un carré magique $4 \times 4$ dont toutes les entrées sont des carrés de nombres entiers (distincts). Testez-le !

$68^2$ $29^2$ $41^2$ $37^2$
$17^2$ $31^2$ $79^2$ $32^2$
$59^2$ $28^2$ $23^2$ $61^2$
$11^2$ $77^2$ $8^2$ $49^2$

Existe-t-il un analogue $3 \times 3$ ? C’est une question qui date de presque 250 ans, un problème fascinant lié à une théorie profonde des mathématiques d’une grande activité de nos jours : celle des courbes elliptiques.

\[\hspace{-8cm} x^2\! +\! y^2\!+\!z^2 = u^2\! +\! v^2\! +\! w^2 = p^2\! +\! q^2\! +\! r^2 = \\ \hspace{6cm}= x^2\! +\! u^2\! +\! p^2 = y^2\! +\! v^2\! +\! q^2 = z^2\! +\! w^2\! +\! r^2 = \\ \hspace{12cm} = x^2\! +\! v^2\! +\! r^2 = z^2\! +\! v^2\! +\! p^2 \]

$x^2$ $y^2$ $z^2$
$u^2$ $v^2$ $w^2$
$p^2$ $q^2$ $r^2$

Nous pouvons enfin nous demander : y a-t-il une tortue dans une rivière du monde dont la carapace comporte ces nombres $x,y,z,u,v,w,p,q,r$ encore inconnus ? [11]

L’harmonie des nombres

Pour conclure, je voudrais rajouter mon expérience personnelle avec les carrés magiques.

L’année dernière, j’ai fait beaucoup d’exposés grand public qui commençaient avec ces carrés pour aboutir à des mathématiques contemporaines. Dans des lycées, je proposais aussi comme activité de classe de créer son propre carré magique. Et les étudiants étaient toujours aussi contents de voir leur date de naissance parmi des nombres ayant des propriétés surprenantes ! [12].

De manière parallèle, et comme une sorte d’expérimentation sociale, lors des anniversaires de mes amis je leur ai offert en cadeau leurs propres carrés magiques [13]. Et j’ai toujours vu la même réaction de surprise accompagnée d’un petit sourire.

Je pense que les lycéens et mes amis ont un peu expérimenté cet émerveillement devant les nombres que nous, mathématiciens, avons tous les jours lorsque nous faisons des mathématiques. Je suis convaincu que les carrés magiques sont à la fois un bon outil d’apprentissage au lycée et une belle voie de communication pour un public non mathématicien. D’ailleurs, il n’est pas anodin qu’avant d’être arrivés en Europe depuis la Chine, l’Inde et le monde perse et arabe, ces carrés aient eu un tout autre nom (bien meilleur à vrai dire) : on les appelait « des arrangements harmonieux de nombres ».

Enfin, je crois qu’avec des carrés magiques, on peut ressentir un peu l’harmonie des mathématiques...

Post-scriptum :

Pour en savoir plus :

— Le site de Wikipedia contient beaucoup d’informations sur les carrés magiques. Cependant, à l’exception de celle de Lucas, les formules générales données ici (i.e. celles des carrés $4 \times 4$ et $5 \times 5$) ne s’y trouvent pas.

— Le Chapitre 3 de mon livre Lecciones de Matemáticas para el Recreo contient du matériel lié aux carrés magiques. Malheureusement, il n’est sorti qu’en espagnol (pour l’instant...).

— Voici une vieille référence en français : un journal du XIX siècle appelé Les Tablettes du Chercheur (disponible ici) contient des nombreux exercices de carrés magiques.

Remerciements :

L’image à la une de la tortue aux inconnues d’Euler fut préparée tout spécialement pour cet article par Constanza Rojas Molina, et je l’en remercie infiniment. Je remercie aussi de manière chaleureuse Antonieta Emparán pour la plupart des images à l’intérieur du texte, María José Moreno encore pour une image, Julie Decaup pour ses corrections, Carole Gaboriau et Philippe Colliard encore pour des corrections et leur aide concernant la publication, et les relecteurs Amic, janpol3 et Pierre Lescanne.

Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1Ces transformations forment notre cher groupe diédral $D_4$.

[2On illustre deux de ces diagonales brisées dans le troisième carré plus bas : l’une est formée par les cases en rose et l’autre par les casses en bleu ciel. Les autres quatre diagonales brisées sont illustrées dans le dernier carré.

[3Ces permutations forment un groupe isomorphe au groupe des automorphismes de l’hypercube. Nous y reviendrons dans un prochain billet.

[4Le Premier Cahier de Ramanujan, celui qui contient ses recherches lorsqu’il était encore au Lycée, est plein de formules –parfois surprenantes– sur des carrés magiques (un résumé de ces cahiers se trouve ici). On verra à la minute 4:08 du superbe film L’homme qui connaissait l’infini une reproduction de ce cahier s’ouvrir à une page où se trouvent certains de ces carrés (parmi d’autres formules).

[5En l’honneur de Ramanujan, le 22 décembre a été proclamé Jour officiel des mathématiques en Inde. Au niveau mondial, une demande a été déposée par plusieurs pays auprès l’UNESCO pour établir le 14 mars Jour international des mathématiques. Pourquoi cette date ? C’est facile à deviner : pensez à $\pi$ (et pensez en anglais...).

[6Si vous êtes fortuné(e), utilisez la formule du paragraphe précédent (en choisissant un bon entier $k$) pour faire votre propre carré panmagique !

[7Ici on pourrait parler des configurations « brisées » comme l’on a fait avec les diagonales auparavant.

[8Vous trouverez dans cette page de Wikipedia un très bel argument pour établir ceci sans avoir besoin de connaître la formule générale.

[9Ce choix n’est pas par hasard : ces carrés viennent du monde arabe où la case centrale symbolisait bien évidement Allah, autour de qui tout devait circuler.

[10L’article en question est « On the dimension of the space of magic squares over a field », Linear Algebra and its Applications 438 (2013), 3463-3475.
On pourrait remarquer, cependant, que les phénomènes de parité et de congruence modulo 3 auxquels on fait référence plus haut montrent que le problème de trouver les dimensions des espaces de carrés (pan)magiques à coordonnées entières en tant que modules sur $\mathbb{Z}$ reste fort intéressant.

[11Les recherches avec des ordinateurs montrent que ces nombres -au cas où ils existent- doivent être gigantesques. It est donc fort probable que la tortue en question n’existe pas (ou peut être qu’elle existe et qu’elle a développé un système de notation numérique plus intelligent que le nôtre...).

[12Les carrés magiques qui en résultent sont particulièrement chouettes car, contrairement à l’auteur (et à un bon nombre de lecteurs d’Images des mathématiques), les lycéens sont nés au XXIe siècle, donc leurs dates de naissance mènent souvent à des carrés avec des chiffres entre 1 et 31.

[13Je n’ai pas fait la moindre différence entre des êtres humains pairs et impairs.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Des carrés magiques en cadeaux» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Les carrés magiques

    le 19 avril à 18:43, par Simon Falconoras

    J’ai moi même pas mal sué sur les carrés magiques : connaissez vous les figures magiques ? Les frises magiques ? Les napperons magiques ? Les cubes magiques ? Et toujours plus fort, plus exotiques, les carrés magiques réels ? ci-joint un lien vers mes propres recherches.
    http://www.falconoras.fr/stories/stories.detail.php?story_id=2&display=intro
    Ou ci-dessous en version PDF

    Répondre à ce message
    • Les carrés magiques

      le 26 avril à 01:55, par Andrés Navas

      Merci pour ces informations ! Ce serait d’ailleurs intéressant de calculer les dimensions des espaces (vectoriels) de toutes ces configurations magiques, en commencant par des étoiles magiques.

      Répondre à ce message

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