Des équations géométriques

les pérégrinations de la géométrie énumérative

Piste noire Le 18 février 2013  - Ecrit par  Catriona Maclean, Étienne Ghys Voir les commentaires (3)

Au début du vingtième siècle des mathématiciens se battaient pour sauver le « calcul de Schubert », une méthode prodigieuse en géométrie qui ne reposait malheureusement pas sur des bases théoriques bien justifiées. Nous verrons comment leurs tentatives ont abouti à la découverte d’une multiplication étonnante dans laquelle, au lieu de multiplier des nombres, comme tout le monde, on multiplie des objets géométriques.

Compter ?

Que font les chercheurs en mathématiques ?
Le site Images des Mathématiques est là pour essayer d’y répondre mais s’il fallait une réponse en un mot, certainement caricaturale, ce serait peut-être : « Ils comptent ! ».
Mais nous allons voir qu’ils ne comptent pas seulement avec des nombres.

Les lycéens apprennent à résoudre les équations du premier et du second degré.
Avant d’apprendre les formules, ils comptent les solutions.
Une équation du premier degré a une solution, et une équation du second degré a deux solutions si le fameux discriminant est positif, aucune s’il est négatif, et une seule, qualifiée de « double », s’il est nul.

Avant de résoudre un problème, il est souvent utile de savoir s’il a une solution, et encore plus utile d’être capable de compter les solutions.
Si on peut trouver ces solutions, c’est encore mieux, mais bien souvent c’est difficile, et parfois même impossible.
Par exemple, s’il s’agit de résoudre une équation dont le degré est un entier $n$ quelconque, la tâche est bien plus difficile que pour $n=1$ ou $2$, et elle est même d’une certaine manière impossible dès que $n\geq 5$
 [1].
Il n’est pas trop difficile cependant de montrer qu’une équation du $n$-ème degré ne peut pas avoir plus de $n$ solutions.

Nous allons voir que la géométrie peut aussi aussi conduire à des problèmes dont on aimerait compter les solutions... avant même d’essayer de les trouver.

Les complexes simplifient !

Après avoir appris qu’un nombre négatif n’a pas de racine carré, les lycéens de la filière scientifique sont invités à changer de point de vue.
On leur explique que les mathématiciens, dans un long processus historique, ont été progressivement amenés à imaginer des nombres qu’on appelle complexes et qui généralisent les nombres réels.
Ces nombres sont de la forme $x+i y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels « usuels » et $i$ est un nombre « imaginaire » dont le carré est $-1$.
On calcule avec ces nouveaux nombres en appliquant les mêmes règles que d’habitude, en tenant seulement compte du fait que $i^2=-1$.
Peu à peu, ces nombres complexes ont pris la place des nombres réels puisque, nous allons le voir, ils simplifient la vie du mathématicien
 [2] !

Reprenons l’exemple des équations du second degré.
Elles ont toujours deux solutions.
Bien sûr, il faut préciser ce toujours.
D’une part, même si les coefficients de l’équation sont des nombres réels, il faut être prêt à accepter des solutions complexes (lorsque le discriminant est négatif) : on parle alors de solutions imaginaires.
Et puis, il peut arriver que le discriminant soit nul si bien qu’il n’y a qu’une solution.
Mais on se sort de cette difficulté en convenant de dire que cette unique solution est double.
C’est un jeu de mots, sans aucun doute, mais nous verrons plus loin qu’il a un sens véritable.

Le pouvoir simplificateur des nombres complexes se manifeste pour tous les degrés.
C’est un théorème important, avec une longue histoire, qu’on appelle parfois le théorème fondamental de l’algèbre.
Une équation du $n$-ème degré a exactement $n$ solutions... si on les compte bien.
D’une part il ne faut pas oublier de compter les solutions imaginaires et d’autre part, certaines solutions peuvent être « multiples » dans un sens qu’il faudra bien sûr préciser.

Vu de cette manière, on est donc capable de compter le nombre de solutions d’une équation : il est simplement égal au degré de l’équation.
Trouver ces solutions est une autre affaire.

L’âge d’or de la géométrie énumérative : Hermann Schubert et son Kalkül

La géométrie énumérative est la branche de la géométrie qui cherche à compter le nombre de figures géométriques possibles satisfaisant à certaines conditions.

Typiquement, on a des objets géométriques, comme des cercles, des droites, ou des points, qui nous sont donnés.
On cherche à y ajouter un autre objet qui doit se positionner d’une certaine façon par rapport aux figures données.
En quelque sorte, il s’agit d’une « équation géométrique », à ceci près que les données
et les inconnues ne sont pas des nombres mais des cercles ou des droites.
La question posée est alors « combien y a-t-il de solutions à cette « équation » ? »

Commençons par un exemple très simple, presque naïf.
La donnée consiste en deux points du plan et l’inconnue est une droite.
L’équation consiste à exprimer le fait que la droite cherchée doit passer par les deux points donnés.
Autrement dit, on demande combien de droites passent par deux points donnés.
La réponse est bien sûr $1$.

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Voici un exemple bien moins simple, qui remonte à Apollonius, au troisième siècle avant notre ère.
On se donne trois cercles dans le plan.
On cherche à tracer un quatrième cercle qui est tangent à ces trois cercles.
Combien y a-t-il de manières de le faire ?
Appolonius a montré que ce nombre est compris entre 0 et 8, suivant la position des cercles donnés.

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La géométrie énumérative remonte donc à l’Antiquité, mais elle a eu son âge d’or à la fin du XIX ème siècle quand Hermann Caesar Hannibal Schubert a publié son livre [Sch79] « Kalkül der abzählenden Geometrie » (Calcul de la géométrie énumérative).
Cet ouvrage de 362 pages contient beaucoup d’exemples de calculs de géométrie énumérative.

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Pour donner une idée du tour de force que représentaient les méthodes de Schubert, voici deux de ses résultats, qu’il n’est pas nécessaire de comprendre dans les détails.

$\bullet$ Une conique est une courbe du plan dont l’équation est du second degré ; cela peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
On les appelle ainsi puisqu’on les obtient en coupant par un plan un cône de base circulaire.
Il y a 3264 ($= 2^6 \times 3 \times 17$) coniques dans le plan qui sont tangentes à cinq coniques données.
À vrai dire, là encore, pour que ce théorème soit valide, il ne faut pas oublier de compter la multiplicité et les coniques imaginaires.

$\bullet$ Une surface est appelée une quadrique si elle est définie par une équation du second degré en les trois coordonnées de l’espace.
Il y a $5 819 539 783 680$ ($= 2^{17} \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 59 \times 2389$) cubiques gauches dans l’espace qui sont tangentes à douze surfaces quadriques données.
Ici, nous appelons cubique gauche une courbe paramétrée dont les trois coordonnées sont données par un polynôme du troisième degré.

Dans ce livre, Schubert exposa une méthode puissante pour la solution de problèmes de géométrie énumérative, basée sur deux principes.

Premier principe : l’algèbre de conditions

Schubert, comme Chasles auparavant, avait remarqué une analogie avec l’algèbre.

Combinons des conditions en utilisant les conjonctions « ou » et « et », pour produire des conditions plus compliquées.
Par exemple, on pourrait combiner les conditions « la droite $D$
contient le point $p$
 » et « le point $p$ est contenu dans le plan $C$ », pour obtenir : « la droite $D$ contient le point $p$ et $p$ est contenu dans le plan $C$ ».

Ces opérations sur les conditions satisfont alors aux mêmes règles de combinaison que les nombres réels quand on les ajoute ou on les multiplie.

Par exemple, si $A$, $B$ et $C$ sont des conditions alors nous avons l’équivalence suivante :
\[ A \mbox{ et }(B \mbox{ ou } C) \mbox{ est équivalent à } (A \mbox{ et }B)\mbox{ ou }( A \mbox{ et } C) \]
de la même manière que pour les nombres réels :

\[ a\times(b+c)\mbox{ est la même chose que }(a\times b) +(a\times c). \]

Schubert conclut donc qu’il pouvait traiter des conditions imposées sur des figures géométriques comme des « variables algébriques » $a,b,c,$ etc., en les « ajoutant » ou en les « multipliant », même si le sens donné à ces opérations restait confus.

Deuxième principe : le principe de la conservation du nombre

Selon ce principe, un peu mystérieux il faut bien le dire, le nombre de solutions d’un problème de géométrie énumérative ne change pas lorsque les données sont modifiées de façon continue.

Par exemple, si nous retournons à notre exemple des deux points dans le plan par lesquels nous cherchons à faire passer une droite, le nombre de droites passant par ces deux points ne changera pas quand ces points se déplacent : il est toujours égal à 1.

Enoncé de cette manière, sans précautions, ce principe n’est pas vérifié dans les exemples les plus simples.
Considérons le problème suivant.
Deux cercles sont donnés dans le plan et on cherche à compter le nombre de droites qui sont tangentes aux deux cercles.
Si les deux cercles sont « emboîtés », il est bien clair qu’il n’y a aucune solution.
S’ils sont sécants, il y en a deux.
Et si les disques qu’ils bordent sont disjoints, il y en a quatre.
Comme on peut bien sûr déplacer continûment des cercles emboîtés pour les rendre par exemple sécants, le nombre de solution à notre problème passe donc de $0$ à $2$ : il n’a pas été conservé, contrairement au « principe de Schubert ».

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Bien entendu, il ne faut pas oublier les « droites imaginaires » dans le décompte des solutions au problème géométrique, même si leur signification peut troubler plus d’un débutant.
Le lecteur qui veut une définition formelle de ce qu’est une droite imaginaire se contentera peut-être de la réponse suivante : c’est par exemple l’ensemble des points du plan (complexe) dont les deux coordonnées (complexes) $(u,v)$ sont telles que $v = i u$.
En comptant ces mystérieuses droites complexes, on retrouve bien deux tangentes aux cercles des figures ci-dessus. 
Troublant pour un géomètre habitué à la brave géométrie d’Euclide !
En fait, c’est à l’usage qu’on comprend tout l’intérêt de ces objets imaginaires en géométrie.
À un étudiant qui se plaignait qu’il ne comprenait pas les nombres complexes, Cauchy répondit : « Allez ! la foi viendra plus tard ! »
Comme disait le mathématicien Von Neumann, « en mathématiques, on ne comprend pas, on s’habitue ! »

Mais il y a une autre difficulté dans le principe de conservation : l’apparition de cas particuliers.
Dans l’exemple des tangentes à deux cercles, il pourrait par exemple arriver que les deux cercles coïncident et il y a alors une infinité de tangentes communes aux « deux » cercles puisqu’ils n’en forment qu’un seul...
Nous reviendrons sur cette difficulté plus loin.

Schubert se permit donc de modifier les données initiales de ces problèmes pour trouver d’autres configurations plus faciles à traiter.
Prenons comme exemple le problème des quatre droites.

Supposons données quatre droites dans l’espace $D_1, D_2, D_3, D_4$.
Nous cherchons à calculer le nombre de droites $D$ qui les rencontrent toutes les quatre.

Schubert tient le raisonnement suivant.
Bien sûr, deux droites dans l’espace ne se rencontrent pas en général mais puisque nous avons le droit de déformer les données, sans changer le nombre de solutions, nous pouvons choisir les droites $D_1, D_2$ de telle façon qu’elles se rencontrent en un point $p_1$.
Il y a alors deux possibilités : soit la droite $D$ passe par le point $p_1$, soit elle est contenue dans le plan $P_1$ contenant $D_1$ et $D_2$.

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Si $D$ passe par le point $p_1$ alors elle est contenue dans le plan $P_2$ contenant $p_1$ et la droite $D_3$.
Comme elle rencontre $D_4$, elle doit passer par le point d’intersection $p_2$ de $P_2$ et $D_4$. La droite $D$ ne peut donc être que celle qui joint $p_1$ et $p_2$.

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Maintenant si $D$ est dans $P_1$ alors puisqu’elle rencontre $D_3$ et $D_4$, elle doit rencontrer les points $p_3$ et $p_4$ où $p_i$ est le point d’intersection de la droite $D_i$ avec le plan $P_1$.
La droite $D$ est donc celle qui passe par les points $p_3$ et $p_4$.

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Au total il y a donc deux possibilités pour $D$ et par le principe de conservation du nombre la réponse au problème initial est $2$.
Convaincus ?

En combinant les deux principes, on aurait pu faire les manipulations suivantes.
Soit $C_1$ la condition qu’une droite inconnue rencontre une droite donnée.
Nous voulons calculer $C_1^4$, c’est-à-dire que la droite à trouver doit rencontrer chacune des quatre droites $D_1, D_2, D_3, D_4$ : nous élevons une condition à la puissance 4.
En déformant deux droites données jusqu’à ce qu’elles se rencontrent, l’argument ci-dessus montre que
\[ C_1^2=C_2+C_3, \]
où $C_2$ est la condition qu’une droite inconnue rencontre un point donné et $C_3$ est la condition qu’une droite inconnue se trouve dans un plan donné.
Nous avons donc
\[ C_1^4= (C_2+C_3)^2= C_2^2+ 2C_2C_3+ C_3^2. \]
Le symbole $C_2^2$ réprésente le nombre de droites passant par deux points donnés, c’est-à-dire $1$.
Le symbole $C_2.C_3$ réprésente le nombre de droites qui sont à la fois dans un plan donné et passent par un point donné — zéro pour un point et un plan général, et $C_3^2$ est le nombre de droites qui sont
à la fois dans deux plans donnés, qui est 1 en général.
On a donc $C_1^4=1+0+1=2$.

Le lecteur se demandera probablement quel est le sens véritable de ce calcul symbolique avec des objets géométriques.
Qu’il se rassure !
Les contemporains de Schubert n’y comprenaient pas grand-chose (et on peut se demander d’ailleurs comment Schubert lui-même concevait ce calcul).

Le défaut du calcul de Schubert

Le calcul de Schubert permit des tours de force, mais avait un défaut important.
Nous avons déjà observé que le principe de conservation du nombre sur lequel tout ce calcul repose est faux dans la forme donnée ci-dessus, et ceci pour deux raisons différentes.

Dégénérescence vers un nombre infini de solutions

Des dégénérescences particulières des objets donnés peuvent amener à des situations où il y a une infinité de solutions.
Nous avons déjà rencontré cela en comptant les tangentes communes à deux cercles ; il y en a une infinité lorsque les deux cercles coïncident !

Ou, plus simplement encore : il y a une droite qui passe par deux points sauf si ces deux points coïncident auquel cas il y a une infinité de solutions.

Ce problème n’est pas incontournable : il suffit, comme l’a fait Schubert, de n’énoncer le principe de la conservation du nombre que pour les cas où le nombre de solutions est fini, dans le cas général comme dans le cas particulier.

Le lecteur, de plus en plus perplexe, pourra s’interroger sur la valeur d’un principe qui est vrai sauf... lorsqu’il est faux !

La multiplicité

Un problème bien plus important se présente lorsqu’une configuration particulière des données fait coïncider des solutions qui sont distinctes en général.

Nous avons déjà observé que lorsque le discriminant d’une équation du second degré s’annule, il n’y a qu’une seule solution, qu’on déclare « double ».
Géométriquement, la parabole d’équation $y=x^2$ coupe l’axe des $x$ en au seul point $(0,0)$ mais comme il s’agit d’un point de tangence, on considère que l’intersection est double.

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Voici un autre exemple.
Supposons que dans le problème des quatre droites, les deux droites $D_1$ et $D_2$ se rencontrent en un point $p$ qui se trouve sur la droite reliant les points $p_3$ et $p_4$.
(Rappelons que $p_i$ est le point d’intersection de $D_i$ avec le plan contenant $D_1$ et $D_2$.)
La droite reliant $p_3$ et $p_4$ est alors la même que la droite passant par $p$ et rencontrant $D_3$ et $D_4$ et notre problème n’a plus qu’une seule solution (ou un nombre infini si jamais les droites D3 et D4 se rencontrent).

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Schubert reconnut ce problème et le contournait en décrétant que dans ce cas il s’agissait d’une solution « avec multiplicité ».
Autrement dit, il considérait que cette solution, qui était solution pour deux raisons bien distinctes, était une solution « double » et devait être comptée deux fois.
Mais il ne donna pas de définition rigoureuse de la multiplicité d’une solution : son œuvre contient des exemples de calculs de multiplicité (qui sont vérifiés aujourd’hui), mais aucune définition et encore moins de démonstration du
principe de la conservation du nombre.

Alors que faire ?

Hilbert, Severi, Van der Waerden : des justifications

La mise en place de bases solides pour le calcul de Schubert s’imposa rapidement comme l’une des questions majeures des mathématiques du début du vingtième siècle.
Étant données la puissance de la méthode et sa réussite calculatoire, aucun mathématicien ne souhaitait l’abandonner, mais même les mathématiciens les plus friands d’arguments intuitifs
 [3] ne pouvaient qu’admettre que le principe de conservation posait un problème très sérieux.
En outre, quelques articles datant des premières années du vingtième siècle donnèrent des contre-exemples au principe de conservation du nombre [4] qui, s’ils n’invalidaient pas le principe dans les applications de Schubert, montrèrent tout au moins la nécessité de circonscrire son champ d’application.
Même Francesco Severi, défenseur farouche de la démonstration intuitive contre ce qu’il appelait la « rigueur formelle », admit dans son article [Sev12] de 1912 que « in questo caso si tratta di qualcosa di più che un semplice scrupolo di eccessivo rigore » [5].
Pour sa part avocat d’une science mathématique épurée et rigoureuse, David Hilbert donna dans sa conférence du 8 août 1900 au Congrès International de Mathématiciens de Paris une liste très influente de 23 problèmes en mathématiques qui lui paraissaient déterminants pour l’avenir de la discipline :
le problème du calcul de Schubert est le quinzième.
Dans les années qui suivirent, ce problème fut le moteur de beaucoup de recherches sur la géométrie algébrique, le domaine de la géométrie concernant les lieux de zéros d’équations polynomiales.

Une première tentative : Francesco Severi

En 1912 Francesco Severi publia un article [Sev12] « Sul principio della conservazione del numero » dans lequel il pensait avoir résolu le problème.
Cet article ne correspond pas aux normes de rigueur d’aujourd’hui [6] mais contient une reformulation importante du problème.
Il utilisa ce qu’on appelle des espaces de paramètres et remplaça les conditions de Schubert par des objets géométriques.

Qu’est-ce qu’un espace de paramètres ?
Pour simplifier un peu, c’est un espace dans lequel les points représentent des objets géométriques.

Pour donner un exemple, considérons les droites dans l’espace.
Pour simplifier, décrivons un espace de paramètres pour l’ensemble des droites qui ne sont sont pas parallèles à l’un des deux plans $(Oxy)$ et $(Oyz)$.
Pour décrire une telle droite, il suffit de donner les deux points d’intersection $(a,b,0)$ et $(0,c,d)$ avec ces plans.

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On pourrait donc considérer que les données $\{a,b,c,d \}$ décrivent la droite $D$ et l’ensemble de ces quadruplets de nombres forme ainsi un espace de paramètres pour les droites de l’espace.

Une fois qu’on a décrit les figures qu’on cherche à compter par un espace $E$, une condition $C$ est représentée par le sous-espace $E_C$ de $E$ formé des éléments de $E$ qui satisfont à $C$.
Par exemple, dans le cas des droites, si $C$ est la condition qu’une droite passe par le point $(0,1,2)$ alors nous laissons au lecteur le plaisir d’écrire les équations entre les coordonnées $(a,b,c,d)$ qui correspond à cette condition.
Notons que si $C_1$ et $C_2$ sont des conditions alors
\[ E_{(C_1 \mbox{ et } C_2)} = E_{C_1} \cap E_{C_2} \]
et
\[ E_{(C_1 \mbox{ ou } C_2)} = E_{C_1} \cup E_{C_2}. \]
Nos « addition » et « multiplication » des conditions, utilisant « et » et « ou » devraient donc avoir un pendant géométrique — une « addition » et « multiplication » des sous-espaces de $E$, où $A\times B= A\cap B$ et $A+B= A\cup B$.

La solution de Van der Waerden et Lefschetz

Cette reformulation était une avancée majeure, mais le problème fondamental, la définition des multiplicités, n’avait fait que se déplacer.
En effet, le problème se pose encore de définir les multiplicités d’une intersection.

Une autre façon de voir la même question serait la suivante.
Nous voudrions « multiplier » des sous-ensembles d’un espace géométrique en
les intersectant, tout comme nous avons « multiplié » des conditions en les imposant simultanément.
Tant que ces sous-ensembles ne varient pas, nous pouvons très bien « additionner » et « multiplier » des sous-espaces d’un espace en posant
\[ A\times B= A\cap B \quad \mbox{ et } \quad A+B= A\cup B. \]
Mais nous voulons en plus que lorsque les espaces $A$ et $B$ se déforment de façon continue, leur intersection ne change pas. Comment modifier ce « produit d’intersection » pour obtenir ce résultat ?

Le jeune géomètre Van der Waerden [7] avait déjà écrit quelques articles sur la définition des multiplicités d’intersection dans des cas particuliers sans résultat général convaincant, lorsqu’il se souvint d’un travail de Lefschetz sur les cycles et leurs intersections en lien avec la théorie de l’homologie de Poincaré.

Lefschetz n’était pas, à l’époque, un spécialiste de la géométrie algébrique.
Il travaillait avec les sous-espaces (par exemple, des plans, des droites, des cercles etc.) d’espaces géométriques, qu’on appelle maintenant des cycles, mais avec une nouveauté : il considérait que deux espaces étaient « essentiellement » les mêmes si l’un pouvait être déformé sans déchirements en l’autre : c’est le domaine de la topologie.
D’une certaine façon, on pourrait dire que les cycles de Lefschetz sont des sous-espaces « mous » ou « mouvants » dont on connaît l’allure générale, mais pas la position exacte.
Lefschetz s’est posé la question de définir une intersection entre deux tels cycles « mouvants ».
En quelque sorte, nous avons deux sous-espaces dont on connaît l’allure générale, mais pas la
position exacte : peut-on savoir l’allure générale de leur intersection ?
La réponse vint dans son article de 1925 « Intersections of Complexes on Manifolds » [L25], et son compagnon de 1926 « Intersections and Transformations
of Complexes on Manifolds » [L26].
Dans ces articles, Lefschetz réussit à attacher à chaque espace géométrique un système arithmétique complet, où les objets qu’on manipule sont les cycles, où l’addition est la réunion de cycles et la multiplication est leur intersection.

Van der Waerden se rendit compte que cette multiplication de cycles était exactement l’ingrédient qui lui faisait défaut pour définir la multiplicité, et le principe de la conservation du nombre suivit.
Suite à son article [VdW29] « Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie » [8], publié en 1929, le principe de Schubert reposait enfin sur des bases sûres !

Kontsevich et les problèmes des polynômes

Pour finir, nous allons présenter un problème de géométrie énumérative résolu récemment par Kontsevich ([K95], [FP95]).
Soient $p_1, \ldots, p_N$ des points dans le plan (complexe) avec $p_i=(x_i, y_i)$.
Ici, par plan complexe, nous voulons dire que les deux coordonnées sont des nombres complexes.
Nous allons supposer que les $p_i$ n’ont rien de spécial — trois quelconques d’entre eux ne sont pas colinéaires, quatre ne sont pas sur un même cercle et ainsi de suite.
Bref, ils n’ont aucune propriété particulière.
Combien y a-t-il de courbes rationnelles de degré $d$ dans le plan qui passent par ces $N$ points ?
Ici, ce que nous appelons « courbe rationnelle de degré $d$ » est une courbe dans le plan dont les deux coordonnées sont des fractions rationnelles $P(z)/R(z),Q(z)/R(z)$, de degré $d$, d’un certain paramètre $z$.

Une autre façon de formuler ce problème serait la suivante.
Combien y a-t-il de triplets non-nuls $(P,Q,R)$ de polynômes de degré $d$ tels que les équations
\[ P(z)= x_i R(z)\quad ;\mbox{ } \quad Q(z)= y_iR(z) \]
aient une solution pour chaque $i$ ?
Il faudrait préciser que si $(P',Q',R')$ est un triplet qui s’obtient par une transformation simple du triplet $(P,Q,R)$, de telle façon que toute solution de ce système pour $(P,Q,R)$ donne lieu à une solution pour $(P',Q',R')$, alors nous considérons que $(P,Q,R)$ et $(P',Q',R')$ sont les « mêmes ».
Par exemple, nous considérons que $(P,Q,R)$ est le même triplet que $(\lambda P,\lambda Q,\lambda R)$ ou encore $(P(2z+1), Q(2z+1), R(2z+1))$.

On peut se convaincre assez facilement (bien qu’il faille un peu de travail pour le démontrer rigoureusement) que si $N< 3d-1$ alors la réponse est « une infinité » et si $N> 3d-1$ alors la réponse est « zéro ».
En effet, pour préciser un polynôme de degré $d$, il faut donner $d+1$ nombres complexes, ses coefficients.
On pourrait dire que « un polynôme de degré $d$ a $d+1$ degrés de liberté » ou « l’espace de polynômes de degré $d$ est de dimension $d+1$ ».
Pour donner un triplet de polynômes, il faut préciser 3d+3 coefficients : il y a donc 3d+3 degrés de liberté, puisque nous faisons $3d+3$ choix libres pour préciser notre triplet.
Par contre, notre règle disant que les triplets qui s’obtiennent l’un de l’autre par des opérations simples sont les mêmes nous fait perdre 4 degrés de liberté [9]
 : le nombre total de degrés de liberté qui nous reste est donc $3d-1$.

Chaque fois que nous imposons que le système d’équations
\[ P(z)= x_i R(z)\quad ;\mbox{ } \quad Q(z)= y_iR(z) \]
ait une solution $z$, nous imposons une condition supplémentaire sur le triplet $(P,Q,R)$ et nous perdons un degré de liberté chaque fois que nous imposons une telle condition.
Il est donc naturel de penser (même s’il reste ici beaucoup de choses à démontrer) que si le nombre de conditions imposées est inférieur au nombre de degrés de liberté, il nous restera toujours au moins un degré de liberté à la fin, et il y aura donc une infinité de triplets solutions.
De même, on peut s’attendre à ce que si on impose plus de conditions qu’il n’y a de degrés de liberté initiaux, le problème devienne impossible.

Mais que se passe-t-il dans le cas limite $N=3d-1$ ?
Il y a alors un nombre fini de triplets solutions.
Combien y en a-t-il ?
Ce problème, d’apparence relativement simple, n’a été résolu que dans les années 90 par Maxim Kontsevich ([K95], [FP95]), qui a démontré (entre autres) le résultat incroyable suivant dont nous ne pouvons même pas esquisser une démonstration dans cet article. Nous ne l’écrivons que pour le « plaisir » de montrer une (belle ?) formule.

Soit $M_d$ le nombre de solutions de ce problème pour des polynômes de degré $d$ et $N=3d-1$.

Les nombres $M_d$ satisfont alors l’équation de récurrence
\[ M_d= \sum_{k=1}^{d-1} M_kM_{d-k}(k^2(d-k)^2 {3d-4 \choose 3k-2} -k^2 (d-k) {3d-4 \choose 3k-1}). \]
Sachant que $M_1=1$, cette équation nous permet de calculer toutes les valeurs de $M_d$.
En voici les premières :
\[ M_2= 1,\quad M_3= 12, \quad M_4= 620,\quad M_5= 87304, \quad M_6= 26312976. \]
Les cycles de Lefschetz, et surtout leur produit d’intersection, sont la clef du calcul de Kontsevich.

Comme pour les équations polynomiales du début, ce décompte des courbes de degré $d$ qui passent par $N$ points du plan est valable en n’oubliant ni la multiplicité ni les solutions imaginaires.
Compter les solutions réelles est plus difficile ; un article de la revue « Images des Maths » (ancienne version) est consacré aux magnifiques développements récents sur cette question.

Bibliographie

[FP95] Fulton, W, Pandharipande, R.
Notes on stable maps and quantum cohomology
Algebraic geometry—Santa Cruz 1995, 45–96,
Proc. Sympos. Pure Math., 62, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

[GSW] P. Griffiths, D. Spencer, G. Whitehead. Solomon Lefschetz,
1884-1972 : a Biographical Memoir
published by the National Academy
of Sciences.

[K95] Kontsevich, M.  Enumeration of rational curves via
torus actions.
In : the moduli space of curves, eds R. Dijkgraaf, C. Faber
and G. van der Geer. Birkhäuser 1995 pp 335-368.

[L25] Lefschetz, S. Intersections of complexes of manifolds.
Proc. Natl. Acad. Sci. USA 11 (1925) pp 290-92.

[L26] Lefschetz, S. Intersections and transformations of
complexes and manifolds.
Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1926),
no. 1, 1–49.

[R05] Ronga, Felice Le calcul de Schubert, selon Schubert

[Schn07] Schappacher, N.
A Historical Sketch of B.L. van der Waerden’s Work on Algebraic Geometry
1926-1946.

In : Episodes in the History of Modern Algebra (1800-1950),
J.J. Gray et K.H. Parshall (eds.).
History of mathematics series, vol. 32. AMS / LMS 2007 ; pp. 245-283.

[Sch79] Schubert, Hermann. Kalkül der abzählenden Geometrie.
(German) Reprint of the 1879 original.
Springer-Verlag, Berlin-New York, 1979.

[Sev12] Severi, F ; Sul Principio della Conservazione del Numero.
Rend. Circ. Matem. Palermo 33 1912 pp 313-327.

[Stu05] Study, D ;
Über das sogennante Prinzip der Erhaltung der Anzahl.
Arxhiv der Mathematik und Physik 3, 8 1905 pp 271-278.

[VdW] Van der Waerden, B ; Topologische Begründung des Kalküls
des abzählenden Geometrie
. Math. Ann 102 1929 pp 337-362.

Post-scriptum :

Nous remercions chaleureusement nos relecteurs Romain Bondil, François Brunault, Jérôme Germoni, François Guéritaud, François Lê et Michel Mouyssinat. C’est un privilège d’avoir pu bénéficier de leurs observations judicieuses.

Article édité par Étienne Ghys

Notes

[1Plus précisément, la théorie de Galois montre qu’il n’existe pas de « formule » qui permette d’exprimer les solutions à l’aide de radicaux mettant en jeu les données du problème.
Cela n’exclut pas cependant la possibilité d’exprimer ces solutions d’autres manières, mais ce n’est pas le sujet de cet article.

[2Sur cette imagination, voir par exemple cette petite vidéo qui se termine sur Imagine de John Lenon !.

[3A l’époque, l’intuition géométrique était plus facilement admise comme forme de démonstration qu’aujourd’hui, surtout dans l’école italienne de géométrie.

[4Voir par exemple [Stu05].

[5Dans ce cas il s’agit de quelque chose de plus qu’un simple scrupule de rigueur excessive.

[6On dirait presque que le cœur du problème n’y est pas évoqué : Severi produit une ré-écriture géométrique du problème, et affirme que le résultat en découle immédiatement.

[7Pour une revue historique des contributions de Van der Waerden à la géométrie algébrique, voir
[Schn07].

[8La fondation topologique du calcul de la géométrie énumérative.

[9Pour être plus précis : on identifie $(P(z),Q(z),R(z))$ et $(kP((az+b)/(cz+d)),kQ((az+b)/(cz+d)),kR((az+b/cz+d)))$ (qui est bien encore de degré $d$ après réduction au même dénominateur).
Alors le sous-espace de tous les triplets qui sont les mêmes que $(P,Q,R)$ est de dimension 4.

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Pour citer cet article :

Catriona Maclean, Étienne Ghys — «Des équations géométriques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - http://www2.math.su.se/ shapiro/giants.html

Commentaire sur l'article

  • Des équations géométriques

    le 18 février 2013 à 09:23, par amic

    Bonjour, et bravo pour cet article très agréable à lire.

    Il me semble avoir relevé une coquille dans la formule de Kontsevich, ou du moins soit dans celle de cet article, soit dans celle de http://images.math.cnrs.fr/Enumeration-de-fractions.html

    Dans celui-ci, cela correspondrait à k³(d-k) pour le terme négatif.

    Répondre à ce message
  • Suite de nombres

    le 20 février 2013 à 13:52, par Michel Marcus

    Pour information, la suite des nombres M indice d est visible sur l’OEIS à https://oeis.org/A013587, avec formule et programmes.

    Répondre à ce message
  • Des équations géométriques

    le 20 février 2013 à 16:04, par Catriona Maclean

    @amic.

    Bonjour,

    Vous avez tout à fait raison : excuses pour la coquille...

    Catriona

    Répondre à ce message

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