Des étoiles

23 décembre 2013  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (2)

Un théorème pourra peut-être vous aider à décorer le sapin de Noël.

Découper de jolies étoiles d’un seul coup de ciseau ?

Je me souviens qu’à l’école primaire on nous apprenait à fabriquer toutes sortes d’avions en papier. J’aimais beaucoup ça et la période de Noël était le moment de découper des frises pour décorer la maison...

Pliez une feuille de papier comme indiqué sur les photos suivantes.
Un seul coup de ciseau suffit pour obtenir une étoile à cinq branches.
Très pratique !

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On trouve cette méthode dans un livre du magicien Houdini, datant de 1922. Il paraît qu’avec de la pratique, on peut fabriquer une bonne étoile en vingt secondes.

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Si vous partez d’une feuille de papier, si vous la pliez comme vous voulez et que vous n’avez droit qu’à un seul coup de ciseau, rectiligne, quelles sont les formes que vous pouvez obtenir ?

Toutes les figures polygonales sont réalisables !

C’est un théorème [1] de Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, et Anna Lubiw.

Non seulement c’est possible, mais les auteurs décrivent un algorithme pour y parvenir.

Par exemple, si vous voulez dessiner un cygne,

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il faut plier sur les lignes pointillées de la figure suivante :

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Il y a deux sortes de pointillés, qui indiquent le sens du pliage.

Le MSRI, l’institut de recherche mathématique de Berkeley aux USA, a choisi d’illustrer ce théorème sur sa carte de vœux.

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Si vous lisez l’anglais, allez voir cette page pour plus d’informations. On trouve même des exemples de patrons.
D’ailleurs, les autres articles des Demaine sont aussi intéressants [2].

Si vous comprenez l’anglais parlé, je vous recommande chaleureusement d’écouter la démonstration de ce théorème par l’un de ses auteurs Erik Demaine lors d’un cours au MIT consacré aux origamis. Le premier quart d’heure est en tout cas très élémentaire.

A vos ciseaux !

Allez voir également le livre de Houdini et apprenez à fabriquer des grenouilles en papier :-)

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Notes

[1Folding and Cutting Paper”, in Revised Papers from the Japan Conference on Discrete and Computational Geometry (JCDCG’98), Lecture Notes in Computer Science, volume 1763, Tokyo, Japan, December 9–12, 1998, pages 104–117.

[2Martin est le père d’Erik.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Des étoiles» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • Des étoiles

    le 24 décembre 2013 à 13:30, par François Sauvageot

    Magnifique !

    De quoi retrouver les étoiles qui brillent dans les yeux des enfants à la période de Noël. Un sujet d’émerveillement de la maternelle à l’université !

    Répondre à ce message
  • Des étoiles

    le 10 janvier 2014 à 00:12, par fluvial

    merci beaucoup pour ce poste très original :)

    Répondre à ce message

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