Des jumeaux dans la famille des nombres premiers I

Piste verte Le 20 mars 2015  - Ecrit par  Bruno Martin Voir les commentaires (5)

La conjecture des nombres premiers jumeaux est l’un des problèmes non résolus les plus populaires en mathématiques. Si l’énoncé est remarquablement simple, sa résolution semble actuellement hors d’atteinte.

Cet article est le premier volet d’une série de trois épisodes qui vise à présenter un problème mathématique célèbre et à ce jour irrésolu, celui des nombres premiers jumeaux.

Mais avant de parler de jumeaux, connaissez-vous les nombres premiers ? Il s’agit des nombres strictement plus grands que 1 qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes :
\[2,3,5,7,11,13...\]
L’étude de ces nombres premiers peut s’avérer particulièrement délicate comme nous allons le constater.

Commençons par nous familiariser davantage avec eux. Pour cela, je vous conseille de rechercher par vous-même tous les nombres premiers plus petits que 60. La réponse est donnée dans le menu déroulant qui suit.

Liste des nombres premiers plus petits que 60

\[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59\]

Pour les trouver, peut-être avez-vous testé pour chaque nombre s’il était divisible par un autre nombre que lui-même et 1, en faisant appel aux tables de multiplication ou même en utilisant une calculatrice ? Cela fonctionne, mais vous avez pu constater que cela prend du temps. Il existe une technique plus rapide qui consiste à éliminer, parmi tous les nombres plus petits que 100, ceux qui ne sont pas premiers —ce sont les multiples de 2,3,5,...— puis d’en déduire ceux qui le sont [1].

D’une manière ou d’une autre, on peut trouver tous les nombres premiers plus petits que, disons 200 pour commencer. Dans ce tableau, les nombres premiers sont ceux en couleur orange.
\[ \begin{array}{cccccccccc} 1 & \color{orange}{2}&\color{orange}{3} & 4 & \color{orange}{5} & 6 & \color{orange}{7} & 8 & 9 & 10\\ \color{orange}{11} & 12 & \color{orange}{13} & 14 & 15 & 16 & \color{orange}{17} & 18 & \color{orange}{19} & 20\\ 21 & 22 & \color{orange}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & \color{orange}{ 29} & 30\\ \color{orange}{ 31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 &\color{orange}{ 37} & 38 & 39 & 40\\ \color{orange}{ 41} & 42 &\color{orange}{ 43} & 44 & 45 & 46 &\color{orange}{ 47} & 48 & 49 & 50\\ 51 & 52 &\color{orange}{ 53} & 54 & 55 & 56 & 57 & 58 &\color{orange}{ 59} & 60\\ \color{orange}{ 61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 &\color{orange}{ 67} & 68 & 69 & 70\\ \color{orange}{ 71} & 72 & \color{orange}{ 73} & 74 & 75 & 76 & 77 & 78 & \color{orange}{ 79} & 80\\ 81 & 82 & \color{orange}{83} & 84 & 85 & 86 & 87 & 88 &\color{orange}{ 89} & 90\\ 91 & 92 & 93 & 94 & 95 & 96 &\color{orange}{ 97} & 98 & 99 & 100\\ \color{orange}{ 101} & 102 & \color{orange}{103} & 104 & 105 & 106 & \color{orange}{107} & 108 &\color{orange}{ 109} & 110\\ 111 & 112 & \color{orange}{113} & 114 & 115 & 116 & 117 & 118 & 119 & 120\\ 121 & 122 & 123 & 124 & 125 & 126 &\color{orange}{ 127} & 128 & 129 & 130\\ \color{orange}{131} & 132 & 133 & 134 & 135 & 136 & \color{orange}{137} & 138 & \color{orange}{139} & 140\\ 141 & 142 & 143 & 144 & 145 & 146 & 147 & 148 & \color{orange}{149} & 150\\ \ \color{orange}{ 151} & 152 & 153 & 154 & 155 & 156 & \color{orange}{157} & 158 & 159 & 160\\ 161 & 162 & \color{orange}{163} & 164 & 165 & 166 & \color{orange}{167} & 168 & 169 & 170\\ 171 & 172 &\color{orange}{ 173 }& 174 & 175 & 176 & 177 & 178 &\color{orange}{ 179} & 180\\ \color{orange}{ 181} & 182 & 183 & 184 & 185 & 186 & 187 & 188 & 189 & 190\\ \color{orange}{191} & 192 & \color{orange}{193} & 194 & 195 & 196 & \color{orange}{ 197} & 198 & \color{orange}{199} & 200\\ \end{array} \]

On peut aussi en écrire directement la liste :
\[ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73, 79, 83,89,97\\ 101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,... \]
Prenons le temps de regarder ce tableau ou cette liste et posons-nous la question suivante : existe-t-il une règle qui permette de savoir comment passer d’un nombre premier au suivant ?

Par exemple, je voudrais prévoir de manière simple quel est le nombre premier qui vient juste après 199, sans avoir à tester les nombres qui suivent 199 jusqu’à en trouver un qui soit premier.

Mais au fait, qui nous dit qu’après 200, on rencontrera bien un nombre premier ? Rien a priori. Bien sûr, vous pouvez tester 201, 202, 203, 204,... jusqu’à réaliser que 211 est un nombre premier et qu’il succède à 199 dans notre liste. Mais votre répit s141 2er pit s141 2er&} & 74 a;à réali5>/li>6Ces" class="commenp11 est un nombo immnotia/> \[ e de savv:"Ps étai sos="aun nombre premier&67, voy, oiori. Bient appel aux tvous pouvez tesEsp;is pe preu .roulavous vienègle quiablesnombre plus pets 217;it.

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