Des jumeaux dans la famille des nombres premiers I

Piste verte 20 mars 2015  - Ecrit par  Bruno Martin Voir les commentaires (4)

La conjecture des nombres premiers jumeaux est l’un des problèmes non résolus les plus populaires en mathématiques. Si l’énoncé est remarquablement simple, sa résolution semble actuellement hors d’atteinte.

Cet article est le premier volet d’une série de trois épisodes qui vise à présenter un problème mathématique célèbre et à ce jour irrésolu, celui des nombres premiers jumeaux.

Mais avant de parler de jumeaux, connaissez-vous les nombres premiers ? Il s’agit des nombres strictement plus grands que 1 qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes :
\[2,3,5,7,11,13...\]
L’étude de ces nombres premiers peut s’avérer particulièrement délicate comme nous allons le constater.

Commençons par nous familiariser davantage avec eux. Pour cela, je vous conseille de rechercher par vous-même tous les nombres premiers plus petits que 60. La réponse est donnée dans le menu déroulant qui suit.

Liste des nombres premiers plus petits que 60

\[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59\]

Pour les trouver, peut-être avez-vous testé pour chaque nombre s’il était divisible par un autre nombre que lui-même et 1, en faisant appel aux tables de multiplication ou même en utilisant une calculatrice ? Cela fonctionne, mais vous avez pu constater que cela prend du temps. Il existe une technique plus rapide qui consiste à éliminer, parmi tous les nombres plus petits que 100, ceux qui ne sont pas premiers —ce sont les multiples de 2,3,5,...— puis d’en déduire ceux qui le sont [1].

D’une manière ou d’une autre, on peut trouver tous les nombres premiers plus petits que, disons 200 pour commencer. Dans ce tableau, les nombres premiers sont ceux en couleur orange.
\[ \begin{array}{cccccccccc} 1 & \color{orange}{2}&\color{orange}{3} & 4 & \color{orange}{5} & 6 & \color{orange}{7} & 8 & 9 & 10\\ \color{orange}{11} & 12 & \color{orange}{13} & 14 & 15 & 16 & \color{orange}{17} & 18 & \color{orange}{19} & 20\\ 21 & 22 & \color{orange}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & \color{orange}{ 29} & 30\\ \color{orange}{ 31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 &\color{orange}{ 37} & 38 & 39 & 40\\ \color{orange}{ 41} & 42 &\color{orange}{ 43} & 44 & 45 & 46 &\color{orange}{ 47} & 48 & 49 & 50\\ 51 & 52 &\color{orange}{ 53} & 54 & 55 & 56 & 57 & 58 &\color{orange}{ 59} & 60\\ \color{orange}{ 61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 &\color{orange}{ 67} & 68 & 69 & 70\\ \color{orange}{ 71} & 72 & \color{orange}{ 73} & 74 & 75 & 76 & 77 & 78 & \color{orange}{ 79} & 80\\ 81 & 82 & \color{orange}{83} & 84 & 85 & 86 & 87 & 88 &\color{orange}{ 89} & 90\\ 91 & 92 & 93 & 94 & 95 & 96 &\color{orange}{ 97} & 98 & 99 & 100\\ \color{orange}{ 101} & 102 & \color{orange}{103} & 104 & 105 & 106 & \color{orange}{107} & 108 &\color{orange}{ 109} & 110\\ 111 & 112 & \color{orange}{113} & 114 & 115 & 116 & 117 & 118 & 119 & 120\\ 121 & 122 & 123 & 124 & 125 & 126 &\color{orange}{ 127} & 128 & 129 & 130\\ \color{orange}{131} & 132 & 133 & 134 & 135 & 136 & \color{orange}{137} & 138 & \color{orange}{139} & 140\\ 141 & 142 & 143 & 144 & 145 & 146 & 147 & 148 & \color{orange}{149} & 150\\ \ \color{orange}{ 151} & 152 & 153 & 154 & 155 & 156 & \color{orange}{157} & 158 & 159 & 160\\ 161 & 162 & \color{orange}{163} & 164 & 165 & 166 & \color{orange}{167} & 168 & 169 & 170\\ 171 & 172 &\color{orange}{ 173 }& 174 & 175 & 176 & 177 & 178 &\color{orange}{ 179} & 180\\ \color{orange}{ 181} & 182 & 183 & 184 & 185 & 186 & 187 & 188 & 189 & 190\\ \color{orange}{191} & 192 & \color{orange}{193} & 194 & 195 & 196 & \color{orange}{ 197} & 198 & \color{orange}{199} & 200\\ \end{array} \]

On peut aussi en écrire directement la liste :
\[ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73, 79, 83,89,97\\ 101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,... \]
Prenons le temps de regarder ce tableau ou cette liste et posons-nous la question suivante : existe-t-il une règle qui permette de savoir comment passer d’un nombre premier au suivant ?

Par exemple, je voudrais prévoir de manière simple quel est le nombre premier qui vient juste après 199, sans avoir à tester les nombres qui suivent 199 jusqu’à en trouver un qui soit premier.

Mais au fait, qui nous dit qu’après 200, on rencontrera bien un nombre premier ? Rien a priori. Bien sûr, vous pouvez tester 201, 202, 203, 204,... jusqu’à réaliser que 211 est un nombre premier et qu’il succède à 199 dans notre liste. Mais votre répit sera de courte durée, car je vous demanderai immédiatement : êtes-vous certain qu’après 211, il y aura bien un autre nombre premier ? Et ainsi de suite... La première question que l’on peut se poser est donc la suivante :

La liste des nombres premiers s’arrête-t-elle à un moment donné ?

Eh bien on est certain que la réponse est non. On sait prouver, et ce depuis l’Antiquité, que l’on peut toujours augmenter la liste des nombres premiers : elle ne s’arrête jamais. On dit qu’il y a une infinité de nombres premiers . Si vous ne me croyez pas sur parole, patientez jusqu’au troisième article de cette série. D’ici là, faites-moi confiance...

Nous sommes maintenant « rassurés », le réservoir de nombres premiers est intarissable ! Revenons à la recherche d’une règle qui permettrait de savoir comment passer d’un nombre premier au suivant. Nous dirons que deux nombres premiers qui se suivent dans la liste ordonnée des nombres premiers sont consécutifs. Par exemple 3 et 5 sont des nombres premiers consécutifs, tout comme 7 et 11, ou encore 53 et 59. Mais 23 et 31 ne sont pas consécutifs puisque le nombre premier qui succède à 23 est 29, et non 31. Nous allons nous intéresser à l’écart entre deux nombres premiers consécutifs. Par exemple, l’écart entre 3 et 5 est de 2, celui entre 7 et 11 vaut 4, et l’écart entre 53 et 59 vaut 6.

L’écart entre deux nombres premiers consécutifs obéit-il à des règles particulières ?

On voit qu’à part le cas de 2 et 3, cet écart ne vaut jamais 1. C’est normal, car 2 mis à part, tous les nombres premiers sont impairs, puisque les nombres pairs ne sont pas premiers — ils sont divisibles par 2. D’ailleurs l’écart entre deux nombres impairs est toujours un nombre pair, si bien que l’écart entre deux nombres premiers consécutifs est toujours un nombre pair (sauf encore pour 2 et 3).

Et à part ça que peut-on dire ? Amusons-nous à écrire la liste des écarts successifs entre les nombres premiers consécutifs plus petits que 200, en nous référant à la liste donnée plus haut : on obtient
\[1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\\ 6,4,2,4,6,6,2,6,4,2,\\6,4,6,8,4,2,2,2,4,14,\\ 4,6, 8,2,10, 2,6,6, 4,6,\\6,2,10,2,4,2,...\]
Y décèle-t-on une certaine logique ? Non, à vrai dire. Bien malin qui pourrait déterminer rapidement quel nombre succèdera à 2 dans cette liste, sans avoir une liste des nombres premiers sous la main.

On peut aussi se poser la question de savoir quel est l’écart qui revient le plus souvent. Pour l’instant il s’agit de 2 (il apparaît 16 fois), mais nous ne sommes pas sûrs que cette prédominance se maintiendra lorsque l’on augmentera cette liste.

D’ailleurs, est-on certain si l’on poursuit cette liste des écarts de voir apparaître le nombre 2 une 17e fois ? une 18e, et ainsi de suite ? Autrement dit est-on certain de continuer inexorablement à rencontrer des nombres premiers consécutifs avec un écart de deux comme
\[3 \text{ et } 5,\]
\[5 \text{ et } 7,\]
\[11 \text{ et } 13,\]
\[17 \text{ et } 19,\]
\[29 \text{ et } 31,\]
\[41 \text{ et } 43 \, ?\]
De tels nombres sont appelés des nombres premiers jumeaux.

Nous voici confrontés à une nouvelle question.

La liste des nombres premiers jumeaux s’arrête-t-elle ?

La réponse à cette dernière question n’est tout simplement pas connue. Les chercheurs en mathématiques ont bien une idée de la réponse : ils penchent pour la négative, et misent sur une liste ininterrompue de nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire sur une infinité de nombres premiers jumeaux. Mais personne actuellement n’est en mesure d’en donner une preuve irréfutable !

Pourtant ce n’est pas faute d’avoir essayé. Si l’origine exacte de ce problème n’est pas certaine [2], on peut dire qu’il est l’objet de recherches intensives depuis plus de cent ans. C’est dire la difficulté de cette énigme !

Comment aborder ce problème ?

Une première idée est de se dire que nous ne sommes pas allés suffisamment loin dans l’expérimentation : nous n’avons observé que les nombres premiers plus petits que 200. En programmant un ordinateur, on peut aller bien au-delà et se faire une idée peut-être plus précise de l’évolution de la quantité de nombres premiers et des écarts entre nombres premiers consécutifs à mesure que l’on progresse dans les nombres. Ce sera l’objet de l’article n°2 de cette série. Nous y parlerons aussi d’un résultat très récent obtenu par plusieurs chercheurs en mathématiques.

Une autre idée est d’examiner très attentivement les preuves connues de l’infinitude des nombres premiers. Puis de voir ensuite si l’on ne pourrait pas adapter l’une de ces preuves pour en extraire encore davantage d’information, à savoir que la liste des nombres premiers jumeaux est elle aussi infinie. Nous développerons cette voie dans l’article n°3.

D’ici là, je vous souhaite de bonnes rêveries en compagnie des nombres premiers, jumeaux ou non !

Post-scriptum :

L’auteur remercie chaleureusement les relecteurs de cet article dont le nom ou le pseudo sont Bastien_B, GAELD, Maxime Bourrigan, Olivier Reboux, ainsi que Shalom Eliahou, Thierry Gensane, Jean Fromentin, Claude Martin, Juliette et Grégory Bott.

Article édité par Shalom Eliahou

Notes

[1Pour en savoir davantage sur cette technique appelée « crible d’Eratosthène », vous pouvez par exemple consulter la page wikipedia dédiée.

[2Il semble que la source la plus ancienne soit un article de 1849 écrit par un mathématicien français, Alphonse de Polignac.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Bruno Martin — «Des jumeaux dans la famille des nombres premiers I » — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Pauline et Camille Vallez, étudiantes en biologie et en mathématiques à l’Université du Littoral Côte d’Opale.
Représentation d’Euclide - Alain Brieux

Commentaire sur l'article

  • Des jumeaux dans la famille des nombres premiers

    le 30 mars 2015 à 21:31, par mahfoud

    Les distances entre nombres premiers se réduisent à 6 ou à un multiple de 6 si on omet les 2 premiers ( 2 et 3 ) et si on considère séparement les progressions arithmétiques (6k+1)=7,13,19,... et (6k-1)=5,11,17,...Bien sur le cas géneral que vous avez considéré est plus compliqué.

    Répondre à ce message
  • Des jumeaux dans la famille des nombres premiers

    le 2 avril 2015 à 03:05, par bayéma

    j’annonce d’abord que je vais parler en artiste et non en mathématicien, c’est-à-dire que mon propos est essentiellement esthétique.

    la question des nombres premiers est typiquement ce que grothendieck appelait une création ayant toutes les apparences de la trivialité ; tout le monde y touche, son théorème principal est, du point de vue de la compréhension, à la portée de tous et pourtant le résultat principal attendu est inaccessible, à savoir : reconnaître tout simplement un nombre premier quand on regarde n’importe quel nombre impair dont les caractères de divisibilité ne sont pas immédiatement reconnaissables comme la divisibilité par 3, ou 5, ou 11, par exemple — avec 7, c’est déjà difficile.

    cette question me semble être, philosophiquement, la question de l’indécidabilité par excellence ; on trouvera toujours quelque chose, des tas de fonction dzêtas, gammas,..., des tas de résultats apportant merveilleusement des vues nouvelles en analyse, en topologie,..., mais jamais, JAMAIS, on ne saura reconnaître un nombre premier quand on en rencontre un !

    il me semble, pour moi amateur, qu’il « manque » quelque chose à la réflexion mathématico-philosophique, mais ne me demandez pas quoi, je l’ignore ! quelque chose d’infiniment simple et profond à la fois, quelque chose qui, si ça s’trouve, est visible et pourtant que personne ne voit (comme « la lettre volée » d’edgar poe-lacan, par exemple), en ayant sans cesse à l’esprit que la notion de nombres premiers est issue d’une convention merveilleuement adaptée à la réalité des entiers (on ne parle pas de nombres premiers dans R ou C, par exemple).

    en tous les cas, les amatheurs, les amoureux des nombres, ignares plus ou moins illuminés ou élites mathématiciennes, se retrouvent dans la fascination et la fiévreuse recherche (comme les placers) de ces mystérieux nombres premiers dont le nom même (premiers !) fait rêver — voyez la scène du film « contact » où la jeune astrophysicienne, jodie foster s’écrit : « ce sont des premiers ! », message envoyé par des extraterrestres.

    on peut donc affirmer, je pense, qu’on découvrira une infinité de configurations logico-spatiales (et donc, conjecture socio-mathématique : plein de médailles fields, abel ;...), par exemple « les jumeaux sont-ils eux-mêmes jumelés (comme 11-13 et 17-19, par exemple) ? » ou « les intervalles entre nombres premiers forment-ils (ou sont-ils les résultats) des superpositions à la fourier ? » ou encore "y a t’il derrière ces singularités des motifs de grothendieck , etc., etc....

    josef bayéma, plasticien, guadeloupe.

    Répondre à ce message
  • Des jumeaux dans la famille des nombres premiers

    le 2 avril 2015 à 03:22, par bayéma

    j’ai oublié de citer l’article sur ce site « une formule pour les nombres premiers ? » de louis funar sur le joli résultat de rowland.

    Répondre à ce message
  • Des jumeaux dans la famille des nombres premiers

    le 19 mai 2015 à 20:17, par sylvain bangoura

    Merci beaucoup pour votre brillant article, qui éclaire davantage aussi bien les professionnels que les profanes. Je voudrais vous engager à voir ce récent travail sur la conjecture des nombres premiers jumeaux.L’auteur a montré qu’à l’aide de la différence entre les nombres composés, on peut élucider la suite des nombres premiers jumeaux.
    Merci.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Dossiers

Cet article fait partie du dossier «La conjecture des nombres premiers jumeaux» voir le dossier

Suivre IDM