Des jumeaux dans la famille des nombres premiers II

Piste verte Le 21 juin 2015  - Ecrit par  Bruno Martin Voir les commentaires (2)

Les nombres premiers sont décidément pleins de surprises. Alors que leur définition est simple, leur répartition semble pour le moins chaotique. Mais pour peu que l’on prenne un peu de hauteur, une certaine régularité se dessine et permet de voir la conjecture des nombres premiers jumeaux sous un autre angle.

Voici le deuxième volet de cette série d’articles dédiée à la conjecture des nombres premiers jumeaux. Si vous n’avez jamais entendu parler des nombres premiers ou des nombres premiers jumeaux, je vous invite à commencer par lire le premier article de cette série.

Rappelons rapidement qu’une paire de nombres premiers jumeaux est constituée de deux nombres premiers dont la différence vaut $2$. La liste de ces paires commence par :
\[(3,5),\, (5,7),\, (11,13),\, (17,19),\, (29,31), ... \]
et on conjecture que cette liste ne s’arrête jamais, autrement dit qu’il y a une infinité de paires de nombres premiers jumeaux.

Pourquoi conjecturer que cette liste est infinie et non pas le contraire ? Il y a plusieurs raisons, mais la plus simple est de mener des expérimentations numériques. Dans l’article précédent, nous nous sommes contentés de raisonner à partir de la liste des nombres premiers plus petits que $200$. C’est bien insuffisant ! A l’aide d’un ordinateur, il est possible d’aller beaucoup plus loin. Nous en profiterons pour mieux appréhender ce que l’on appelle la répartition des nombres premiers.

Partons donc du principe que grâce à un ordinateur et un programme adéquat [1], nous sommes en mesure d’obtenir la liste des nombres premiers plus petits que $1\ 000\ 000$. Et donc de compter combien il y en a. Voilà les résultats : il y a $78\ 948$ nombres premiers plus petits que $1\ 000\ 000$. Et $8\ 169$ paires de nombres premiers jumeaux parmi eux.

Certes, on peut se dire que c’est « beaucoup », mais ces chiffres seuls ne nous apprennent pas grand-chose. Il se pourrait par exemple que ces $78\ 948$ nombres premiers soient tous situés entre $1$ et $500\ 000$ et qu’entre $500 \ 000$ et $1\ 000\ 000$, il n’y en ait aucun, ce qui laisserait présager qu’au-delà de $500\ 000$ il n’y a plus de nombres premiers. Ce n’est pas le cas, comme nous allons le voir.

Il est plus intéressant de suivre l’évolution de la quantité de nombres premiers rencontrés à mesure que nous progressons dans la suite des nombres entiers. Pour visualiser cette évolution, imaginons la situation suivante : un promeneur avance sur un axe horizontal indexé par les nombres entiers. Dès qu’il tombe sur un nombre premier, il s’élève d’une marche, puis poursuit sa trajectoire à l’horizontale jusqu’à ce qu’il rencontre le nombre premier suivant. Voici ce que donne la promenade jusqu’au nombre $10$.

La hauteur à laquelle se trouve notre promeneur, c’est la quantité de nombres premiers rencontrés depuis le début du parcours. Jusque-là, nous avons rencontré $4$ nombres premiers (qui sont $2$, $3$, $5$ et $7$). Poursuivons notre marche jusqu’à $100$.

Dans cette promenade en escalier, les marches sont disposées de manière assez irrégulière, exactement comme le laisse prévoir la disposition d’apparence désordonnée des nombres premiers. Allons jusqu’à $1\ 000$.

On voit que notre escalier monte finalement de manière assez régulière, notre promeneur ne reste pas longtemps à la même altitude. Cela perdure-t-il ? Filons jusqu’à $1\ 000 \ 000$ ($1e6$ se lit $1\times 10^6$ soit $1\ 000 \ 000$).

Diable, où sont passées nos marches d’escalier ? Perdues dans l’épaisseur du tracé ! Si l’on effectuait un zoom sur la courbe, on retrouverait nos marches. Mais vue « de loin », notre promenade prend l’allure d’une courbe qui croît régulièrement. On a même l’impression que cette courbe se confond avec une droite : étonnant ! Cela signifierait que la quantité de nombres premiers rencontrés évolue à une vitesse quasi constante. Dit autrement, qu’il y aurait autant de nombres premiers dans des tranches de même longueur, par exemple entre $1$ et $10\ 000$, $10\ 000$ et $20\ 000$, $20\ 000$ et $30\ 000$,...

En fait, il n’en est rien. Voici quelques chiffres :

  • entre $1$ et $10\ 000$, il y a $1\ 229$ nombres premiers ;
  • entre $10\ 000$ et $20\ 000$, il y en a $1\ 033$ ;
  • entre $20\ 000$ et $30\ 000$, il y en a $983$ ;
  • entre $30\ 000$ et $40\ 000$, il y en a $958$ ;

Tiens, ces chiffres laissent présager un phénomène intrigant : au fur et à mesure que notre promeneur poursuit sa route, il rencontre des nombres premiers de moins en moins souvent. Voici d’autres chiffres qui abondent dans ce sens.

  • entre $1$ et $100$, il y a $25$ nombres premiers donc $25\%$ ;
  • entre $1$ et $1\ 000$, il y en a $170$, soit $17\%$ ;
  • entre $1$ et $1 \ 000 \ 000$, il y en a $78\ 498$, soit environ $7,8\%$.

Justement, visualisons l’évolution, non pas du nombre de nombres premiers, mais de la proportion ou du pourcentage de nombres premiers observés depuis le début de la promenade. Voilà ce que l’on obtient jusqu’à 1000 :

C’est une promenade similaire à la précédente, sauf qu’ici l’altitude correspond au pourcentage de nombres premiers rencontrés depuis le départ.
Allons jusqu’à $1 \ 000 \ 000$ :

On observe bien une diminution progressive de la proportion de nombres premiers. Les nombres premiers se raréfient.

Cette raréfaction des nombres premiers, les mathématiciens savent la quantifier. L’objet qui permet cela est une fonction extraordinaire que certains d’entre vous ont peut-être déjà rencontrée : le logarithme népérien. Je n’en dis pas plus mais il est frappant de voir que cette fonction, introduite dans un tout autre but au 17e siècle par John Napier, se révèle être le bon ingrédient pour jauger la quantité de nombres premiers.

Grâce à cela, on est en mesure de certifier que la proportion de nombres premiers continuera inexorablement de diminuer, bien que le dernier graphique laisse imaginer qu’elle va se stabiliser à un peu moins de $10\%$.

Retenons de ces graphiques qu’ils témoignent d’une progression régulière du nombre de nombres premiers, pour peu que l’on s’aventure vers des nombres suffisamment grands. La succession des nombres premiers paraissait imprévisible, et voilà qu’en prenant un peu de recul, ce que l’on appelle la répartition des nombres premiers — la manière dont ils sont « disposés »— ne paraît plus si chaotique.

Avant de passer aux nombres premiers jumeaux, je signale un point capital. Même si ce n’est pas une mince affaire, les mathématiciens savent démontrer ce que nous venons d’observer, à savoir cette progression régulière du nombre de nombres premiers qui est contrôlée par une fonction mathématique précise. Ce « contrôle » demande encore à être affiné ; il est lié à un des problèmes ouverts les plus importants en mathématiques [2]. Mais disons qu’en regard de ce qui va suivre, on peut dire que notre connaissance du nombre de nombres premiers est plutôt satisfaisante.

Du côté des nombres premiers jumeaux

Venons-en aux nombres premiers jumeaux. Là encore nous allons visualiser le parcours d’un promeneur qui s’élève d’une marche dès qu’il rencontre une paire de nombres premiers jumeaux. Commençons doucement en allant jusqu’à $20$.

Jusqu’à $20$, notre nouvel escalier s’est élevé de $4$ marches, ce qui correspond aux $4$ premières paires $(3,5)$, $(5,7)$, $(11,13)$, $(17,19)$ de nombres premiers jumeaux. Ne perdons pas un instant, filons jusqu’à $1\ 000$, et affichons sur le même graphique l’escalier correspondant aux nombres premiers.

L’escalier des nombres premiers jumeaux semble davantage irrégulier que celui des nombres premiers, il comporte quelques marches relativement longues, sortes de déserts de nombres premiers jumeaux. L’allure laisse même penser que le nombre de nombres premiers jumeaux ne va pas dépasser $50$ ! Se dirige-t-on vers une extinction des nombres premiers jumeaux ? Jetons un coup d’œil à ce qui se passe jusqu’à $1\ 000\ 000$.

L’escalier des nombres premiers jumeaux s’élève, lentement mais sûrement semble-t-il. Il semble raisonnable de conjecturer que la liste des nombres premiers jumeaux ne s’arrête jamais. Par ailleurs, l’escalier chaotique des jumeaux s’est lui aussi « transformé » en une courbe dont la croissance est régulière.

On peut par ailleurs se poser la question suivante : parmi les nombres premiers, quelle est la proportion de nombres premiers jumeaux ? Et comment évolue cette proportion ?
Voici, en image, la réponse à cette dernière question jusque $1\ 000\ 000$.

Au vu de ce graphique, il semble que les nombres premiers jumeaux soient de plus en plus rares au sein de la tribu des nombres premiers. Mais ce n’est pas tout : observez la similitude entre ce graphique et celui obtenu plus haut pour les nombres premiers. Il semble que la vitesse de raréfaction des nombres premiers jumeaux au sein des nombres premiers soit, elle aussi, contrôlée par cette fonction logarithme népérien.

Seulement voilà, dans le cas des nombres premiers jumeaux, on ne dispose pour l’heure d’aucune démonstration à l’appui de ces observations. Rien ne nous permet de certifier que ces phénomènes (apparition de nombres premiers jumeaux, régularité de ces apparitions) perdureront indéfiniment.

Après les jumeaux, les cousins sexy

Rappelons que nous en sommes venus à parler des nombres premiers jumeaux après avoir observé le caractère en apparence aléatoire des écarts entre nombres premiers successifs. Que se passe-t-il pour les nombres premiers consécutifs distants de $4$ (on les appelle des nombres premiers cousins) ? de $6$ (on les appelle des nombres premiers sexy [3]) ?
Ces deux listes sont-elles aussi infinies ? Là encore, on pense que c’est le cas mais le mystère plane tout autant.

On peut aussi se poser la question suivante : y a-t-il plus souvent des sauts de $2$ ou des sauts de $4$ ? Autrement dit, y a-t-il plus de nombres premiers jumeaux ou de nombres premiers cousins ?

Voici en rouge l’escalier correspondant aux nombres premiers jumeaux, et en vert celui des nombres premiers cousins jusqu’à $1\ 000$.

Les escaliers se dépassent mutuellement à plusieurs reprises. Ce phénomène de chevauchement va-t-il se poursuivre, ou bien l’une des deux familles va-t-elle finir par prendre un avantage décisif sur l’autre ? Allons directement observer ce qui se passe jusqu’à $1\ 000\ 000$.

Les deux courbes semblent confondues ! En zoomant, on observerait que les deux courbes semblent poursuivre ce jeu de dépassements successifs.

Voilà pour la comparaison entre les jumeaux et les cousins. Qu’en est-il de la compétition si les nombres premiers sexy sont de la partie ? Va-t-on observer le même phénomène de chevauchement ? Voici les escaliers correspondants jusqu’à $1\ 000$.

Les sexy sont en tête à $1\ 000$, mais voyons comment la course évolue en allant jusque $1\ 000\ 000$.

Surprise : les nombres premiers sexy passent définitivement en tête, et de manière très nette. Entre les écarts 2, 4 et 6, il semble donc que 6 soit ce que l’on pourrait appeler un écart prépondérant.

Nous pourrions poursuivre nos observations et multiplier les conjectures en nous intéressant à tous les écarts susceptibles d’être observés — c’est-à-dire les nombres pairs— entre nombres premiers successifs.

Un zeste de probabilité

Nous venons d’utiliser des calculs numériques pour proposer des conjectures sur les nombres premiers. Mais les mathématiciens disposent d’une autre technique : les probabilités !

Ils partent de ce constat audacieux : certes, la répartition des nombres premiers est parfaitement déterminée par leur définition, mais cette répartition n’est finalement pas si éloignée de ce que l’on aurait obtenu en jouant à la loterie pour savoir quel nombre est premier et quel nombre ne l’est pas.

Pas n’importe quelle loterie bien sûr ! Le fonctionnement est grosso modo le suivant : on connaît la proportion de nombres premiers entre 1 et disons $1\ 000\ 000$, soit environ $7,8\%$. Imaginez alors que pour chaque nombre, on tire à pile ou face pour décider si ce nombre est premier, sachant que notre pièce est truquée de manière à donner pile dans seulement $7,8\%$ des cas. Notre loterie est en fait un peu plus compliquée car on ne veut pas se limiter à $1\ 000\ 000$. Elle fait intervenir cette fameuse fonction logarithme. Notons bien que tout cela n’a pas vraiment de sens, puisqu’un nombre est premier ou ne l’est pas, ce n’est pas une question de hasard.

À partir de cette hypothèse d’apparence farfelue, que travailler avec des nombres premiers c’est comme travailler avec des nombres choisis au hasard, les mathématiciens se livrent à des calculs de probabilité, relativement aisés, et aboutissent à des formules qui sont généralement en accord avec les expérimentations numériques : incroyable !

Pour résumer, tout se passe comme si les mathématiciens, partant d’une observation erronée mais pas si éloignée que ça de la réalité, avaient construit une boule de cristal (on dit un modèle) permettant de réaliser des prédictions (ou des conjectures !) sur les nombres premiers, jumeaux, cousins,... qui semblent fiables.
Cette boule de cristal prédit par exemple qu’il y a une infinité de nombres jumeaux, qu’ils apparaissent régulièrement, et même qu’il finit par y avoir plus de nombres premiers sexy que de jumeaux. En revanche, elle reste muette [4] quand à ces dépassements perpétuels entre cousins et jumeaux que nous avons observés.

Pouvons-nous faire une confiance aveugle à cette boule de cristal ? Non bien sûr, ces considérations probabilistes ne fournissent pas la moindre démonstration ! Quel est leur intérêt en ce cas ? Eh bien de nous aiguiller dans ce que l’on croit être la bonne direction, ce qui n’est pas rien. Il s’agit maintenant de construire les outils théoriques qui permettront de faire le pont entre probabilité et réalité ! Mais le gouffre qui sépare les deux semble infranchissable pour l’heure, tout du moins pour la conjecture des nombres premiers jumeaux.

J’avais promis de vous présenter un résultat spectaculaire et récent sur les écarts entre nombres premiers consécutifs. Comme cet article est déjà bien copieux, je le garde finalement pour le dernier volet de cette série. Pour les plus pressés, vous pouvez consulter l’article en piste rouge de Bruno Duchesne sur le même sujet : plusieurs points que nous avons évoqués y sont approfondis.

Post-scriptum :

L’auteur remercie chaleureusement les relecteurs dont les noms ou pseudos sont Baptiste Mélès, Serma, Abdelhakim Chillali, Nadine et Arnaud, ainsi que Shalom Eliahou et Thierry Gensane.

Article édité par Shalom Eliahou

Notes

[1Ce programme peut par exemple reposer sur une procédure appelée crible d’Ératosthène, facile à programmer sur un ordinateur. Cette procédure permet de détecter tous les nombres premiers plus petits qu’un nombre donné, pourvu que ce nombre ne soit pas trop grand. Il serait certainement très instructif de s’attarder sur ce crible d’Ératosthène et son principe, mais ici je vous propose d’observer directement les résultats avec moi.

[2Ce problème est connu sous le nom d’Hypothèse de Riemann et nécessite des connaissances approfondies en mathématiques pour être appréhendé.

[3Parce que « six » se traduit par « sex » en latin et qu’en dépit d’une rumeur tenace, les mathématiciens ont le sens de l’humour !

[4À ma connaissance.

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Pour citer cet article :

Bruno Martin — «Des jumeaux dans la famille des nombres premiers II» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Des jumeaux dans la famille des nombres premiers II

    le 21 juin 2015 à 14:25, par Didier Roche

    Bonjour,
    L’article présente clairement les notions abordées. Il est à recommander pour les élèves de TS faisant la spécialité maths et même à tout lycéen.
    Un bon article de vulgarisation.
    Merci.

    Répondre à ce message
    • Des jumeaux dans la famille des nombres premiers II

      le 1er juillet 2015 à 08:54, par Bastien_B

      Oui en effet article très intéressant, très bien expliqué et liens avec le programme de Spé term S en effet.

      Répondre à ce message

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