Des jumeaux dans la famille des nombres premiers III

Piste verte Le 21 septembre 2015  - Ecrit par  Bruno Martin Voir les commentaires (2)

Comment montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers jumeaux ?

Voici le troisième et dernier volet de notre série sur les nombres premiers jumeaux.
Dans le premier volet, nous avons commencé par observer l’agencement des nombres premiers, ces nombres strictement plus grands que $1$ qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et $1$. Parmi ces nombres premiers nous avons distingué ceux qui se suivent de deux unités comme $3$ et $5$, $5$ et $7$, $11$ et $13$... on les appelle nombres premiers jumeaux. Nous avons conjecturé qu’il y a une infinité de telles paires et dans le deuxième volet nous avons étayé cette conjecture en observant plusieurs graphiques.

Aujourd’hui nous abordons de front la question fatidique : comment parvenir à une démonstration de cette conjecture ? Commençons par oublier que ce problème est sans solution depuis près de deux siècles et réfléchissons !

Nous voulons donc prouver qu’il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, autrement dit que la liste des nombres premiers jumeaux ne s’arrête jamais. Une idée très naturelle lorsque l’on est confronté à un problème difficile est de se mesurer à un autre qui soit plus simple mais assez similaire. Puis, une fois le problème « facile » résolu, on se demande s’il n’est pas possible de modifier adéquatement cette solution pour qu’elle s’applique au problème de départ.

Ici le problème « facile » est tout trouvé : sait-on démontrer que la liste de tous les nombres premiers ne s’arrête jamais ? Je vous ai assuré que oui dans les précédents articles et l’heure est venue de vous montrer comment.

Notre plan de bataille est donc le suivant :

  • étape 1 : bien comprendre une preuve du fait qu’il y a une infinité de nombres premiers.
  • étape 2 : essayer d’adapter cette preuve pour en bâtir une qui traite le cas des nombres premiers jumeaux.

Mais avant même d’attaquer l’étape 1, concentrons-nous sur la notion délicate d’infinité. Quelle méthode employer pour démontrer que la liste d’une certaine famille de nombres ne s’arrête jamais ?

Partons d’une situation familière. Les enfants aiment poser la question : « quel est le plus grand nombre ? ». « Il n’y en a pas », « Ça ne s’arrête jamais » leur répond-on, et c’est souvent le début d’une réflexion silencieuse ou d’une avalanche de questions. Un moyen de leur prouver qu’il n’y a pas de plus grand nombre est le suivant : « Prends n’importe quel nombre. Tu peux toujours ajouter $1$ pour obtenir un nombre plus grand. » Nous venons d’inventer une sorte de recette (ajouter $1$) qui, étant donné un nombre permet toujours d’en fabriquer un plus grand : il y a une infinité de nombres. D’autres recettes sont possibles bien entendu.

Grâce à cette technique, on peut s’amuser à prouver que certaines familles de nombres sont de taille infinie : la famille des nombres impairs par exemple. La recette pourrait être :

  1. prenez un nombre impair,
  2. multipliez le par $2$ puis ajouter $1$ au résultat,
  3. le nombre obtenu est plus grand que le nombre de départ et il est impair [1].

Peut-on trouver rapidement une recette de ce genre pour prouver que la liste des nombres premiers ne s’arrête pas ? Essayons-en quelques-unes :

  • si je prends un nombre premier plus grand que $3$ — qui donc est impair— et que je lui ajoute $1$, j’obtiens un nombre plus grand, mais il n’est pas premier puisqu’il est pair donc divisible par $2$ !
  • si je prends un nombre premier et que je le multiplie par disons $2$, j’obtiens bien un nombre plus grand, mais il n’est pas premier : il est divisible par $2$.
  • si je prends un nombre premier, le multiplie par $2$, et lui ajoute $1$, j’obtiens un nombre plus grand et impair. Mais rien ne me garantit qu’il sera premier. Prenez l’exemple de $7$ : la recette donne $2 \times 7 + 1 = 15$ qui n’est pas premier.

Les recettes de ce type échouent — vous pouvez essayer d’autres exemples—, il faut réfléchir davantage. C’est le mathématicien grec Euclide qui le premier en a trouvé une satisfaisante. Il l’a consignée dans un célèbre traité de mathématiques appelé « Les Éléments » datant d’environ 300 av-J.C. Nous allons voir que cette recette est astucieuse. Je vous encourage vivement à essayer de la comprendre. Cela demande des efforts mais le résultat en vaut la chandelle : la démonstration ainsi obtenue est de toute beauté.

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Représentation d’Euclide

Pour l’appréhender, nous aurons besoin de quelques préparatifs.

Commençons par quelques mots rapides sur ce qui concerne la divisibilité.
Dans tout ce qui suit, on ne parle que de nombres entiers plus grands ou égaux à $1$, et nous nous contenterons d’écrire « nombre » tout simplement pour en désigner un.
Dire qu’un nombre est divisible par un autre signifie que la division tombe « juste ». Par exemple, $2$ divise $8$ mais $2$ ne divise pas $7$ —bien que l’on puisse écrire $7/2 = 3,5$. Au lieu de dire « $2$ divise $8$ », on peut aussi dire « $2$ est un diviseur de $8$ ». Un nombre est toujours divisible par lui-même et par $1$ mais il peut avoir d’autres diviseurs. Par exemple la liste des diviseurs de $30$ est : $1,2,3,5,6,10,15,30$.

Nous allons avoir l’usage d’une propriété toute simple. Rappelons que l’on dit que deux nombres sont consécutifs si leur différence vaut $1$ (comme $2$ et $3$, ou $99$ et $100$)

Propriété 1 : Deux nombres consécutifs n’ont qu’un seul diviseur en commun : le nombre $1$.

Prenons l’exemple de 99 et 100. Leurs listes de diviseurs respectives sont $(1,3,11,33,99)$ et $(1,2,4,5,10,20,25,50,100)$. Mais un exemple ne suffit pas !

Démonstration

Prenez deux nombres consécutifs et considérez un nombre qui les divise tous les deux. Il divise aussi leur différence [2] ! Or cette différence vaut $1$. Donc ce diviseur commun aux deux nombres de départ divise $1$, ce qui nous laisse peu de doutes sur son identité : ce diviseur vaut 1. Notons que $1$ divise bien nos deux nombres consécutifs puisque $1$ divise tous les nombres.

Voici à présent un fait capital concernant les nombres premiers qui sera la clef de voûte de la preuve d’Euclide.

Propriété 2 : Tout nombre est divisible par (au moins) un nombre premier.

Observons quelques exemples qui vont guider notre démonstration.

  • La liste des diviseurs de $45$ est $(1,3,5,9,15,45)$ et elle contient bien un, et même plusieurs nombres premiers qui sont $3$ et $5$.
  • La liste des diviseurs de $61$ est $(1,61)$ (c’est un nombre premier), et donc elle contient un nombre premier, à savoir $61$.
  • La liste des diviseurs de $32$ est $(1,2,4,8,16,32)$ et elle contient bien un nombre premier qui est $2$.

Comment prouver que ce phénomène se vérifie pour chaque nombre ?

Démonstration

Tout repose sur l’observation suivante : si l’on dresse la liste des diviseurs strictement plus grands que 1 d’un nombre, le plus petit d’entre eux est toujours un nombre premier. — cf. les exemples de $45$, $61$ et $32$ ci-dessus.

Imaginons en effet que ce plus petit diviseur, appelons-le nombre n°1, ne soit pas premier, et essayons de voir pourquoi cela pose problème. Puisqu’il n’est pas premier, ce nombre n°1 est donc divisible par un nombre, appelons-le nombre n°2, strictement plus petit que le nombre n°1 et strictement plus grand que 1. Mais ce nombre n°2 divise le nombre n°1 qui lui même divise le nombre de départ. Donc le nombre n°2 divise le nombre de départ. Voilà qui est gênant : nous sommes face à deux nombres différents qui se disputent la place de plus petit diviseur du nombre de départ. Cela signifie tout simplement que notre hypothèse de départ (le plus petit diviseur n’est pas premier) ne tient pas la route : ce plus petit diviseur est forcément premier.

Nous sommes maintenant en mesure de donner cette fameuse recette d’Euclide qui va nous permettre de montrer que la liste des nombres premiers est inépuisable.

Démonstration

Pour décrire cette recette, prenons un exemple avec les nombres premiers $2$, $3$ et $5$. À partir de ces trois nombres premiers, nous allons montrer qu’il y en a un quatrième — faisons comme si nous ignorions qu’il y a d’autres nombres premiers que $2$, $3$ et $5$. Commençons par former le produit de ces trois nombres \[2\times 3 \times 5.\] On pourrait bien sûr calculer le résultat de ce produit mais ce n’est pas la peine. Ce qui est sûr c’est que ce nombre est divisible par $2$, $3$ et $5$.
Maintenant ajoutons $1$ à ce nombre :
\[ 2\times 3 \times 5 +1,\]
là encore sans nous livrer à aucun calcul. Les deux nombres $ 2\times 3 \times 5$ et $ 2\times 3 \times 5 +1 $ sont bien sûr consécutifs. D’après la propriété 1, ils n’ont donc aucun diviseur en commun si ce n’est $1$. Le nombre $ 2\times 3 \times 5 +1 $ n’est donc divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$. Pourtant la propriété 2 nous dit qu’il possède un diviseur qui est un nombre premier. Nous venons de montrer qu’il se trouve un nombre premier qui est différent de $2$, $3$ et $5$. Inutile de savoir de quel nombre il s’agit : il existe et il est différent des nombres premiers $2$, $3$, $5$ déjà connus, c’est tout ce que l’on voulait. Subtil, n’est-ce pas ?

En fait, les nombres $2$, $3$, $5$ ne jouent aucun rôle particulier dans ce que nous venons de faire, puisque l’on ne s’est livré à aucun calcul —on n’a pas eu besoin de savoir que $2\times 3 \times 5$ était égal à $30$. Par ailleurs, nous sommes partis de trois nombres premiers, mais on aurait pu tout aussi bien partir de dix, vingt ou un million de nombres premiers, cela n’aurait rien changé. Voici donc une recette de fabrication d’un nouveau nombre premier à partir de plusieurs autres :

  1. prenez plusieurs nombres premiers
  2. multipliez-les entre eux
  3. ajoutez 1 au résultat
  4. le nombre obtenu est divisible par un nouveau nombre premier.

Avec cette recette, la liste des nombres premiers pourra toujours être agrandie : il y a une infinité de nombres premiers.

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« Les Éléments »
Extrait d’une copie des « Éléments » datant de 888 apr. J.-C., où se trouve la preuve de l’infinitude des nombres premiers.

Voici accomplie la première étape de notre plan. Passons à la deuxième. Peut-on s’inspirer de cette recette de fabrication de nombres premiers pour en donner une qui produise des nombres premiers jumeaux ? On peut imaginer la recette suivante :

  1. prenez plusieurs paires de nombres premiers jumeaux
  2. multipliez tous ces nombres entre eux
  3. ajoutez $1$ au résultat
  4. le nombre obtenu est divisible par un nouveau nombre premier qui possède un premier jumeau.

Voyons si cette recette fonctionne avec les paires $(3,5)$ et $(5,7)$. Faisons le produit de ces quatre nombres et ajoutons $1$ :
\[ 3 \times 5\times 5\times 7 +1= 565 +1 = 566.\]
Le nombre $566$ est divisible par un nombre premier, et même deux :
\[ 566 = 2\times 263 \]
Ces nombres premiers, $2$ et $263$, sont-ils membres d’une paire de nombres premiers jumeaux ? Non.

Notre recette ne fonctionne tout simplement pas et il n’a pas fallu longtemps pour s’en rendre compte. Vous pouvez essayer de la modifier bien sûr, mais jusqu’à présent personne n’est parvenu à le faire de manière à obtenir la preuve de la conjecture. Le problème gît dans l’absence d’une propriété 2 pour les nombres premiers jumeaux : s’il est vrai que tout nombre possède un diviseur qui est premier, il est faux que tout nombre possède un diviseur qui soit premier et soit membre d’une paire de nombres premiers jumeaux.

Après Euclide, d’autres mathématiciens ont produit de nouvelles démonstrations du fait qu’il y a une infinité de nombres premiers. Des chercheurs très inventifs s’en sont inspirés pour essayer de prouver qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. Cela a débouché sur la construction de théories mathématiques incroyablement élaborées qui n’ont pourtant pas encore permis de résoudre ce problème.

Néanmoins on s’en rapproche et je vous propose justement de conclure cette série en donnant un résultat tout récent obtenu par les efforts conjoints de plusieurs chercheurs — pour plus de détails voir cet article du site. Prenez la liste des nombres premiers jumeaux — imaginez-la du moins—, celle des nombres premiers cousins (les nombres premiers consécutifs distants de $4$), celle des sexys (les nombres premiers consécutifs distants de $6$) et regroupons-les tous dans une même liste. Cela fait du monde, mais on n’est pas encore capable de montrer que cette nouvelle liste ne s’arrête pas. Alors ajoutez-y les nombres premiers consécutifs distants de $8$, puis ceux de $10$, puis ceux de $12$, etc. jusqu’à ajouter les nombres premiers consécutifs distants de $246$ ! Eh bien la liste ainsi obtenue, elle ne se termine pas, on sait maintenant le prouver ! La démonstration est extrêmement difficile.

Voici une manière synthétique d’énoncer ce résultat : il y a une infinité de paires de nombres premiers distants d’au plus 246.

Ce résultat peut vous paraître curieux, et peu élégant. Il est pourtant qualifié d’extraordinaire par les experts des nombres premiers. En fait, il y a encore trois ans, personne n’était capable de prouver un résultat de ce type, même en remplaçant 246 par un entier beaucoup plus grand ; autrement dit, d’établir l’existence d’un nombre N pour lequel on puisse prouver qu’il y a une infinité de paires de nombres premiers distants d’au plus N.

D’où sort ce $246$ ? Dans un premier temps, en 2013, un mathématicien chinois du nom d’Yitang Zhang a établi le résultat mais avec $N=70\,000\,000$. Il s’est ensuivi une grande effervescence dans la communauté mathématique.

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Yitang Zhang

Pouvait-on améliorer la preuve de Zhang et remplacer $70\,000\,000$ par un nombre bien plus petit ? Plusieurs chercheurs se sont lancés dans l’aventure et ont entamé une collaboration intensive via un forum public de discussion sur internet. Cette pratique, relativement neuve dans le milieu, avait été conceptualisée et lancée par le mathématicien anglais Tim Gowers sous le nom de Polymaths.

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James Maynard

Après une succession d’améliorations, une nouvelle percée d’un jeune mathématicien anglais James Maynard, puis de nouvelles améliorations, le projet Polymaths n°8 [3] parvint à ce fameux 246.

Mais même avec ces progrès extraordinaires, établir la conjecture des nombres premiers jumeaux (ce qui en somme consisterait à remplacer ce $246$ par $2$) semble hors d’atteinte actuellement aux dires des spécialistes.

Le chemin qui mène à une démonstration de cette conjecture semble donc encore bien long. Et ce qui est un peu décevant —ou fascinant selon le point de vue— c’est que si une preuve venait à être trouvée, il y a de fortes chances qu’elle reste incompréhensible à toute personne n’ayant pas un bagage mathématique plus que conséquent. Alors que le problème lui-même peut être compris par tout un chacun.

Post-scriptum :

L’auteur remercie vivement les relecteurs dont les noms ou pseudos sont Shalom Eliahou, fluvial, fpiou, Marielle Simon, Jean AYMES, Cesar Martinez, Jérôme et Maxime Bourrigan.

Article édité par Shalom Eliahou

Notes

[1Vous aurez peut-être noté que dans ce cas, il n’est même pas nécessaire de partir d’un nombre impair.

[2En effet si un nombre $d$ divise deux nombres $a$ et $b$, alors $a$ et $b$ sont tous deux multiples de $d$, c’est-à-dire $a=md$ et $b=nd$ où $m$ et $n$ sont des entiers appropriés. On a alors $a-b=md-nd=(m-n)d$, qui est donc un multiple de $d$.

[3Si vous n’êtes pas rebuté par l’anglais et que vous êtes prêts à omettre quelques formulations mathématiques techniques, vous pouvez consulter ce document qui recueille des témoignages de plusieurs membres de ce collectif.

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Pour citer cet article :

Bruno Martin — «Des jumeaux dans la famille des nombres premiers III » — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Des jumeaux dans la famille des nombres premiers III

    le 23 septembre 2015 à 16:45, par ROUX

    La démonstration d’Euclide est enfin, en ce qui me concerne, claire !
    Et elle est sublime !!!
    Je trouve tellement que c’est là que les mathématiques se logent : démontrer que quelque chose est vraie sans construire explicitement ce quelque chose en question.
    Démontrer que si P, Q et R sont des nombres premiers, alors P*Q*R+1 est divisible par un nouveau nombre premier S qui ne peut être ni P ; ni Q, ni R et sans calculer S est véritablement une belle illustration de l’art mathématique.
    Je vous remercie.

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  • Théorème de Bertrand et suite des nombres premiers.

    le 27 octobre 2015 à 08:27, par Marc JAMBON

    Le théorème de Bertrand, très simple, exprime que si n est un nombre premier, il en existe un compris strictement entre n et 2n.

    On trouve une démonstration du théorème de Bertrand sur Wikipedia mais elle est laborieuse.

    Il n’empêche qu’il est plus facile de trouver le plus petit nombre premier strictement supérieur à un nombre premier donné n en le recherchant parmi ceux qui sont strictement compris entre n et 2n. On peut ainsi proposer un algorithme donnant la suite des nombres premiers beaucoup moins lourd que celui qui est inspiré de la méthode d’Euclide, il est moins lourd en ce sens qu’il utilise des nombres entier plus petits et même beaucoup plus petits. En attribuant le numéro 1 au nombre premier 2, on peut aussi montrer facilement en raisonnant par récurrence que le kième nombre premier de la suite des nombres premiers est majoré par 2^k.

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