10 février 2013

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Des mathématiciens primés par l’Académie des sciences

Aurélien Alvarez et Pierre Pansu

Le mercredi 19 décembre dernier, cinq exposés couvrant un spectre mathématique assez large, de l’arithmétique aux équations aux dérivées partielles, des représentations automorphes à certains groupes de transformations en passant par l’analyse harmonique, ont été donnés par certains des mathématiciens récemment primés par l’Académie des sciences. Cet évènement a lieu, chaque année dans un laboratoire différent, à l’initiative de la Société mathématique de France (SMF), et sous les auspices de l’Académie. Par ailleurs, se tient tous les ans une demi-journée organisée par la SMAI, l’INRIA et leurs partenaires industriels, manifestation qui, elle, a eu lieu le 20 décembre après-midi à l’Institut Henri Poincaré (IHP).

Même si la plupart des mathématiciens s’en désintéressent a priori, recevoir un prix pour ses travaux est toujours une belle récompense qui en général fait plaisir. Les prix mathématiques ont une très très longue histoire que nous n’allons pas retracer ici : disons que ces prix peuvent récompenser une œuvre ou certains travaux précis, ou alors stimuler la recherche dans certaines directions.

Nous allons essayer de faire un petit tour d’horizon des exposés qui ont été donnés à cette journée de décembre mais ce n’est pas si facile de rendre compte de ces conférences qui portent sur des résultats ardus de mathématiques pures, parfois très récents. Hors-piste garantie ! Du coup, nous n’allons pas expliquer les choses en détail, nous donnerons quelques définitions, mais pas toutes [1].

Luc Illusie (Médaille Picard) a choisi d’exposer des travaux en collaboration avec Pierre Deligne remontant à 1987. Il s’agit de propriétés des variétés algébriques. Une variété algébrique, c’est un ensemble de points du plan (ou d’un espace de dimension supérieure) défini par des équations. Ces équations sont polynomiales, en voici deux exemples :
\[x+y^2 -x^3 =0, -1+x+y^2-x^3=0.\]

Les inconnues peuvent être prises dans différents ensembles de nombres, les réels (on peut alors faire des dessins),

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les complexes (on peut encore faire des dessins, mais c’est plus difficile), ou encore, les entiers modulo un nombre premier p.

Considérons maintenant les deux équations suivantes,
\[-1+x^2 +y^2 =0, x+y^2-x^3=0.\]
L’ensemble des solutions complexes de la première équation (auxquelles on ajoute les points cycliques) est une sphère. Celui de la deuxième équation (avec un point à l’infini ajouté) est un tore, on ne peut pas déformer l’un dans l’autre, ils sont topologiquement différents.

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C’est de ce genre de propriétés, et d’autres, de nature analytique, qui leur sont intimement liées, dont parle la théorie de Hodge, née dans les années 1930. Pour les établir, William Hodge utilisait des résultats avancés de la théorie des équations aux dérivées partielles. Certaines conséquences de la théorie sont purement algébriques, au point qu’elles gardent un sens sur les entiers modulo p.

Jusqu’aux années 1980, cette théorie était considérée comme une contribution remarquable des méthodes transcendantes (i.e. utilisant des outils qui proviennent de l’analyse) à la géométrie algébrique. Pourtant, de nombreux spécialistes pensaient que les conséquences algébriques pourraient, dans certains cas, persister modulo p. C’est ce que Deligne et Illusie ont établi, par des méthodes algébriques assez élémentaires, exploitant les propriétés très particulières du calcul différentiel en caractéristique p. En prenant p assez grand, ils obtiennent une nouvelle preuve de la dégénérescence de Hodge pour les variétés propres et lisses sur le corps des complexes. En un sens, ces travaux illustrent l’enseignement d’Alexandre Grothendieck : les idées de la topologie, formulées dans une généralité suffisante, s’appliquent à la théorie des nombres. Et inversement, des idées issues de la théorie des nombres ont un impact sur la topologie. [2]

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Jean-Yves Chemin (Prix Servant) a traité de mécanique des fluides. Celle-ci est gouvernée par un système d’équations aux dérivées partielles appelé équations de Navier-Stokes. Il a été proposé à partir de 1822 par l’ingénieur français Louis Navier, élaborant sur un travail célèbre de Leonard Euler. En dimension 3, on ne sait pas prouver mathématiquement l’existence globale en temps d’une solution, exprimant l’évolution du champ des vitesses du fluide au cours du temps, à partir d’une donnée initiale régulière. Il s’agit de l’un des sept « problèmes du millénaire » retenus par la Fondation Clay en 2000.

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Un progrès remarquable a été accompli par Jean Leray en 1934. Leray a démontré l’existence globale en temps de solutions faibles pour des données initiales d’énergie finie (donc non nécessairement régulières). Il appelle dans son article de telles solutions des « solutions turbulentes » mais n’arrive pas à montrer que ces solutions sont uniques. Sa construction requiert la structure algébrique particulière des équations de Navier-Stokes (ce qui conduit à l’inégalité d’énergie). Mais au-delà d’un certain temps, Leray montre par contre que ces solutions sont « petites » et deviennent uniques et régulières (et donc, s’il y a une singularité, elle doit apparaître en temps fini) [3]. Tout le propos de Chemin était dans le « suffisamment petit ». Que signifie être petit, pour le champ des vitesses à l’instant initial ?

Aujourd’hui, on sait quantifier ce « petit » d’une façon bien plus faible que Leray à l’époque [4]. Et c’est ce qu’a pu faire Chemin, en collaboration avec Isabelle Gallagher, en 2009. Ils relaxent encore cette condition de petitesse de façon subtile et montrent l’existence de solutions globales en temps. Leur argument repose sur une propriété algébrique de la non-linéarité des équations, à la différence de l’approche de Kato, très générale. Chemin est parvenu à donner une idée des arguments de Leray, Kato et des siens. Les mots-clés sont inégalité de Hölder, de Sobolev, intégration par parties, invariance d’échelle, conjugaison exponentielle.

Jean-Pierre Labesse (Prix Jaffé) a choisi de décrire l’itinéraire qui l’a conduit à étudier la formule des traces.

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Au début, il y avait les formes modulaires. Il s’agit de fonctions d’une variable complexe qui satisfont une équation fonctionnelle, la modularité, pour chaque matrice de taille 2 à coefficients entiers. Parmi elles, la fameuse série dont les coefficients comptent le nombre de partitions d’un entier. Dans les années 1920, Ramanujan avait conjecturé une majoration de ces coefficients. Elle a été démontrée par Pierre Deligne en 1973, en utilisant tout un attirail topologique auquel la propriété modulaire de la série donne accès.

À la suite de ce succès, une étude plus systématique des formes automorphes par rapport à un groupe discret plus général que le groupe des matrices entières a été entreprise. La formule des traces est un outil pour cette étude. En utilisant deux façons de calculer la trace d’un opérateur bien choisi, elle exprime comme intégrales des combinaisons de multiplicités de représentations linéaires de dimension infinie. Ces multiplicités varient quand on applique aux représentations des automorphismes extérieurs. Plus généralement, il est nécessaire de comprendre l’effet de la conjugaison stable (deux éléments sont dits stablement conjugués s’ils sont conjugués dans le groupe des points sur une clôture algébrique). L’art de décrire cette variation s’appelle l’endoscopie [5]. Ce sont des travaux d’endoscopie qui ont valu la médaille Fields à Ngô Bao Châu en 2010.

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Stéphanie Petermichl (Prix Déchelle) a présenté des travaux d’analyse harmonique en commençant par expliquer comment le type de problème qu’elle considère est relié à des questions fondamentales de géométrie du plan complexe. D’après Riemann, tout domaine plan simplement connexe (c’est-à-dire sans trou) peut être amené sur le disque unité par une transformation, dite transformation conforme, qui envoie asymptotiquement au premier ordre les cercles sur des cercles. Le théorème de Riemann possède une version beaucoup plus générale démontrée par Morrey en 1938, et appelée théorème de Riemann mesurable : on se donne à l’avance en chaque point $w$ du domaine une excentricité $e(w)$, supposée mesurable et bornée supérieurement et inférieurement ; on peut alors trouver une transformation, dite quasi-conforme, qui envoie le domaine sur le disque unité et qui envoie asymptotiquement au premier ordre les ellipses centrées en un point $w$, et ayant l’excentricité $e(w)$, sur des cercles. La fonction d’une variable complexe qui donne la transformation est solution d’une équation linéaire exprimant que le rapport entre ses dérivées en $z$ et en $\overline z$ est une fonction simple de $e(z)$. Elle peut s’exprimer en termes de la transformée de Beurling B, qui fait passer de la dérivée en $z$ à la dérivée en $\overline z$. Astala a montré en 1994 comment la norme de la transformée de Beurling dans les espaces L$^p$ était liée à la régularité des applications quasi-conformes. Iwaniec a conjecturé que cette norme était égale à $p-1$ si $p>2$.

L’opérateur B s’exprime aisément au moyen de la base de Fourier, mais cela ne donne pas accès à la norme sauf si $p=2$. Petermichl a découvert comment écrire B comme superposition d’opérateurs simples, qui s’expriment dans la base de Haar, et qui sont des transformées de martingales dont on connaît la norme. L’ondelette de Haar est la fonction à support dans l’intervalle [0, 1], qui vaut 1 sur la moitié gauche de l’intervalle et -1 sur la moitié droite. On trouve la base de Haar de L$^2$ en une variable en considérant toutes ses images par des translations entières, puis les dilatées de toutes ces fonctions par toutes les puissances de 2, positives ou négatives. On normalise convenablement les fonctions de sorte qu’elles soient toutes de norme 1. On décrit ainsi la base de Haar en une variable. La base en deux variables est obtenue en prenant des produits par un argument standard dans la théorie des ondelettes.

Cette méthode a permis à Petermichl et Volberg de montrer que la norme de B est majorée par $2(p-1)$, résultat qui a été amélioré depuis. Mais la conjecture d’Iwaniec est toujours ouverte. La méthode s’est montrée extrêmement puissante dans le calcul de normes d’opérateurs. De la même manière que la transformée de Beurling, la transformée de Hilbert peut s’écrire à partir d’un opérateur simple, appelé « décalage dyadique ». Cette écriture s’est révélée très utile et a été reprise par de nombreux auteurs, jusqu’à l’article de Hytönen donnant une solution complète à la « conjecture » $A_2$ pour les opérateurs de Calderon-Zygmund.

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Serge Cantat (Prix Paul Doistau-Emile Blutet) a quant à lui choisi de parler de l’alternative de Tits. Il s’agit de théorie des groupes. Les groupes ici ne sont pas toujours abstraits, ce sont des groupes de transformations dans des géométries intéressantes (géométrie hyperbolique, géométrie projective, géométrie affine par morceaux). Cantat a expliqué un procédé qui remonte à Klein, le ping-pong, qui permet souvent de trouver dans ces groupes des paires d’éléments libres, i.e. qu’aucune relation algébrique ne relie entre eux.

Une telle paire ne peut exister lorsque le groupe est résoluble. La notion de groupe résoluble remonte à Galois, c’est la clé de la (non-)résolubilité par radicaux des équations algébriques. Si $G$ est un groupe, $g$ et $h$ des éléments de $G$, leur commutateur est l’élément $ghg^{-1}h^{-1}$ de $G$. L’ensemble $G'$ des éléments de $G$ qui peuvent s’écrire comme un produit de commutateurs est un sous-groupe de $G$, appelé groupe dérivé de $G$. Recommençons avec $G'$ : considérons le groupe dérivé $G''$ de $G'$, puis le groupe dérivé de $G''$, etc. Si on finit par trouver le groupe réduit à l’élément neutre, on dit que $G$ est résoluble.

Pour les groupes de matrices (i.e. les groupes de transformations de la géométrie projective), Jacques Tits (prix Abel 2008) a démontré en 1972 que de deux choses l’une

  • ou bien $G$ contient une paire d’éléments libres,
  • ou bien $G$ est résoluble (à indice fini près).

La géométrie affine par morceaux ne partage pas cette propriété. En revanche, Cantat a montré qu’une telle alternative a lieu pour le groupe de Cremona. C’est le groupe des transformations birationnelles de l’espace projectif complexe.


À l’issue de cette journée, ce qui est frappant, c’est la diversité des sujets traités. Les chapitres de nos livres de maths du lycée étaient tous représentés (algèbre, analyse, géométrie), mais un peu dans le désordre. Les algébristes n’ont pas pu s’empêcher d’évoquer les équations aux dérivées partielles ou la théorie spectrale. Les analystes ont l’oeil sur les propriétés algébriques de leurs équations, les géomètres voient des groupes partout. Les probabilités ont fait leur apparition à travers les questions des auditeurs. C’est plutôt une bonne nouvelle : en maths, on ne risque pas tellement d’être enfermé dans un sujet, chacun dispose d’une boîte à outils qui peut s’avérer utile pour un problème assez éloigné.

Et le public était au rendez-vous. Une bien belle journée !

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P.S. :

Un grand merci aux conférenciers, dont la tâche était ardue, et aux organisateurs (Olivier Durieux, Jérémie Guilhot et Marc Peigné) qui ont su attirer un large public de Tours et d’Orléans. Retrouvez également les tableaux de ce billet sur le site blackboard of the day.

Enfin, merci à Jean Lefort pour sa relecture de l’article avant parution. Comme lui, nous sommes conscients que, malgré nos efforts, cet article reste très difficile à lire. Nous espérons cependant qu’il pourra donner un bref aperçu de mathématiques récemment mises à l’honneur.

Notes

[1Et le lecteur n’aura pas tort de lire cet article un peu en diagonale...

[2Pour approfondir davantage, un exposé au séminaire Bourbaki de Joseph Oesterlé, Dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers De Rham, Séminaire N. Bourbaki, 1986-1987, exp. n° 673, 67-83.

[3Ici par contre la structure algébrique n’a plus d’importance (comme il apparaîtra clairement chez Kato, puis tous les travaux qui suivent jusqu’à Koch-Tataru, qui valent pour des modèles assez généraux sans la structure algébrique).

[4Pour faire « simple », Leray dit « produit des normes L$^2$ et Sobolev H$^1$ petit » alors que Kato dit 30 ans plus tard « norme Sobolev H$^{1/2}$ petite », puis Koch-Tataru « norme C$^{-1}$ petite ».

[5Ce texte de Ngô est loin loin d’être élémentaire !

Affiliation des auteurs

Aurélien Alvarez : Université d'Orléans ,

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Pour citer cet article : Aurélien Alvarez et Pierre Pansu, « Des mathématiciens primés par l’Académie des sciences »Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Des-mathematiciens-primes-par-l-1427.html

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