Des maths sans maths...

...ou pourquoi les élèves se sentent nuls

Le 18 décembre 2018  - Ecrit par  Anne Siety Voir les commentaires (6)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques ne laissent personne indifférent. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Depuis une quinzaine d’années, je vois apparaître de nouveaux blocages : je reçois des élèves qui s’avèrent très doués en mathématiques, mais dont les notes sont catastrophiques. Ils ne parviennent pas à investir leurs cours, ne travaillent pas, n’écoutent pas. « Je ne comprends pas ! Avant j’aimais les maths… », constate Claire tristement. Dès qu’on les nourrit un peu, en leur fournissant les éléments qui leur manquent – des éléments qui pour beaucoup ne figurent plus dans les programmes –, ces élèves s’illuminent. C’est le fameux « Haha ! » mathématique cher à Martin Gardner [1] Mais nombre d’entre eux restent dans le dégoût des mathématiques et renoncent. Quel gâchis ! Comment en est-on arrivé là ?

J’ai connu, en tant qu’élève, l’enseignement des mathématiques des années 70-80. Les « mathématiques modernes », malgré, certainement, quelques tâtonnements hasardeux, étaient porteuses, dans le souvenir que j’en ai, d’un enthousiasme, et d’une exigence vivifiants. J’entends encore les professeurs nous signaler avec gourmandise un raisonnement « puissant », ou notre enseignante de troisième nous exposer une astuce mathématique, (ajouter puis enlever le même nombre, diviser par 1…), en annonçant sur un ton mystérieux et enjoué : « Ça ne change rien… mais ça change tout ! » Chez eux, pas de pudibonderie : ils ne nous dissimulaient rien de l’âpreté du voyage mathématique. Mais ils nous préparaient aux excursions dans ce pays parfois inhospitalier, et ils nous fournissaient un bagage léger et résistant – le canif pour tailler les outils dont nous aurions besoin. Avec un cours très synthétique, très efficace, nous avions accès à une multitude d’énoncés que je trouvais plus palpitants les uns que les autres. Nos enseignants nous invitaient, à travers leur discipline, à faire l’expérience d’une pensée autonome.

En lisant l’article si drôle – et si triste – de Karen Brandin dans le débat du 18 novembre, je retrouve ce merveilleux projet qui animait les professeurs de mathématiques de ma jeunesse. Je comprends son désespoir d’être coincée par des programmes qui ne permettent plus de transmettre aux élèves les pépites mathématiques que nous avons reçues.

Mon travail de psychopédagogue me permet d’aborder les mathématiques avec mes élèves de la façon qui me semble la plus favorable pour eux : je suis libre de les emmener à ma guise vers les notions susceptibles de leur être utiles, d’éclairer leur lanterne, de dénouer les « blocages » pour lesquels ils sont venus me trouver… et parfois de les étonner ou de les réjouir.

Cependant, si aucun sujet ne m’est interdit, je dois composer avec ce que les élèves, venus d’établissements variés, ont (ou n’ont pas) appris. Sans bénéficier d’une vision du programme aussi complète qu’un prof de maths, je ressens donc vivement les étrangetés des programmes successifs, et je suis consternée de les voir perdre progressivement leurs centres vitaux. Ces programmes font des mathématiques, petit à petit, non plus une matière à penser, mais une suite d’instructions, que l’élève doit exécuter.

Un exemple flagrant, à mon sens, est celui des combinaisons. L’histoire du pâtissier qui dispose de sept parfums de glace, et propose des coupes contenant trois parfums différents. Combien de coupes figureront à sa carte ? Autrefois, c’était un délice de traiter ce problème. On découvrait les arrangements : la formule, avec ses jolies factorielles, était simple à construire. Et on comptait ainsi les cornets de glace aux trois parfums superposés. Puis on défaisait l’ordre des cornets grâce à une pincée de permutations, elles aussi miraculeusement accessibles. Et voilà que surgissait la formule du nombre de combinaisons de trois parmi sept. Cette formule, on ne pouvait pas l’oublier, puisqu’on l’avait inventée ! Je ne me prive jamais du plaisir de cette promenade gastronomique avec les élèves qui m’emmènent sur ce terrain, et je me régale chaque fois de leur surprise extasiée.

Surprise, car le programme professe une tout autre philosophie : ni arrangements, ni permutations ne sont abordés, pas plus que la formule des combinaisons : les élèves en sont réduits à les calculer à l’aide du programme préenregistré dans leur calculette. Pire, les combinaisons, en réalité, n’existent plus : le mot a été supprimé. On ne dit plus « le nombre de combinaisons de trois parmi sept » mais « les trois parmi sept ». Les trois quoi ? « Ce qui se conçoit bien s’énonce clairement, et les mots, pour le dire, arrivent aisément. » Ici, aucun risque de concevoir quoi que ce soit, puisqu’il est désormais interdit de l’énoncer [2].

Si les mots disparaissent, les écrans, en revanche, ne se sont jamais si bien portés. Autrefois, on éloignait les enfants de la télévision en les menaçant, s’ils désobéissaient, d’avoir à la longue « les yeux carrés. » On savait qu’il ne fallait pas coller les enfants devant la télé.

Aujourd’hui, on oblige les élèves à effectuer de longues stations devant les écrans. Ils n’ont pas le choix. Et même si ce sont eux qui tapotent les instructions, ils sont pieds et poings liés devant leurs machines, incapables de prendre le relai [3]. Ce sont les écrans qui leur fournissent les « $p$ parmi $n$ » utilisés dans des obscurs calculs de loi binomiale – calculs privés de sens, puisque cuisinés avec des ingrédients que les élèves ne peuvent réellement saisir.

Ce sont aussi les écrans qui tracent les courbes des fonctions. Certains ouvrages scolaires illustrent d’ailleurs la notion de fonction continue par une saisie d’écran, donnant à voir aux élèves une portion de courbe complètement pixelisée… Chacun sait, bien sûr, comme le disait Descartes, que « la géométrie est l’art de raisonner juste sur des figures fausses. » Mais quand même.

Ce qui est préoccupant, c’est que l’écran en vient à remplacer la main : l’outil le plus archaïque, mais aussi le plus raffiné – le vrai fondement de la pensée. C’est en traçant, à la main, avec un crayon, une courbe point par point qu’on saisit vraiment la notion de fonction : on ressent le lien entre la variable et son image, on comprend, au sens fort, ses variations, ses points d’inflexion, ses asymptotes et ses limites… La « calculette graphique », en produisant seule la courbe, interdit à l’élève d’agir, elle le rend passif, asphyxie son intelligence. Je le constate dans mon cabinet, avec un émerveillement toujours renouvelé : lorsqu’un élève accepte de ranger sa calculette, et trace avec un vrai crayon, sur du vrai papier, la courbe représentative d’une fonction, je vois sa main se lancer, entraînant la pensée à sa suite.

J’irai plus loin : je suis sûre que ma génération doit énormément au tableau noir, et à sa poussiéreuse craie blanche. Que ce soient les mathématiques, l’orthographe ou la grammaire, une chance nous était offerte de les saisir au sens propre, de les engrammer, de les incorporer, abstrait et concret mêlés, avec le bruit de la craie glissant sur la surface du tableau, son odeur, les aléas du trait ainsi formé, et dont la matière changeait au fur et à mesure que la craie s’usait.

Les écrans font… écran entre les élèves et les mathématiques.

Ainsi, à moins de prendre des libertés avec le programme, comme le font certains enseignants, il est devenu presque impossible de faire véritablement des mathématiques avec les élèves.

Les conséquences sont multiples. En premier lieu, il serait étonnant que le rang mondial de la France en mathématiques ne soit pas touché, et je ne me sens pas très optimiste quant aux résultats des prochaines enquêtes PISA.

Plus préoccupant, les programmes « allégés » sont délestés de ce qui donne sens à des notions complexes demeurées, elles, au programme. Les élèves sont ainsi soumis à une injonction paradoxale : avec des éléments de cours de moins en moins consistants, ils sont tenus de traiter des exercices d’une réelle difficulté. On connaît le résultat : ils ont beau travailler, ils n’ont pas les moyens de comprendre, et encore moins la possibilité de développer la créativité nécessaire à la résolution des problèmes posés. Perdus, la plupart d’entre eux se sentent nuls, et renoncent. Ainsi le sujet de mathématiques du bac de l’été dernier a-t-il suscité un tollé – une pétition a circulé sur internet faisant état de l’indignation des élèves, qui estimaient ne pas être en mesure de le traiter. Il abordait d’après eux des « notions abstraites relevant (…) de capacités de raisonnement auxquelles [ils n’avaient] pas été suffisamment entraînés. » On ne saurait leur donner tort.

Il y a plus grave : les programmes de mathématiques, de plus en plus lacunaires, n’ont plus les moyens d’offrir aux élèves une progression fondée sur le sens. Remplaçant les explications par des instructions, et le stylo par l’écran, ils valorisent la passivité des élèves. Un élève qui réussit en mathématiques n’est pas – n’est plus – un élève qui réfléchit, qui essaie, qui doute. C’est un élève qui se contente de s’« entraîner », pour ne plus se laisser surprendre (ou le moins possible) par un énoncé. Un élève qui supporte de renoncer au sens pour se soumettre aux instructions jalonnant son cours de mathématiques – un exécutant docile.

Alors… pourquoi un tel gâchis ?

Les programmes ont-ils été trop hâtivement conçus ? Sont-ils le témoignage d’un manque de confiance dans l’intelligence des élèves ? d’un essai pour composer avec le nombre insuffisant de professeurs de mathématiques ?

Cependant, ce programme fait d’écrans et d’instructions (qui sont, en fait, rien moins que des algorithmes) n’aurait pas été conçu autrement s’il avait eu pour objet d’emmener les élèves vers ce que certains considèrent comme un domaine d’avenir : l’informatique [4].
Vu sous ce jour, il paraît même cohérent : ce n’est plus un programme de mathématiques, c’est une préparation à l’informatique. Quelques remarques s’imposent ici : quel que soit le destin du secteur de l’informatique, n’est-il pas dommage de l’imposer aux dépens des mathématiques ? Pourquoi ne pas enseigner séparément ces disciplines, plutôt que de les fondre dans ce magma mi-chèvre mi-chou que deviennent les mathématiques telles qu’elles sont présentées dans les manuels ? De plus, comment ces mathématiques contemporaines – appauvries, n’encourageant plus l’esprit d’initiative, n’invitant plus les élèves à faire usage de leur autonomie – sauraient-elles former des informaticiens de qualité, réellement compétents et inventifs ?

Au-delà de ces considérations, les programmes de mathématiques actuels posent la question du projet formé pour la nouvelle génération. Je crois que tout enseignant a à cœur de transmettre à ses élèves bien plus que sa discipline : l’appétit d’apprendre, le bonheur de découvrir, la confiance en soi, et une autonomie de pensée qui fera d’eux des humains de qualité. Il serait légitime que le programme de mathématiques constitue non une entrave, mais un support, un tremplin à ce magnifique métier. Pour en revenir à Claire, dont il est question au début de ces lignes, quelques explications ont suffi aujourd’hui à éclaircir un problème sur lequel elle butait. Elle s’est étonnée : « Avant, je croyais avoir compris, mais maintenant, j’ai vraiment compris. » Lorsque je lui ai demandé quel effet ça lui faisait, elle m’a répondu « On se sent libre ! »

Le temps semble au changement. Les programmes de mathématiques vont sans doute connaître avant peu de nouvelles métamorphoses. Aussi je souhaite joindre ma voix à celle de Karen Brandin et de tous ceux qui croient encore aux mathématiques pour qu’elles reviennent à l’école, au collège, et au lycée sous leur vrai visage : un chemin vers la liberté.

Article édité par Aziz El Kacimi

Notes

[1Martin Gardner, Haha ou l’éclair de la compréhension mathématique

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[2Même constat pour la composition de fonctions, qui, bien qu’elle soit utilisée, n’est jamais nommée. La notion de « composée » n’est apparemment plus au programme. Ainsi, les élèves apprennent par cœur, une à une, fastidieusement, des formules de dérivées de fonctions composées comme d’innombrables cas particuliers, sans aucun moyen d’établir un rapprochement entre elles puisqu’on ne leur a jamais donné la formule générale. Une tâche herculéenne absurde, qui se réduit à presque rien lorsqu’on emmène les élèves faire un peu de « hors piste ».

[3On reste songeur en pensant au jour où se produira le « grand bug »…

[4Une initiation à la programmation est d’ailleurs incluse dans les programmes de mathématiques, et cela dès les plus petites classes. Est-ce vraiment utile à la construction des jeunes enfants, et à leur entrée dans les savoirs fondamentaux ?

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Pour citer cet article :

Anne Siety — «Des maths sans maths...» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • À la recherche des « Haha ! » perdus

    le 18 décembre 2018 à 07:27, par FDesnoyer

    Bonjour,

    deux remarques :
    1. les tests PISA ne sont pas conçus d’une façon cohérente avec le système français et, pour s’y adapter, il faudrait, au moins, pouvoir en consulter les contenus pour orienter certains exercices ou certaines questions : mais ces tests sont secrets et les exemples de questions distribués avec parcimonie. En outre, le temps nous manque pour faire ça « en plus » de toutes les charges d’un enseignant (préparer des cours riches et variés, remplacer ses collègues malades, assister à de nombreuses réunions, prendre en charge des élèves reçus au Bac et refusés dans l’enseignement supérieur [à quand une tribune sur ParcoursSup ???]... dois-je continuer ?)
    2. Pour la composée (et d’autres items du même ordre), je fais partie des irréductibles qui estiment qu’un petit poil de généralité ne tue pas, il ne me semble pas exister de blocage épistémique majeur empêchant l’élève de TS de 2018 de comprendre ce qui était au programme pour l’élève de TS de 2010

    Merci pour votre tribune car je suis un enseignant « Ha ! ha ! » qui ne peut s’empêcher de chercher à provoquer cette onomatopée par tous les moyens possibles !

    Sinon, je suis prêt à signer cette tribune avec grande joie ! (même si je n’ai, pour ma part, pas connu les « maths modernes » mais les « maths Bayrou »)

    Bien cordialement,

    F.D.

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