Des nœuds dans l’eau sèche

Piste rouge Le 28 octobre 2013  - Ecrit par  Frédéric Le Roux Voir les commentaires


Pour faire un nœud dans l’eau, commencez par choisir un nœud, par exemple le noeud de trèfle dessiné ici. Vous réalisez ensuite votre nœud à l’aide d’une imprimante 3D, en lui donnant un profil d’aile d’avion. Dans un premier temps vous maintenez cette aile nouée immobile sous l’eau, puis vous la déplacez brusquement vers le bas.

JPEG - 96.6 ko
L’ « hydrofoil » en forme de noeud de trèfle utilisé dans l’expérience (crédits : Steve Koppes)

Sous l’effet de ce mouvement subit, les molécules d’eau qui étaient proches du bord extérieur de l’aile se mettent en mouvement, et un fin tourbillon apparaît autour d’une courbe qui a la forme de votre nœud. Tout ceci sera probablement plus clair avec la vidéo ci-dessous. Après un premier tourbillon fabriqué de façon plus « classique », on y voit un deuxième tourbillon fait à partir d’une aile circulaire, puis un tourbillon en forme de nœud de trèfle (une quarantaine de secondes après le début). Pour rendre apparent le mouvement des molécules d’eau, de minuscules bulles de gaz ont été préalablement accrochées à l’aile nouée.

Le processus expérimental que l’on voit sur la vidéo a été mis au point récemment par deux physiciens de l’Université de Chicago, Dustin Kleckner et William T. M. Irvine, qui ont ensuite étudié l’évolution des tourbillons noués ainsi créés. Peu de temps après sa formation le tourbillon en forme de nœud de trèfle s’allonge et se déforme, certains brins se rapprochent et entrent en collision. Puis des brins se reforment, et le résultat de cette transformation consiste en deux tourbillons en forme d’anneaux non enlacés qui s’éloignent l’un de l’autre (ce dernier phénomène est difficile à percevoir sur la vidéo, mais les auteurs ont bien sûr utilisé des moyens d’analyse plus sophistiqués que leurs simples yeux).

L’équation d’Euler

En 1755, Leonhard Euler établit l’équation qui porte son nom, et qui fournit un modèle pour le comportement de l’eau [1].
Je ne vais pas écrire l’équation dans cet article, mais j’aimerais quand même préciser un peu la phrase « l’équation fournit un modèle pour le comportement de l’eau ». L’équation inventée par Euler concerne le « champ des vitesses » du fluide. Pour comprendre ce qu’est le champ des vitesses, imaginez un fluide en mouvement, comme sur la vidéo ci-dessus, ou bien comme sur l’animation ci-dessous. A un instant $t$ donné, on arrête le mouvement, et on dessine le « vecteur vitesse » de chacune des molécules : ce « vecteur vitesse » n’est rien d’autre qu’une flèche indiquant la direction du mouvement de la molécule, flèche d’autant plus longue que le mouvement de la molécule est rapide. On peut ainsi dessiner un très grand nombre de flèches (une par molécule) ; en pratique, on en dessine juste suffisamment pour pouvoir imaginer les autres par la pensée. On obtient ainsi une version imagée de l’objet mathématique appelé « champ des vitesses », lequel correspond à la donnée d’une flèche pour chacun des points de l’espace.
La deuxième animation représente l’évolution dans le temps du champ des vitesses correspondant au mouvement de l’eau sur la première animation ; les flèches sont colorées en fonction de leur longueur, les flèches rouges correspondent aux molécules les plus rapides et les bleues aux plus lentes.

Nous pouvons maintenant préciser ce qu’est l’équation d’Euler : il s’agit d’une formule permettant de calculer l’évolution du champ des vitesses. Autrement dit, si vous connaissez le champ des vitesses à un instant donné, l’équation d’Euler vous permettra de calculer ce qu’il deviendra une seconde plus tard. En renouvelant le calcul vous pourrez déterminer ce qu’il sera dans deux secondes, puis dans trois secondes, et ainsi de suite pour prédire l’évolution du champ des vitesses sur une durée aussi longue qu’il vous plaira.

Cette description de ce que permet de faire l’équation appelle deux remarques. D’une part, l’équation d’Euler est une équation aux dérivées partielles, ce qui signifie qu’elle est formulée dans le langage du calcul différentiel, et que pour un mathématicien les phrases précédentes ne sont correctes que si l’on remplace la durée d’une seconde par une durée « infiniment petite ».
D’autre part, cette description indique juste ce que permet de faire l’équation, et ne dévoile rien de son contenu intime, c’est-à-dire de la recette permettant de déterminer le nouveau champ des vitesses à partir de l’ancien. D’ailleurs la recette proposée par Euler, et contenue dans son équation, ne fournit pas un modèle mathématique très performant pour décrire le mouvement de l’eau. C’est ce qui a amené Navier et Stokes à proposer une équation plus réaliste, en introduisant dans l’équation d’Euler un terme appelé « terme de viscosité » qui tient compte des frottements entre les molécules d’eau ; l’équation de Navier-Stokes fournit une deuxième recette, donnant un résultat différent de celle d’Euler, pour calculer l’évolution du champ des vitesses d’un fluide.

Helmholtz et la conservation des lignes de tourbillons

Un résultat démontré par Hermann von Helmholtz en 1858 illustre l’intérêt paradoxal de l’équation d’Euler. Helmholtz étudie les « lignes de tourbillons » d’un champ de vitesses évoluant selon cette équation, et découvre des propriétés étonnantes. Les lignes de tourbillons sont, en gros, les lignes autour desquelles les particules tournent ; elles sont bien sûr définies mathématiquement de façon précise, à partir du champ des vitesses, toujours dans le langage du calcul différentiel ; les mathématiciens les appellent « trajectoires du champ rotationnel des vitesses ». Dans chacune des expériences apparaissant sur la vidéo du début de l’article, l’une de ces lignes de tourbillons est très visible, elle correspond initialement à la position occupée par la courbe au profil d’aile d’avion. Pour le champ des vitesses animé au paragraphe précédent, les lignes de tourbillons sont des cercles comme ceux dessinés en bleu sur l’image ci-dessous.

Helmholtz réalise que ces lignes se déforment au cours du mouvement exactement comme si elles étaient portées par le flot : si, ayant arrêté momentanément une vidéo du mouvement de l’eau, vous peignez en rouge toutes les molécules se trouvant à ce moment-là le long d’une même ligne de tourbillons, lorsque vous remettrez la vidéo en marche la ligne dessinée par les molécules rouges se déformera tout en continuant à matérialiser, à chaque instant, une ligne de tourbillons du champ des vitesses. Supposez maintenant qu’à l’instant initial l’une des lignes de tourbillons se referme sur elle-même en formant un nœud. D’après la découverte de Helmholtz, cette ligne de tourbillons nouée va se déformer continûment pendant toute la suite du mouvement sans jamais pouvoir se dénouer. Autrement dit, les lignes de tourbillons nouées sont indestructibles. Inversement, aucun nœud ne peut apparaître à un instant donné s’il n’est pas déjà présent. L’expérience réalisée par les physiciens de Chicago est manifestement en contradiction avec ces propriétés, et même à deux moments : au tout début de l’expérience puisque des nœuds sont créés à partir du fluide au repos, et une deuxième fois lorsque la topologie des nœuds change, quand le nœud de trèfle se transforme en deux tourbillons dénoués. Un très joli résultat mathématique, mais qui ruine la prétention de l’équation d’Euler à être un modèle raisonnable du phénomène qu’elle était censée décrire ! Dans son célèbre manuel de physique, Feynman a résumé la faillite de l’équation d’Euler en tant que modèle mathématique de l’eau en intitulant le chapitre correspondant « Le flot de l’eau sèche ».
 [2]

Les atomes-tourbillons de William Thomson

Aujourd’hui nous savons tous que la matière est constituée d’atomes, mais le modèle atomique n’a rien d’évident tant il est loin de l’intuition que donne, à notre échelle, la sensation d’une matière continue. Pendant longtemps les alchimistes ont tenté de comprendre la matière à l’aide de leurs quatre éléments (l’eau, l’air, la terre, le feu). A la fin du XVIIIème siècle, les observations de réactions chimiques s’accumulent ; John Dalton propose alors d’interpréter ces résultats expérimentaux à l’aide d’une hypothèse atomique, c’est-à-dire en postulant que la matière est composée d’une multitude de « grains » élémentaires indestructibles, chaque grain étant la plus petite partie d’un composant capable de se combiner avec d’autres composants lors des réactions chimiques. Cette hypothèse rend bien compte, par exemple, du fait que l’hydrogène gazeux se combine à l’oxygène dans une proportion de 2 litres pour 1 litre (pour former de l’eau). Il faudra cependant encore un siècle d’observations et de controverses avant que l’interprétation par Einstein du mouvement erratique des grains de pollen dans l’eau, dit mouvement brownien, comme étant dû au bombardement incessant des molécules d’eau, interprétation confirmée par les observations soigneuses de Jean Perrin en 1908, assoit définitivement la théorie atomique [3].

Au XIXème siècle, les partisans de l’hypothèse atomique se demandent à quoi peut ressembler un atome. A cette époque-là les constituants élémentaires de l’atome n’ont pas encore été découverts. D’autre part,
les physiciens postulent l’existence d’un fluide, l’éther, censé servir de support à la propagation des ondes lumineuses. L’éther est vu comme un fluide incompressible et non visqueux, modélisé par l’équation d’Euler.
Ayant appris la découverte par Helmholtz de l’« insécabilité » des lignes de tourbillons, William Thomson émet en 1867 l’idée que les atomes des chimistes sont des lignes de tourbillons nouées dans le champ des vitesses de l’éther ; la figure ci-dessus, extraite de l’un de ses articles, montre quelques-unes des configurations envisagées.
Les propriétés des lignes de tourbillons [4] collent assez bien avec ce qui est attendu d’un atome, et l’idée enthousiasme de nombreux physiciens contemporains. Elle deviendra cependant caduque après la découverte de l’électron en 1897.

Les tourbillons d’éther de Thomson ne se sont pas révélés très pertinents pour décrire les atomes, et l’équation d’Euler modélise très imparfaitement le comportement de l’eau. Cependant, l’idée de l’atome-tourbillon a donné naissance à la théorie mathématique des nœuds [5] et les mathématiciens, dont la préoccupation première n’est pas de décrire le monde physique, ont continué à se pencher sur les charmes de l’équation d’Euler. En particulier sur cette question suscitée par l’idée de Thomson : peut-on trouver des solutions de l’équation d’Euler présentant des lignes de tourbillons nouées ?

Des nœuds dans l’eau sèche

Deux mathématiciens, Alberto Enciso et Daniel Peralta-Salas, ont récemment répondu à cette vieille question. Ils ont d’abord démontré, dans un article posté sur le serveur de prépublications Arxiv en 2010 et paru en 2012 dans le journal Annals of Mathematics [6], l’existence de solutions de l’équation d’Euler dont certaines lignes de tourbillons sont nouées. Mieux, leur théorème prédit l’existence d’une solution avec une ligne de tourbillons qui décrit votre nœud favori, quel qu’il soit. Les solutions découvertes par Enciso et Peralta-Salas possèdent deux propriétés très particulières qui en font des champs de Beltrami. D’abord, elles sont stationnaires, ce qui signifie que le champ des vitesses est fixe, il ne se déforme pas au cours du temps : autrement dit, il modélise l’écoulement d’un fluide dont toutes les molécules passant successivement en un endroit donné auraient, à l’instant où elles passent à cet endroit, le même vecteur vitesse.
La deuxième propriété très spéciale des champs de Beltrami dit que les molécules du fluide se déplacent le long des lignes de tourbillon.

Les deux auteurs ont renforcé ce premier résultat dans un deuxième article, déposé sur Arxiv en octobre 2012. Ils y démontrent l’existence non seulement d’une trajectoire nouée conformément à n’importe quel nœud donné, mais de tout un tube de trajectoires qui tourbillonnent autour de ce nœud.

Le commentaire du premier article dans les Mathematical reviews [7] précise que
« la preuve est très élaborée et combine de la topologie différentielle avec des techniques d’équations différentielles ordinaires et d’équations aux dérivées partielles, et notamment les célèbres théorèmes de Cauchy-Kovaleskaya, de persistence des orbites hyperboliques, et de Lax-Malgrange ». Le second article y ajoute d’autres techniques tout aussi élaborées, comme le célèbre théorème KAM.

Un énoncé

Pour terminer cet article, voici l’énoncé du premier théorème d’Enciso et Peralta-Salas, tel qu’il apparaît dans leur article.

Theorem Let $L \subset \mathbb{R}^3$ be a possibly unbounded, locally finite link. Then for any real constant $\lambda>0$ one can transform $L$ by a $C^\infty$-diffeomorphism $\Phi$ of $\mathbb{R}^3$ arbitrarily close to the identity in any $C^r$ norm, so that $\Phi(L)$ is a set of stream lines of a Beltrami field $u$, which satisfies $\mathrm{curl} \ u = \lambda u$ in $\mathbb{R}^3$.

Une traduction très approximative en français informel :
Etant donné un nœud, il existe un champ des vitesses qui est une solution stationnaire de l’équation d’Euler, et pour lequel l’une des trajectoires est périodique et décrit une courbe très proche de ce nœud. [8]

Références

  • Des explications plus détaillées sur l’expérience des physiciens, en mots ou en vidéo.
Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths et l’auteur remercient, pour leur relecture attentive, Jean-Romain Heu, Franz Ridde et Michele Triestino. L’auteur remercie également Dustin Kleckner pour lui avoir aimablement fourni les photos de l’hydrofoil et du logo de l’article.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Sur l’histoire de la mécanique des fluides et l’équation de Navier-Stokes, on peut lire par exemple, en ordre croissant de difficulté : cette bande dessinée, l’article d’Isabelle Gallagher, et celui de Laure Saint-Raymond et Thomas Sonar.

[2Extrait du livre de Feynman :

« Dans ce chapitre, nous allons supposer que le liquide est fin au sens où la viscosité est négligeable, et nous allons donc omettre le terme correspondant dans l’équation. En enlevant le terme de viscosité, nous allons faire une approximation et décrire une sorte de liquide idéal plutôt que de l’eau véritable. John von Neumann était tout à fait conscient de l’énorme différence entre ce qui se passe lorsqu’on enlève le terme visqueux et lorsqu’on le garde, et il réalisait aussi qu’au début de l’histoire de la mécanique des fluides jusqu’aux environs de 1900, presque tous les efforts portaient sur la résolution de beaux problèmes mathématiques avec cette approximation qui les rendaient presque sans lien avec les vrais fluides. Il parlait des théoriciens qui étudiaient ces problèmes comme de gens qui étudiaient « l’eau sèche ». (...) »

[3Chez les savants en tout cas, car en ce qui concerne l’enseignement, certains manuels de physique des années 1940 ne font encore qu’une mention prudente de « l’hypothèse atomique » !

[4Comme la possibilité, démontrée expérimentalement sur des tourbillons de fumées, d’un comportement oscillatoire de ces tourbillons susceptible de rendre compte du spectre d’énergie d’un atome.

[5Voir par exemple cet article de Jérôme Dubois pour une introduction à la théorie des nœuds.

[6Quand ils estiment que leur article est terminé, les mathématiciens ont la possibilité de le poster sur le site Arxiv où il sera accessible immédiatement (et gratuitement). En parallèle, ils le soumettent à une revue dont les responsables éditoriaux le font relire à un ou plusieurs arbitres (« referee ») chargés de vérifier l’exactitude et l’intérêt du résultat ; ce processus peut prendre beaucoup de temps, ce qui explique en partie le délai entre la prépublication sur Arxiv et la publication définitive.

[7Les Mathematical reviews fournissent des résumés et des commentaires sur les articles publiés dans les revues mathématiques.

[8En réalité, « link » se traduit par le mot « entrelac » ; un entrelac est un ensemble de nœuds ; le théorème permet donc de réaliser non seulement un nœud donné mais n’importe quel ensemble « localement fini » de nœuds.

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM