Des nombres qui tournent

Piste bleue 5 février 2016  - Rédigé par  Laurent Régnier Voir les commentaires (4)

Certains nombres tournent sur eux-mêmes lorsqu’on les multiplie.

Un nombre cyclique

La figure ci-dessus représente une table de multiplication ; elle m’a été
montrée un jour par Pierre Arnoux qui l’avait lui-même dénichée sur la page
facebook d’un étudiant cambodgien (et retrouvée un peu plus tard sur le blog
futilitycloset).
Il y a également sur Wikipedia une page sur les nombres
cycliques
qui décrit un
problème analogue. Enfin Serge Cantat m’a signalé une vidéo très
didactique
(en anglais) sur ce
sujet, sans parler d’un article de Martin Gardner... Bref il s’agit d’un objet
assez classique ; j’en donne ici une explication très proche de la vidéo
sus-mentionnée.

Mais au fait, qu’y a-t-il de si intrigant dans cette figure ?

Tout d’abord c’est une table de multiplication mais un petit peu différente de
celles auxquelles on est habitué : il y a plus de 10 lignes, elles ne sont pas
dans le bon ordre, le nombre dont on fait la table est très grand (il comporte
17 chiffres)...

La table est présentée de façon à faire apparaître un phénomène assez
remarquable : l’ordre des lignes est choisi pour que les chiffres tournent de 1
cran vers la droite à chaque ligne. Comment une opération arithmétique, la
multiplication, peut-elle avoir l’effet géométrique de faire tourner les
chiffres ? Est-ce une propriété miraculeuse de ce nombre à 17 chiffres ou
y a-t-il d’autres tables similaires ?

Quant à cette dernière question la réponse est oui : essayer par exemple de
multiplier le nombre $142857$ successivement par $3$, $2$, $6$, $4$ et $5$. Du
coup on peut se demander combien y a-t-il de telles tables (une infinité ?) et
surtout comment fait-on pour les trouver ?

Analyse de l’exemple

La première question concerne les multiplicateurs : les nombres de gauche
en noir de la table ci-dessus qui sont donc : $2$, $4$, $8$, $16$, $13$, ... Le
début, $2$, $4$, $8$, $16$ est facile à reconnaître : chaque nombre est obtenu
en multipliant le précédent par $2$. En langage mathématique on parle de
puissances de $2$ : il s’agit de tous les nombres que l’on peut obtenir à
partir de $1$ en multipliant uniquement par $2$. Les premières puissances de
$2$ (bien connues des adeptes du jeu 2048) sont : $1$, $2$, $4$, $8$, $16$,
$32$, $64$, $128$, $256$, $512$...

Si on reprend nos multiplicateurs, on voit que ça commence bien comme les
puissances de $2$ mais ça se gâte avec l’arrivée du nombre $13$, qui n’est pas
égal à $2\times16$. Mais je suis un peu têtu et j’ai très envie que $13$ soit
la puissance de $2$ suivante, c’est-à-dire d’avoir $13 = 32$. Il se trouve que
l’on peut le faire, moyennant bien sûr un petit artifice.

On remarque tout d’abord qu’il y a au total 18 lignes ; de plus si on regarde
attentivement nos multiplicateurs on voit que toutes les valeurs de $1$ à $18$
y sont présentes. Ce qui suggère que l’on a affaire à des nombres qui ont été
tronqués pour rester plus petits que $19$.

On connait un exemple de tel « tronquage » des nombres : le décompte des
heures. Lorsque l’on calcule en heures on se ramène toujours à des valeurs plus
petites que $12$ (ou $24$), et on complète éventuellement avec des informations
de dates : 13h est égal à 1h (de l’après-midi), 14h à 2h, ... 24h est égal à 0h
(du matin), 25h à 1h, ... 34h à 10h (du lendemain matin), etc. Les calculs sur
les heures se font « modulo $12$ », c’est-à-dire que l’on se ramène toujours à
des valeurs plus petites que $12$, en enlevant $12$ autant de fois qu’il est
nécessaire.

On n’est pas très loin de notre $13 = 32$, sauf que pour obtenir cette égalité
il ne faut pas compter modulo $12$ mais modulo $19$ : en effet $32 = 13 + 19$,
autrement dit $32$ et $13$ sont identiques modulo $19$. C’est la deuxième fois
que le nombre $19$ apparaît, ça ne peut pas être une coïncidence. Voyons la
suite.

Le multiplicateur suivant dans la table est $7$ ; la puissance de $2$ suivante
est $2\times 32 = 64$. Réduisons $64$ modulo $19$, c’est-à-dire ramenons $64$ à
une valeur plus petite que $19$ en enlevant $19$ autant de fois que nécessaire :
$64 = 45 + 19 = 26 + 2\times19 = 7 + 3\times19$ ! Et voilà : modulo $19$ on a
effectivement $64 = 7$, ce qui s’écrit en abrégé : $64 = 7\pmod{19}$.

Pour vérifier le suivant on peut procéder comme on vient de faire et voir qu’en
enlevant $19$ suffisamment de fois à $2\times 64 = 128$ on obtient bien $14$ (en
fait $128 = 14 + 6\times19$) mais ça devient fastidieux. On va être un petit
peu plus malin.

On sait que $64 = 7 + 3\times19$, donc en multipliant par $2$ les 2 membres de
l’équation on obtient directement $128 = 14 + 6\times 19$ d’où l’on déduit
qu’effectivement $128 = 14 \pmod{19}$

Et ça continue : si on multiplie par $2$ les membres de l’équation $128 = 14 + 6\times 19$ on obtient $256 = 28 + 12\times 19$. Mais $28$ est plus grand que
$19$, il faut enlever $19$ une fois de plus ce qui donne : $256 = 9 + 13\times 19$. Donc $256 = 9 \pmod{19}$. Inutile de dire que $9$ est bien le
multiplicateur suivant $14$ dans la table.

Comme on ne s’intéresse qu’aux puissances de $2$ modulo $19$, il est inutile de
calculer celles-ci : on vient de voir que $2^8 = 256 = 9 \pmod{19}$ ; pour
calculer la puissance suivante modulo $19$ il suffit de multiplier $9$ par $2$,
ce qui donne $18$ et on sait tout de suite que $2^9 = 18 \pmod{19}$. Et de même
on aura $2^{10} = 36 = 17 + 19 = 17 \pmod{19}$, etc.

On voit que les seules opérations à faire sont : multiplier par $2$, et ramener
le résultat en dessous de $19$ ce qui implique de ne faire qu’au plus une
soustraction. Ce sont des calculs assez simples que je résume dans la table
ci-dessous :

Divisions euclidiennes

Chacune des lignes réduit une puissance de $2$ modulo $19$ sans jamais calculer
explicitement celle-ci (ce qui est heureux car les puissances de $2$ ont
tendance à devenir rapidement assez grandes) : la première ligne calcule $2^0 = 1$, la seconde $2^1 = 2$, etc. jusqu’à la 18e et dernière qui indique que la
réduction modulo $19$ de $2^{17} = 131072$ est $10$.

À noter que cette méthode pour calculer les restes modulo $19$ de grandes
puissances de $2$ est généralisable, améliorable et donne des algorithmes très
efficaces et très utiles en cryptographie.

Pourquoi s’est-on arrêté à la 18e ligne, c’est-à-dire à $2^{17}$ ? Calculons
la réduction modulo $19$ de $2^{18}$, autrement dit essayons d’ajouter une
ligne à notre table. Cela donne : $2\times10 = 20 = 1 + 1\times19$ et on voit
que l’on retombe sur le $1$ de la première ligne ! En un certain sens notre
table est complète, s’il y avait une 19e ligne celle-ci indiquerait que la
réduction modulo $19$ de $2^{18} = 262144$ est $1$, ce qui s’écrit : $2^{18} = 1\pmod{19}$. Ainsi on a bouclé un cycle qui va pouvoir recommencer : $2^{18} = 1\pmod{19}$, $2^{19} = 2\pmod{19}$, $2^{20} = 4\pmod{19}$, ...,
$2^{36}=10\pmod{19}$, et ainsi de suite...

On dit que $2$ est d’ordre $18$ modulo $19$ : précisément cela signifie
que le reste de la division euclidienne de $2^{18}$ par $19$ est $1$ mais que
toutes les puissances de $2$ de $2^1$ à $2^{17}$ ont un reste par $19$
différent de $1$.

À titre d’exercice et pour tester sa compréhension, le/la lecteur/ lectrice pourra s’amuser
à vérifier en construisant des tables similaires que $3$ est également d’ordre
$18$ modulo $19$, mais que $4$ n’est que d’ordre $9$ (on retombe sur $1$ à la
9e division) et que $7$ n’est que d’ordre $3$.

Digression : la division euclidienne

Les lignes de la table ci-dessus montrent des divisions euclidiennes par
$19$ : on appelle ainsi l’opération consistant à décomposer un entier en un
entier plus petit que $19$ appelé le reste modulo $19$ et un multiple de
$19$ ; le facteur de $19$ dans le multiple est appelé le quotient de la
division euclidienne. Par exemple si on regarde la 12e ligne, $34 = 15 + 1\times19$ on voit que la division euclidienne de $34$ par $19$ donne un reste
égal à $15$ et un quotient égal à $1$.

Il existe plusieurs méthodes pour calculer le quotient et le reste d’une
division euclidienne, par exemple la méthode de la potence bien décrite
sur wikipedia.

Digression : les théorèmes de Fermat et d’Euler

D’une manière générale tous les entiers compris entre $1$ et $18$ ont un ordre
modulo $19$ et cet ordre, s’il n’est pas toujours égal à $18$, divise toujours
$18$. C’est l’une des conséquences du petit théorème de Fermat. De même
tous les entiers compris entre $1$ et $22$ ont un ordre modulo $23$ qui est un
diviseur de $22$ ; par exemple $2$ est d’ordre $11$ modulo $23$, ainsi que $3$
et $4$, mais $5$ est d’ordre $22$.

Par contre lorsque l’on prend un nombre non premier comme $21$, il y a des
entiers qui n’ont pas d’ordre modulo $21$, essayez par exemple avec $3$ : on
peut vérifier qu’aucune puissance de $3$ n’est égale à $1$ modulo $21$.

Le petit théorème de Fermat établit que, lorsque $p$ est premier alors
pour tout entier $a$ compris entre $1$ et $p-1$ on a :
[
a^p-1 \equiv 1\pmod p
]

Autrement dit, $a^{p-1}-1$ est toujours un multiple de $p$, pour tous les
entiers $a=1$, $2$, ..., $p-1$, ce que l’on a vérifié quand $p=19$ et $a=2$,
$3$, $4$ et $7$.

Le petit théorème de Fermat se généralise en le théorème d’Euler qui
traite le cas où $p$ n’est pas premier. Il met alors en jeu la fonction
indicatrice d’Euler
$\varphi(p)$ qui calcule le nombre d’entiers plus petits
que $p$ et premiers avec $p$. Le théorème d’Euler établit que : si $a$ est
premier avec $p$ alors :

[
a^\varphi(p) \equiv 1\pmod p
]

L’exemple où $a=3$ et $p=21$ ci-dessus montre que l’hypothèse « premier avec
$p$ » est indispensable. On pourra vérifier que $\varphi(21) = 12$, c’est à
dire qu’il y a 12 entiers compris entre $1$ et $20$ et premiers avec $21$, et
que pour chacun d’eux on a bien $a^{12} \equiv 1\pmod{21}$.

À noter que quand $p$ est premier alors $\varphi(p)=p-1$ car tous les entiers
compris entre $1$ et $p-1$ sont premiers avec $p$. Le théorème d’Euler
généralise bien celui de Fermat.

Nous savons maintenant ce que sont les multiplicateurs (nombres noirs de la
table) : ce sont les puissances de $2$ modulo $19$. Et la question se pose :
pourquoi les puissances de $2$ et pas celles de $3$ ou $4$...? Ici on peut
remarquer une chose : le dernier multiplicateur est $10$. En fait la dernière
ligne de cette table n’est pas mystérieuse du tout : si on écrit notre nombre
avec un $0$ initial on obtient : [ 10\times 052631578947368421 =
526315789473684210 ] Il n’est pas surprenant que cette multiplication
particulière fasse tourner les chiffres : la multiplication par $10$ a déplacé
le $0$ initial en un $0$ final, tous les autres chiffres se sont décalés vers
la gauche. Nous allons voir que cette explication vaut en fait en un certain
sens pour toutes les lignes de la table.

Revenons à notre dernière ligne, on a vu que $2^{17}=10\pmod{19}$ et que
$2^{18}=1\pmod{19}$ ; comme $2^{18}$ est le double de $2^{17}$ on en déduit que
$2\times10 = 1\pmod{19}$. Si on calcule modulo $19$ alors $2$ et $10$ sont
inverses l’un de l’autre. Autrement dit, toujours en calculant modulo $19$,
multiplier par $2$ revient à diviser par $10$ ! Et donc multiplier par $4$
revient à diviser par $100$, etc. Nos multiplications sont donc des
divisions (modulo $19$) par les puissances successives de $10$. Mais
alors cela signifie que si on renverse le sens de lecture, lisant la table de
bas en haut, on multiplie par les puissances successives de $10$
(toujours modulo $19$) !

Et en effet si on regarde la suite des multiplicateurs de bas en haut : $10$,
$5$, $12$, $6$, etc., on voit qu’il s’agit bien des puissances successives de
$10$ modulo $19$ :

Ce qui nous permet de réécrire exactement la même table que celle de départ,
mais à l’envers :

Cette fois les multiplicateurs sont les puissances successives de $10$ modulo
$19$.

Récapitulons : nous avons compris que les multiplicateurs sont les puissances de
$2$ modulo $19$ ; nous avons également vu que $2$ est l’inverse de $10$ modulo
$19$, si bien qu’en écrivant la table à l’envers on voit que les
multiplicateurs sont les puissances de $10$ modulo $19$. Or multiplier par des
puissances de $10$ comme $10$, $100$, $1000$, etc. revient juste à ajouter des
$0$ à la fin du nombre en décalant tous les chiffres vers la gauche. Ça n’est
pas tout à fait ce que l’on observe ce qui est bien normal puisqu’on ne
multiplie pas par les puissances de $10$ mais par leur reste modulo $19$ ; mais
on sent que l’on s’approche de la solution, en tout cas on commence à avoir une
explication pour l’effet de décalage de la multiplication.

En ce qui concerne les multiplicateurs nous avons un peu fait le tour de la
question ; reste à comprendre d’où sort le nombre $052631578947368421$ que nous
appellerons désormais $N$ pour faire court.

Quel rapport y a-t-il entre $N$ et les 3 autres paramètres que nous avons
rencontrés $2$, $10$ et surtout $19$ ? Ici vient l’idée de compléter la table :
nous avons, dans le désordre, toutes les multiplications de $N$ par les nombres
de $1$ à $18$, il nous manque juste la multiplication par $19$ ; effectuons là
d’un coup de calculette (il faut une bonne calculette, capable de calculer des
nombres à $18$ chiffres, mais les courageux pourront aussi poser la
multiplication et l’effectuer à la main) et hop ! On trouve

\[19\times52631578947368421 = 999999999999999999.\]

Il y a $18$ fois le nombre $9$ dans le résultat. Là aussi ça ne peut être un
hasard si on obtient un résultat aussi singulier. En particulier si on ajoute
$1$ à ce nombre on obtient $1000000000000000000$ (un $1$ suivi de 18 zéros) ce
que l’on peut écrire de manière plus concise comme la 18e puissance de $10$ :
$10^{18}$. Autrement dit on a :

\[19\times52631578947368421 = 10^{18}-1\]

c’est-à-dire $19\times N = 10^{18}-1$ et en divisant par $19$ les deux membres
de cette équation on obtient finalement une expression très simple pour notre
nombre $N$ :

\[ N = \frac{10^{18} - 1}{19}. \]

Généralisation

Si on résume tout ce que l’on vient de voir on a :

  1. les multiplicateurs sont les puissances de $2$ modulo $19$, ou plutôt si on
    les prend dans l’ordre inverse, les puissances de $10$ modulo $19$ ; -# le
    nombre $N$ est $\frac{10^{18}-1}{19}$.

Tout est exprimé en fonction du nombre $19$, cela donne envie d’essayer avec
une autre valeur. Si on tente avec $18$ on voit tout de suite que cela ne
marche pas bien car on ne trouve que $2$ puissances de $10$ modulo $18$ : $10^0 = 1 \pmod{18}$ et $10^1 = 10 \pmod{18}$. Toutes les autres puissances de $10$
sont égales à $10$ modulo $18$ parce que $100 = 5\times 18 + 10$ donc $10^2 = 10\pmod{18}$. En particulier aucune puissance de $10$ n’est égale à $1$ modulo
$18$ ce qui est mauvais signe puisqu’on avait vu dans le cas de $19$ que notre
table s’arrêtait justement lorsque l’on trouvait une puissance de $10$ égale à
$1$ modulo $19$. Tout cela est dû au fait que $18$ est pair, comme $10$.

Essayons un nombre qui n’a pas de lien avec $10$, par exemple $17$. Et là tout
se passe très bien : si on calcule les puissances de $10$ modulo $17$ on obtient
la table :

À la 17e ligne on retombe sur $1$, il y a 16 puissances distinctes modulo
$17$ qui sont donc : $1$, $10$, $15$, $14$, $4$, $6$, $9$, $5$, $16$, $7$, $2$,
$3$, $13$, $11$, $8$ et $12$.

Comme nombre $N$ on choisit cette fois $N=\frac{10^{16} - 1}{17} = 588235294117647$. Je laisse le lecteur calculer les multiplications de ce
nombre $N$ par les puissances de $10$ modulo $17$ ci-dessus et constater que
l’on retrouve le même phénomène de rotation des chiffres.

Avec $16$, $15$ et $14$ les choses ne se passent pas bien, parce que $16$ et
$14$ sont pairs et parce que $15$ est divisible par $5$, comme $10$. Essayons
$13$. Les puissances de $10$ modulo $13$ sont $1$, $10$, $9$, $12$, $3$,
$4$. Remarquons qu’il n’y en a que 6 distinctes car la puissance suivante
(après $4$) est égale à $1$ modulo $13$. Qu’à cela ne tienne, prenons $N = \frac{10^{12} - 1}{13} = 76923076923$ et on voit qu’il se passe encore
quelque chose de curieux : l’écriture de notre nombre $N$ (en lui ajoutant un $0$
initial) est une répétition de la même séquence de 6 chiffres : $076923$. C’est
tout à fait lié au fait que nous n’avons trouvé que 6 puissances de $10$
distinctes, du reste on peut facilement vérifier que $76923 = \frac{10^{6}-1}{13}$. Si maintenant on multiplie ce nombre par les 6 puissances
de $10$ modulo $13$ que l’on a trouvées, on obtient à nouveau le phénomène de
rotation.

Si on applique la même procédure en partant de $7$ on obtiendra l’exemple que
j’ai donné dans l’introduction ; en effet $142857 = \frac{10^{6}-1}{7}$ et $1$,
$3$, $2$, $6$, $4$ et $5$ sont les puissances de $10$ modulo $7$.

Si on essaye $9$ ça ne fonctionne pas très bien parce que $10$ n’a pas de
puissance modulo $9$ puisque $10$ est égal à $1$ modulo $9$.

On peut aussi essayer avec les nombres plus grands que $19$, il faut une bonne
calculette pour le faire mais ça fonctionne très bien. On ne teste pas $20$ car
il est divisible par $10$, mais $21$. Les puissances de $10$ modulo $21$ sont :
$1$, $10$, $16$, $13$, $4$ et $19$. Il n’y en a que 6. Conformément à ce que
l’on a observé dans le cas $13$ cela incite à prendre $N=\frac{10^{6}-1}{21} = 47619$ et on fait bien : il se trouve (mais ça n’est pas un hasard, cf la
digression sur le théorème d’Euler ci-dessus) que $10^6-1 = 999999$ est
divisible par $21$, ce qui ne serait pas le cas si on avait pris
$10^{20}-1$. Une fois de plus on retrouve le même phénomène de rotation des
chiffres en effectuant les multiplications de $N$ par les puissances de $10$
modulo $21$, même si ça n’est pas très spectaculaire vu le petit nombre de
chiffres de $N$.

Avec $23$ on retrouve un exemple assez consistant : $10$ a $22$ puissances
distinctes modulo $23$ : $1$, $10$, $8$, $11$, $18$, $19$, $6$, ... Le nombre $N = \frac{10^{22}-1}{23}$ est $434782608695652173913$ (21 chiffres) et les
multiplications successives de $N$ par les puissances de $10$ modulo $23$
produisent encore l’effet de rotation des chiffres.

On tient maintenant une belle conjecture que l’on peut énoncer ainsi :

Soit $p$ un nombre premier avec $10$. Supposons que $10$ est d’ordre $k$
modulo $p$,c’est-à-dire que qu’il y ait $k$ puissances de $10$ distinctes
modulo $p$ que l’on note $d_1$, ..., $d_k$ (la première, $d_1$, correspond à
$10^0$ et est donc égale à $1$). Soit $N$ le nombre $N = \frac{10^k-1}{p}$. Alors les multiplications successives de $N$ par $d_1$, puis
$d_2$, ..., $d_k$ font tourner les chiffres de l’écriture de $N$ en base
$10$.

Remarquons que l’on pourrait aussi généraliser en changeant de base et poser la
conjecture suivante :

Soit $p$ et $b$ deux nombres premiers entre eux (n’ayant aucun diviseur
commun autre que $1$). Supposons que $b$ est d’ordre $k$ modulo $p$, c’est à
dire qu’il y a $k$ puissances de $b$ distinctes modulo $p$ que l’on note $b_1$,
..., $b_k$ (la première, $b_1$, correspond à $b^0$ et est donc égale à
$1$). Soit $N$ le nombre $N=\frac{b^k-1}{p}$. Alors les multiplications
successives de $N$ par $d_1$, $d_2$, ..., $d_k$ font tourner les chiffres de
l’écriture de $N$ en base $b$.

Cette généralisation est tout aussi vraie, mais pour rester simple on va s’en
tenir à la version en base $10$.

Explication

À ce stade on peut se dire que l’on a fait le tour de la question : on a compris
comment sont faits le nombre $N$ et les multiplicateurs de la table de
multiplication, on peut construire des tables similaires à volonté...

Et pourtant on n’a pas l’assurance que cela marchera toujours. Il est facile de
programmer un ordinateur pour tester des exemples mais on reste limité par le
temps et la capacité des ordinateurs : on ne pourra pas tout tester. Plus
important, même si on a bien progressé, on ne comprend toujours pas bien d’où
vient le phénomène de rotation des chiffres.

Revenons à la définition de $N$ ; dans notre exemple initial on avait $N = \frac{10^{18}-1}{19}$. L’expression $10^{18}-1$ rappelle un exercice amusant
d’arithmétique : on sait que si un nombre à virgule a un développement après la
virgule qui est périodique alors ce nombre est rationnel, c’est-à-dire
que c’est le résultat d’une division entre deux entiers. Le problème est de
trouver deux entiers qui donne ce développement périodique.

Prenons par exemple $x = 0,142857142857...$ qui répète indéfiniment la séquence
de 6 chiffres $1$, $4$, $2$, $8$, $5$ et $7$ ce que l’on écrira
$x=0,\overline{142857}$ pour bien visualiser le développement périodique. Pour
trouver deux entiers tels que leur division redonne $x$, il y a une jolie
astuce : on multiplie $x$ par $10^6$ : $10^6x = 1000000\times x = 142857,\overline{142857}$. L’effet est de déplacer exactement 6 chiffres avant
la virgule, mais après la virgule comme tout s’est décalé de 6 chiffres vers la
gauche (tiens tiens...) le développement périodique est exactement le même ; si
maintenant on soustrait les deux nombres, on fait disparaître ce développement
périodique : $10^6x-x = 142857$. Le résultat est un entier ! Il ne reste plus
qu’à faire un peu d’algèbre, factoriser le membre gauche par $x$ ce qui donne
$(10^6-1)x = 142857$ puis diviser les deux membres par $10^6-1$ et on obtient
$x = \frac{142857}{10^6-1}$. Et voilà, on a écrit $x$ comme fraction de deux
entiers. À noter que cette fraction se simplifie : en fait $10^6-1$,
c’est-à-dire $999999$, est égal à $7\times142857$, si bien que finalement on a
$x = \frac{1}{7}$.

Si on fait le même calcul avec $x=\frac{1}{19}$ on va obtenir $\frac{1}{19} = \frac{N}{10^{18}-1}$ où $N$ est notre nombre cyclique $52631578947368421$ du
début. Noter que cette formule est équivalente à la définition de $N$ vue plus
haut : $N = \frac{10^{18}-1}{19}$ ; il suffit de diviser les deux membres de
cette équation par $10^{18}-1$ pour trouver l’autre.

C’est-à-dire que $N$ est la séquence de chiffres répétée dans le développement
décimal périodique de $\frac{1}{19}$ ! Très exactement on a :

\[ \frac{1}{19} = 0,\overline{052631578947368421}. \]

Digression : longueur du développement périodique

On remarque que le développement périodique de $\frac17$ comporte 6 chiffres
(avant de se répéter) et celui de $\frac1{19}$ comporte 18 chiffres. On
pourrait tenter une généralisation et dire que la longueur de la période du
développement périodique de $\frac1n$ est $n-1$ pour tout entier $n$ non nul
mais ceci est faux.

En fait on connait déjà la réponse : la longueur du développement périodique est
le nombre de restes distincts que l’on obtient par les divisions euclidiennes
successives des puissances de $10$ par $n$, ce que l’on a appelé l’ordre de
$10$ modulo $n$. Si on se reporte à la digression sur les théorèmes de Fermat
et Euler on verra que ce nombre divise toujours l’indicatrice d’Euler
$\varphi(n)$. En particulier si $n$ est un nombre premier alors $\varphi(n) = n-1$, donc l’ordre de $10$ modulo $n$ divise $n-1$ ce qui explique (en partie)
pourquoi le développement périodique de $\frac17$ est de longueur 6 et celui de
$\frac1{19}$ de longueur 18.

Un dernier mot sur ce point : l’ordre de $10$ modulo $n$ divise $\varphi(n)$
mais ne lui est pas forcément égal. Ce qui arrive par exemple si on prend
$n=11$ ; on a alors $\varphi(11) = 10$, mais l’ordre de $10$ modulo $11$ est $2$
car $10^2 = 100 = 1 + 9\times11 = 1\pmod{11}$. Du reste $\frac1{11} = 0,\overline{09}$ a bien un développement de longueur 2.

Multiplions maintenant les deux membres de l’équation par $10$. Cela nous donne :

\[ \frac{10}{19} = 0,526315789473684210526315789473684210\dots = 0,\overline{526315789473684210}. \]

et on voit apparaître le phénomène de rotation des chiffres : les chiffres du
développement périodique se sont tous décalés d’un cran vers la
gauche. Multiplions par $100$ ce qui donne :

\[ \frac{100}{19} = 5,\overline{263157894736842105}. \]

Il y a un $5$ qui est sorti à gauche de la virgule, sinon les chiffres du
développement décimal se sont encore décalés vers la gauche. Il se trouve que
$100 = 5 + 5\times 19$ ; si on divise les deux membres de cette équation par
$19$ on obtient :

\[ \frac{100}{19} = \frac{5}{19} + 5 \]

d’où finalement :

\[ \frac{5}{19} = 0,\overline{263157894736842105}. \]

Recommençons avec $1000$ pour être sûr de bien comprendre. On a :

\[ \frac{1000}{19} = 52,\overline{631578947368421052} \]

D’autre part $1000 = 12 + 52\times19$, d’où :

\[ \frac{12}{19} = 0,\overline{631578947368421052}. \]

Plus généralement on comprend qu’un nombre $a$ inférieur à $19$ comme par
exemple $12$ peut se voir comme le reste modulo $19$ d’une puissance $10^k$ de
$10$, ici $1000$. Lorsque l’on multiplie la fraction $1/19$ par $a$ on reste
inférieur à $1$ car $a$ est plus petit que $19$ mais on fait tourner les
chiffres du développement décimal périodique de la fraction de $k$ crans vers
la gauche puisque ces chiffres sont les mêmes pour les fractions $a/19$ et
$10^k/19$.

Maintenant si on applique notre astuce au nombre $x = 12/19 = 0,\overline{631578947368421052}$ : on le multiplie par $10^{18}$, on soustrait
$x$, et on obtient finalement :
\[ x = \frac{631578947368421052}{10^{18}-1} \]

Mais on sait également que $x = 12\times1/19$ et que

\[ \frac{1}{19} = \frac{52631578947368421}{10^{18}-1}. \]

donc

\[ x = \frac{12}{19} = \frac{12\times52631578947368421}{10^{18}-1} \]

et pour finir :
\[ 12\times52631578947368421 = 631578947368421052. \]

On a retrouvé l’une des lignes de notre table de multiplication de départ mais
maintenant celle-ci n’a plus rien de mystérieux : on multiplie le reste modulo
$19$ de $1000$ par le développement décimal périodique de $1/19$ ce qui a pour
effet de faire tourner les chiffres de ce développement décimal de 3 crans vers
la gauche.

Conclusion

Le même traitement est applicable à n’importe quelle ligne de la
table de multiplication, et se généralise également pour d’autres nombres que
$19$. Ainsi on a complètement élucidé le mystère du départ : en fait l’entier
mystérieux $52631578947368421$ n’est autre que le développement décimal de
$1/19$ et les opérations que l’on effectue sont des multiplications par des
puissances de $10$ modulo $19$, rien d’étonnant à ce qu’elles fassent tourner
les chiffres.

Ainsi juste en changeant de point de vue, en voyant notre mystérieux nombre $N$
comme un développement décimal périodique, et nos multiplicateurs comme des
puissances de $10$ on a transformé un phénomène étrange en quelque chose de
finalement très simple : il est tout à fait normal que la multiplication par
$10$ décale les chiffres du développement décimal. Tout se passe comme si on
était passé dans les coulisses d’où l’on aperçoit pleinement le truc du
prestidigitateur sauf qu’ici la magie réside justement dans cette
simplification qui élucide tout.

Post-scriptum :

Un grand merci à Pierre Arnoux, qui m’a d’abord soumis cette petite énigme
puis encouragé à proposer ce sujet d’article à IDM, à Serge Cantat qui fut le
premier relecteur de cet article et m’a bien aidé à en supprimer de nombreuses
maladresses, à Jérôme qui m’a signalé de nombreuses coquilles, imprécisions et
points obscurs à éclaircir. Et enfin, et surtout, à toute l’équipe de rédaction
de IDM, notamment Maï Sauvageot et Carole Gaboriau, qui font vivre ce site
d’exception.

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Pour citer cet article :

Laurent Régnier — «Des nombres qui tournent» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - Extrait du livre « Alex et Zoé 1 », Lincoln School.

Commentaire sur l'article

  • Des nombres qui tournent

    le 6 février à 19:23, par Jérôme Germoni

    Ce qui distingue $7$ et $19$ de $13$ ou $9$, par exemple, c’est que la longueur de la période du développement décimal est maximale ($6=7-1$ et $18=19-1$ pour les deux premiers, $6=(13-1)/2$ et $2=(9-1)/4$ pour les deux autres). (Voir l’encart dans l’article.) Est-ce qu’il existe une infinité de tels nombres premiers ? La conjecture d’Artin sur les racines primitives (1927) qui prédit que c’est le cas pour « environ 37 % des nombres premiers ».

    Répondre à ce message
  • Des nombres qui tournent

    le 16 février à 11:46, par Arthur Dent

    Je propose également de consulter la brochure de l’Irem de Lille :
    Itinéraire d’un calcul annoncé. Quelques activités de la seconde au premier cycle universitaire.
    et en particulier :
    http://gery.huvent.pagesperso-orange.fr/irem/ordre.pdf

    Répondre à ce message
    • Des nombres qui tournent

      le 13 mars à 14:48, par Jérôme Germoni

      C’est moi ou il faudrait remplacer $10p-1$ par $10^p-1$ plein de fois ?

      Répondre à ce message
      • Des nombres qui tournent

        le 13 mars à 16:58, par Laurent Régnier

        Ça doit être un problème de rendu dans le navigateur : je ne vois rien d’anormal. Où faudrait il corriger ?

        Répondre à ce message

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