Des sommets, des creux, des cols et une théorie indomptable

Piste bleue Le 28 janvier 2018  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires

Cet article est une invitation à la théorie de Morse dont une présentation beaucoup plus avancée est proposée par Patrick Popescu-Pampu dans son article en deux volets intitulé De la topographie à la géométrie (partie 1 et partie 2). Le point de départ de cet article est une rencontre fortuite (ou presque 😉) avec quatre collégiens dans la bibliothèque de l’Institut Henri Poincaré. Nous espérons que cette présentation volontairement simpliste donnera envie de lire en détail les deux très beaux articles écrits par Patrick Popescu-Pampu.

Printemps 2017. La bibliothèque de l’Institut Henri Poincaré (IHP) à Paris accueille pendant quelques semaines l’exposition Esthétopies [1] qui propose, à travers un parcours immersif, « un ensemble d’installations sonores et visuelles offrant des explorations sensibles dans des espaces mathématiques imaginaires encore incompris ». C’est à cette occasion que j’ai rencontré Maylis, Antoine, Rémi et Juliette en train de déambuler dans la bibliothèque. Je n’ai pu m’empêcher de leur proposer un petit problème auquel réfléchir ensemble.

Lorsqu’on dessine une courbe fermée, que ce soit sur une feuille de papier ou avec son doigt dans l’espace, on constate que la courbe présente un certain nombre de bosses et de creux. On devrait commencer par définir précisément ce qu’on entend par là mais nous n’en aurons pas vraiment besoin : notre intuition nous suffira et seuls les esprits chagrins nous le reprocheront. En tout cas, nous pouvons toutes et tous faire la remarque simple suivante : le dessin présente toujours autant de bosses que de creux, comme on peut le vérifier sur les dessins de courbes fermées ci-dessous, où l’on a noté en bleu les bosses et en vert les creux :

Exercice 1. Faites l’expérience à votre tour, dessinez quelques courbes fermées sur une feuille de papier ou avec votre doigt dans l’espace, voire avec l’aide d’une imprimante 3D comme illustré dans cet article. Vérifiez que le nombre de bosses est toujours égal au nombre de creux.

Exercice 2. Partez d’une courbe fermée et déformez-la vers une autre courbe fermée. Vérifiez que l’égalité entre le nombre de bosses et le nombre de creux reste satisfaite tout au long de la déformation. Remarquez qu’une bosse n’apparaît (ou ne disparaît) qu’à la condition qu’un creux apparaisse (ou disparaisse) au même instant en un autre point de la courbe.

Exemple d’une déformation d’une courbe fermée

Le nombre de bosses reste toujours égal au nombre de creux.

Qu’en est-il alors si, au lieu de partir d’une courbe fermée, nous partons d’une boule de pâte à modeler ? Là encore, on voit des bosses et des creux. Mais en déformant la pâte à modeler, ô surprise, on voit apparaître ce qui semble être de nouveaux points remarquables. Même si l’on n’est pas en mesure de dire précisément ce qui caractérise ces nouveaux points, on sent bien que ce ne sont ni des bosses, ni des creux, mais quelque chose d’intermédiaire pourrait-on dire... Ces nouveaux points, nous les appellerons des points selles ou des points cols, selon notre humeur.

Ces différentes remarques sur les courbes fermées puis les surfaces nous invitent à nous poser la question suivante.

Question. Existe-t-il une relation simple entre les nombres de bosses, de creux et de cols sur la surface d’une boule de pâte à modeler ?

C’est l’énigme à laquelle nous avons réfléchi avec mes quatre nouveaux amis. À vos crayons, papiers et pâtes à modeler, expérimentez les maths !

Dans la vidéo suivante, nous proposons quelques éléments d’explication et de réponse à la question ci-dessus. Mais faites vos exercices d’abord ✍️ avant de la regarder 👀 ou de lire la suite de cet article...

Les bosses et les creux alternent comme le jour et la nuit

Quand on observe attentivement les dessins de courbes fermées ci-dessus, on remarque que les bosses et les creux apparaissent les uns après les autres en alternant. Autrement dit, si on ne fait pas d’aller-retour lorsque l’on parcourt la courbe, jamais deux bosses ou deux creux ne viennent à se succéder. Corollaire : puisque la courbe est fermée, on en déduit que le nombre de bosses est égal au nombre de creux [2].

Dans la suite, nous allons essayer de comprendre d’où vient l’alternance des bosses et des creux. Mais avant cela, les esprits taquins auront peut-être remarqué que si on prend une courbe fermée dessinée sur une feuille et qu’on retourne la feuille pour échanger le haut avec le bas [3], alors les bosses et les creux sont échangés. En fait, pour parler de bosses et de creux comme nous le faisons depuis le début, c’est que nous ne regardons pas seulement une courbe fermée mais également une fonction « hauteur » [4].

Imaginons désormais un point mobile qui se promène le long de la courbe fermée comme ci-dessus. À chaque instant, on peut lire la hauteur de ce point et ainsi tracer le graphe de cette fonction hauteur. On obtient quelque chose comme ceci :

On peut tout à fait imaginer qu’un tel graphe schématise la coupe verticale d’une chaîne de montagnes. Dans ce cas, le graphe dessiné représente l’altitude du terrain.

Quoi qu’il en soit, on peut faire deux remarques quant à l’allure qualitative d’un tel graphe.

  • On voit apparaître sur ce dessin des points remarquables qui correspondent aux sommets des montagnes et aux creux entre deux montagnes. En ces points-là, la fonction altitude est localement maximale ou minimale : concrètement, cela signifie que tout point dans le voisinage d’un sommet (respectivement un creux) est d’altitude inférieure (respectivement supérieure) à ce sommet [5]. Les sommets et les creux des montagnes coïncident exactement avec ce que nous avons appelé bosses et creux jusque-là. Dans l’exemple ci-dessus, on compte trois bosses et trois creux.
  • Une deuxième chose importante à noter est l’allure qualitative des graphes au voisinage des points remarquables ; si c’est un creux, l’allure du graphe est la même que sur la figure de gauche ci-dessous, et si c’est une bosse, l’allure du graphe est la même que celle de la figure de droite. Ces graphes sont célèbres en mathématiques, ce sont des arcs de parabole.

Juste avant d’atteindre un sommet, un marcheur est en montée. Et juste après avoir passé un sommet, il se retrouve en descente. Pour les creux, c’est exactement l’inverse. Lorsque le marcheur monte, son altitude croît, et lorsqu’il descend, son altitude décroît. Mais dire que son altitude croît (respectivement décroît), c’est dire que la variation d’altitude par rapport au temps est positive (respectivement négative). La variation d’altitude par rapport au temps est donc, à chaque instant, un nombre qui indique si le marcheur est en montée ou en descente, selon que ce nombre est positif ou négatif. Cette variation d’altitude par rapport au temps, qu’on appelle fonction dérivée de l’altitude n’a pas d’autres choix que d’être tour à tour positive puis négative en s’annulant entre deux situations. L’alternance des signes de la fonction dérivée, c’est la traduction mathématique de l’alternance des bosses et des creux.

Pour atteindre un sommet, il faut parfois passer par un col

Lorsqu’on déplie une carte topographique, on y voit des lignes de niveau qui correspondent aux lignes d’altitude constante, comme l’illustre le logo de cet article. Très pratique pour le randonneur, la disposition de ces lignes n’en est pas moins intéressante pour le topologue.

Comment dessine-t-on de telles cartes ? Prenons l’exemple d’un paysage fictif avec deux bosses comme ci-dessous. Coupons ce paysage en tranches par des plans horizontaux de sorte que la différence d’altitude entre deux tranches soit toujours la même. Ainsi, si les lignes de niveau se resserrent sur la carte topographique, c’est une indication que le terrain devient plus escarpé. Projetons le tout verticalement sur un plan. On obtient une carte topographique — du grec topos (lieu) et graphein (dessiner).

Si on prend un point au hasard dans le paysage, on note que la disposition des lignes de niveau est formée de lignes parallèles les unes aux autres. Un tel point est dit régulier. Mais on remarque inévitablement sur le dessin ci-dessus la présence de points remarquables dans le paysage. Vous l’aurez deviné, sans doute, ils correspondent aux sommets (bosses), aux cuvettes (creux) et aux cols dans le paysage montagneux.

Résumons. Pour les courbes, nous avons vu qu’il y a deux types de points remarquables, les bosses et les creux. De plus, si la courbe est fermée, il y a autant de bosses que de creux. Pour les surfaces, nous découvrons maintenant qu’il y a trois types de points remarquables, les bosses, les creux et les cols. D’où la question que nous nous sommes posée avec Maylis, Antoine, Rémi et Juliette : existe-t-il une relation simple entre les nombres de bosses, de creux et de cols sur la surface d’une boule de pâte à modeler ?

Et la réponse que nous avons trouvée, à force d’expérimentations à base de pâte à modeler et de petits dessins, c’est que oui, il y a une relation simple (le symbole $\#$ signifie « nombre de ») :
\[ \#\,\text{bosses} - \#\,\text{cols} + \#\,\text{creux} = 2.\]

Remarque importante. Sur le paysage fictif ci-dessus, on compte deux sommets et un col... Hum... 🤔 C’est là qu’il convient de faire attention. La formule ci-dessus n’est valable que pour une surface fermée, comme la surface d’un ballon de rugby ou d’un morceau de pâte à modeler. Si on « ouvre » la surface, alors le membre de gauche de la formule ci-dessus n’est plus égal à 2 mais à 1. Vous pouvez vous amuser à le vérifier en dessinant plein de paysages montagneux.

Les formules suivantes, que ce soit celle pour une courbe fermée ($\#\,\text{bosses} - \#\,\text{creux} = 0$), celle pour une surface fermée ($\#\,\text{bosses} - \#\,\text{cols} + \#\,\text{creux} = 2$) ou celle pour une surface ouverte ($\#\,\text{bosses} - \#\,\text{cols} + \#\,\text{creux} = 1$) sont absolument remarquables quand on y pense puisqu’elles ne dépendent que de la topologie de l’objet étudié (courbe fermée, surface fermée ou surface ouverte) et pas de la fonction « hauteur ». Pourtant les bosses, les creux et les cols sont des propriétés de la fonction hauteur ! On peut donc fabriquer des paysages fictifs avec autant de sommets et de creux par exemple, mais on ne peut pas fabriquer de paysages fictifs avec autant de sommets, de creux et de cols que l’on veut !

Deux promeneurs au bord d’un lac ne font plus qu’un sur une bouée

Dans la liste des surfaces fermées [6], après la sphère et toutes les déformations imaginables de celle-ci, vient le tore, c’est-à-dire la surface fermée aux allures de bouée. Cette fois-ci, la relation entre nombre de sommets, de creux et de cols s’écrit
\[ \#\,\text{bosses} - \#\,\text{cols} + \#\,\text{creux} = 0.\]

L’animation suivante illustre une déformation d’un tore au cours de laquelle apparaissent simultanément un nouveau sommet et un nouveau col. En effet, au début de l’animation, nous avons un sommet, un creux et deux cols, puis nous passons à deux sommets, un creux et trois cols.

« Cela dit, ça n’arrive pas souvent dans la vie de déformer des bouées. »

Dans cette dernière partie, nous allons présenter un exemple pour essayer de répondre à cette remarque légitime de Rémi.

Imaginons un promeneur qui fait le tour d’un lac. On peut alors penser au promeneur comme à un point mobile sur un cercle. Il s’agit a priori d’un cercle déformé car le bord d’un lac en général n’est pas un cercle parfait. Mais, pour nos considérations topologiques, un cercle est un cercle, qu’il soit bien rond et régulier... ou tout biscornu.

Rajoutons à la situation précédente un deuxième promeneur qui chemine autour d’un autre lac. Les deux promeneurs interagissent via leurs téléphones et nous avons donc envie de considérer, non pas chaque promeneur indépendamment l’un de l’autre, mais le couple de promeneurs. Pour cette même raison, l’« espace » dans lequel évolue le couple de promeneurs n’est plus deux cercles indépendants, mais un espace « abstrait » qui est le produit de deux cercles : un tel espace est un tore, un espace en forme de bouée. Illustrons tout ceci en images.

Les dernières images de l’animation précédente montrent le tore en mauve et les bords des deux lacs en vert ; le couple de promeneurs est matérialisé par le point orange mobile. Chaque position de ce point mobile sur le tore correspond à la donnée des positions de chacun des promeneurs sur son lac.

Grâce à leurs téléphones, les promeneurs peuvent calculer à chaque instant la distance qui les sépare l’un de l’autre à vol d’oiseau. Cette fonction ne dépend que des positions des promeneurs sur leurs lacs, pas des façons qui leur ont permis d’arriver à ces positions. Ainsi nous construisons une fonction réelle sur le tore et nous pouvons essayer de la dessiner. C’est ce qui est illustré dans l’animation suivante.

Que voit-on précisément sur cette vidéo ? Dans la première partie, nous voyons un point mobile sur un tore et la fonction hauteur de ce point. Ceci décrit exactement notre situation : le point correspond au couple de promeneurs et la fonction hauteur à leur distance à vol d’oiseau. En rajoutant une bosse au tore, on illustre la situation où les bords des lacs ne sont pas bien ronds.

Les bosses, les creux et les cols qui apparaissent sur la bouée déformée de l’animation correspondent à des situations précises pour nos promeneurs. Précisons lesquelles :

  • un sommet correspond à une position des promeneurs telle que s’ils bougent un peu, leur distance à vol d’oiseau diminue forcément ;
  • un creux, c’est la situation opposée : si les promeneurs s’éloignent légèrement de leurs positions, leur distance augmente ;
  • un col est une situation un peu plus intéressante car dissymétrique : si l’un des promeneurs bouge et que l’autre reste à sa position, leur distance augmente, alors que si le premier promeneur reste à sa position et que c’est l’autre qui bouge, alors leur distance diminue.

Le fait important est que l’équation entre les nombres de sommets, creux et cols vue précédemment reste vérifiée. Quels que soient les travaux de génie civil que vous entreprendrez pour déformer les bords des lacs, travaux qui auront pour conséquence de complètement modifier la fonction distance à vol d’oiseau, l’équation précédente restera, elle, inchangée !

Avec cet exemple, nous espérons avoir convaincu les esprits sceptiques que les bouées déformées, ce n’est pas une situation si exceptionnelle que cela... 😃

Pour aller plus loin

Derrière nos expérimentations avec des morceaux de ficelle et de la pâte à modeler, se cache en fait toute une théorie absolument captivante que l’on appelle communément « théorie de Morse ». À ce propos, citons les premiers mots qu’Henri Paul de Saint-Gervais écrit dans son introduction à cette théorie à l’occasion de son travail récent sur l’Analysis situs.

Étudier la topologie d’une variété différentielle en analysant les lignes de niveau d’une fonction définie sur cette variété, c’est tout l’objet de la « théorie de Morse », une théorie nommée en l’honneur du mathématicien américain Marston Morse et qui regroupe un ensemble de techniques et de méthodes essentiellement mises en place durant la seconde moitié du XXème siècle. Les idées clés sont néanmoins déjà présentes chez Poincaré, et sont à la base de la construction de sa fameuse sphère d’homologie dans le cinquième complément à l’Analysis situs.

Pour aller plus loin, nous conseillons vivement la lecture des deux articles de Patrick Popescu-Pampu cités en introduction de ce texte, ainsi que la présentation visuelle de la théorie de Morse proposée par Henri Paul de Saint-Gervais.

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Post-scriptum :

Tous les dessins aux crayons de couleur ont été soigneusement réalisés par Patrick Popescu-Pampu que je remercie chaleureusement. Un grand merci également à Jos Leys pour les animations 3D 🙏.

Merci également aux relecteurs Jérôme Germoni et fpiou qui ont soigneusement relu cet article et m’ont fait des remarques très utiles.

Vous pouvez retrouver les deux vidéos de cet article sur la page YouTube du GdS AuDiMATH, ainsi que de nombreuses autres vidéos dans la rubrique du même nom. Merci à AuDiMATH pour son soutien et aux collègues pour leurs encouragements.

Article édité par Christian Mercat

Notes

[1Exposition signée Pierre Berger, Jimena Royo-Letelier, Vincent Martial, Pierre-Yves Fave, Sergio Krakowski.

[2C’est le même argument qui affirme que la clôture d’un champ, sous réserve qu’elle soit bien fermée, contient autant de poteaux que de morceaux de fil barbelé.

[3Si vous savez faire le poirier, vous pouvez partir d’une courbe dessinée dans l’espace 🤣.

[4Pour définir cette fonction « hauteur », nous devons choisir un point de référence, par exemple le point le plus bas du dessin.

[5En ces points, la fonction dérivée s’annule et géométriquement cela se traduit par des tangentes horizontales.

[6Une classification des surfaces fermées par la théorie de Morse est proposée dans ce cours filmé en trois parties. Ces vidéos sont extraites du travail d’Henri Paul de Saint-Gervais autour de l’Analysis situs.

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Des sommets, des creux, des cols et une théorie indomptable» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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