Design et formes optimales (I)

Contexte

Piste verte Le 21 décembre 2009  - Ecrit par  Grégoire Allaire, François Jouve Voir les commentaires (4)

Cet article en trois parties est consacré à des avancées récentes des mathématiques et du calcul scientifique dans le domaine de l’optimisation de formes ou « optimal design ». Ces progrès ont eu des répercussions immédiates dans l’industrie (aéronautique, automobile, génie civil) en mettant à disposition des ingénieurs des logiciels d’optimisation « automatique » de design d’objets ou de structures.

Nos sociétés modernes sont éprises de « design », ce mot anglais intraduisible
en français (le dictionnaire propose le peu convaincant « esthétique
industrielle » ou « stylisme »), qui traduit notre volonté d’allier le beau à l’utile.
Tout le monde connaît des « designers » célèbres comme
Pininfarina
pour l’automobile,
Starck
pour les objets de la vie quotidienne ou
Le Corbusier
pour l’architecture.
On n’imagine plus tous les secteurs économiques cités ci-dessus, et
bien d’autres encore, sans ce superflu essentiel ou ce petit supplément
d’âme (d’autres diraient ce mercantilisme visuel) !
Bien moins connu du grand public sont les hommes de l’ombre
qui s’adonnent à une activité voisine mais bien distincte qui est
celle de la conception optimale ou de l’optimisation de formes
(« optimal design » en anglais). Loin de toute préoccupation
esthétique ou « marketing » ces scientifiques, ingénieurs ou chercheurs,
veulent améliorer les formes des objets industriels qu’ils conçoivent
(structure mécanique, profil aérodynamique, antenne, composants
électroniques, etc.) afin d’en augmenter des propriétés physiques
essentielles (solidité, efficacité, durabilité). Malheureusement
dans ce monde imparfait mais bien réel, il y a des contraintes
qu’on ne peut ignorer : le coût, la faisabilité industrielle,
mais aussi le poids ou le volume des structures, ou bien tout
autre propriété physique importante. Par exemple, il parait
clair que plus un objet est volumineux et lourd, plus il est solide
(et réciproquement) : ainsi la solidité et le poids d’une
structure mécanique sont des objectifs contradictoires.
Concrètement, un avion doit être solide mais il doit tout de
même voler en consommant le moins possible de carburant.
L’optimisation d’une fonction, dite objectif, sous des
contraintes devant être satisfaites par la solution
« optimale » est un problème classique en mathématiques.
Il est donc normal que la question des formes optimales
touche ainsi aux mathématiques.

Mais où sont précisément les mathématiques dans tout cela ? Eh bien,
grâce au formidable développement de la puissance de calcul des
ordinateurs, elles sont devenues essentielles dans l’automatisation
de ce processus d’optimisation. En effet, la méthode traditionnelle
d’optimisation était de procéder par essais et erreurs, suivant
le savoir faire et l’intuition de l’ingénieur : on essaye une forme
dont on calcule la performance puis, en fonction de cette dernière,
on la modifie pour essayer de l’améliorer et on recommence jusqu’à
obtention d’une forme satisfaisante (à défaut d’être optimale).
Cette façon de faire « manuelle »
est très lente, coûteuse et imprécise. De plus en plus, elle est
remplacée par des logiciels d’optimisation numérique qui représentent
la forme par un nombre limité de paramètres descriptifs
(généralement des points de contrôle sur les bords), et l’améliorent
itérativement en faisant varier ces paramètres de manière
automatique. C’est dans ces logiciels que se cachent les
mathématiques, parfois anciennes, mais plus souvent
extrêmement « pointues » et issues d’une recherche contemporaine.
Nous allons essayer de décrire ce type d’approche
dans le cadre de la mécanique du solide et de présenter des
développements récents sur l’optimisation géométrique et
topologique de formes qui ont un impact considérable dans
l’industrie, notamment automobile et aéronautique.

Le contexte : calcul des structures

Parmi les nombreux domaines d’application des techniques d’optimisation
de formes nous choisissons celui des structures mécaniques, d’une part
car les progrès récents de l’optimisation de formes y ont été
spectaculaires, et d’autre part car nous connaissons bien ce domaine...
Expliquons rapidement les concepts fondamentaux de la mécanique
des solides. Une structure mécanique est donc un objet solide qui,
soumis à des forces extérieures (appelées aussi chargement) et contraint
à certaines conditions aux limites (une partie de son bord peut être
encastrée, libre ou bien chargée), se déforme pour atteindre une configuration
d’équilibre (les forces extérieures sont exactement compensées par
les efforts ou contraintes internes). Cette déformation peut être
réversible ou non : lorsqu’on annule les forces extérieures, la
structure revient dans sa forme initiale ou non (penser à une
barre de métal que l’on tord : si c’est de l’acier, elle reviendra
à sa forme initiale, si c’est du fer, elle restera tordue).
Pour simplifier la présentation nous nous limitons à des
déformations réversibles et plus précisément élastiques.
On peut aussi faire l’hypothèse de petites déformations et
petits déplacements, ce qui conduit au modèle des équations de
Lamé
ou de l’élasticité linéarisée (voir bloc dépliable 1). Le but d’un
ingénieur en calcul des structures est ainsi de résoudre ces équations
pour prédire le comportement d’une structure mécanique en fonction du
chargement effectué. Plus précisément, il doit calculer son déplacement,
sa déformation et ses contraintes internes afin de vérifier, par exemple,
que les contraintes n’atteignent pas un seuil maximal (dépendant de la
nature du matériau) à partir duquel apparaissent des phénomènes
irréversibles comme la plasticité, l’endommagement ou la fissuration
qui peuvent conduire à la ruine de la structure.

1. Équations de Lamé ou de l’élasticité linéarisée

Ces équations décrivent la réponse statique et élastique d’une
structure mécanique soumise à des efforts extérieurs dans
l’hypothèse de petits déplacements et petites déformations.
L’inconnue est une fonction vectorielle (un champ de vecteurs)
$\vec u$, appelée déplacement, telle que tout point $\vec x$
de la structure au repos $\Omega$ se déplace en une nouvelle
position $\vec{x}+\vec{u}(\vec{x})$ sous l’effet des forces appliquées,
notées $\vec{f}$.

Définition du déplacement élastique

Le déplacement élastique $\vec{u}(\vec{x})$ permet de passer de la configuration au repos à la configuration déformée d’une structure soumise à des forces.

On associe à ce déplacement le tenseur des déformations,
noté $e(\vec{u})$, qui est une matrice symétrique, défini
comme le gradient symétrisé du déplacement
\[ e(\vec{u}) = \frac12 \Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big)_{1\leq i,j\leq3} , \]
où $(u_1,u_2,u_3)$ sont les composantes du vecteur $\vec{u}$
et $(x_1,x_2,x_3)$ celles du point $\vec{x}$.
On définit alors le tenseur des contraintes $\sigma$ à l’aide
de la loi de
Hooke
qui, pour les matériaux isotropes, dépend
de deux paramètres (fonction du type de matériau) appelés
modules de Lamé $\mu$ et $\lambda$
\[ \sigma = 2\mu e(\vec{u}) + \lambda {\rm Tr}\big(e(\vec{u})\big) {\rm Id} \]
où ${\rm Id}$ est la matrice identité. On écrit alors la loi de
bilan ou d’équilibre des forces
\[ -\mbox{div}\,\sigma = \vec{f} \]
que l’on complète par des conditions aux limites qui indiquent
quelle partie du bord de la structure $\Omega$ est fixée ou
bien est libre.

A part dans quelques cas d’école, exceptionnellement simples, il
n’est pas possible de calculer analytiquement (« à la main ») les
solutions de ces équations de Lamé. L’ingénieur doit donc utiliser
un logiciel de calcul numérique sur ordinateur qui lui fournit une
solution approchée à la précision demandée (plus grande est la
précision voulue, plus grand est le coût du calcul en termes de
mémoire requise et de temps d’exécution). L’immense majorité de
ces logiciels de calcul utilise la méthode dite des éléments finis.
Le principe de cette méthode est de découper la structure en petits
morceaux (typiquement, des triangles dans le plan ou des tétraèdres
dans l’espace) et de supposer que la solution approchée est d’un
type très simple sur chacun de ses morceaux (par exemple, affine).
La méthode des éléments finis permet ainsi de calculer une solution
approchée des équations de Lamé à l’aide d’un ordinateur (voir bloc dépliable 2).

2. Méthode des éléments finis

Le principe de la méthode des éléments finis est de découper le
domaine de calcul en petits morceaux (par exemple des triangles
ou des rectangles dans le plan, des tétraèdres ou des prismes
à base triangulaire ou rectangulaire dans l’espace à trois dimensions).
Ce découpage en morceaux de la structure est appelée maillage,
voir la figure ci-dessous.
Cette idée est reprise aussi dans d’autres domaines comme la CAO
(conception assistée par ordinateur) ou l’animation graphique, et
chacun a déjà pu voir dans des publicités pour des objets technologiques
ces images facettées d’un monde virtuel étrange et fascinant !

Deux exemples de maillage

Maillage triangulaire plan à gauche, maillage quadrangulaire volumique à droite

Une fois construit un maillage on lui associe une base d’un espace de
fonctions parmi lesquelles on va chercher une solution approchée de
l’équation à résoudre. Il existe de nombreux choix possibles de telles
bases d’éléments finis. La base la plus simple, pour un maillage
triangulaire, consiste à définir des fonctions qui sont globalement continues
sur le domaine et affine par morceaux sur chaque triangle. On calcule
alors numériquement une solution approchée de l’équation à résoudre
qui est, en quelque sorte, une projection de la solution exacte sur cette
base d’éléments finis.

Fonction de base en éléments finis

Fonction de base de la méthode P1 des éléments finis qui vaut 1 sur un noeud du maillage et 0 sur tous les autres et qui est affine par triangle, globalement continue.

Historiquement, les premières prémices de la méthode des éléments finis
ont été proposées par le mathématicien
Richard Courant
(sans utiliser cette
dénomination) dans les années 1940, mais ce sont les mécaniciens qui ont
développé, popularisé, et démontré l’efficacité de cette méthode dans
les années 1950-1960 (en plus de lui donner son nom actuel).
Après ces premiers succès pratiques, les mathématiciens ont alors
considérablement développé les fondations théoriques de la méthode
et proposé des améliorations significatives. C’est en tout cas un bel exemple
de coopération inter-disciplinaire où les efforts conjugués des mécaniciens
et des mathématiciens appliqués ont fait faire des progrès immenses à la
simulation numérique (sans négliger non plus les avancées encore plus
spectaculaires de la puissance des ordinateurs).

Pour en revenir à notre ingénieur en calcul des structures, une
quantité importante qu’il peut obtenir numériquement, et dont la
valeur peut lui permettre de décider si la structure est solide
ou non, est la compliance ou complaisance, définie comme le
travail des forces extérieures. Plus précisément, il s’agit de
l’intégrale des forces multipliées par le déplacement et un théorème
classique (attribué à Thomson) affirme qu’elle est aussi égale à
l’énergie élastique de déformation stockée dans la structure.
Concrètement, plus une structure « travaille », c’est-à-dire plus
grande est la compliance, plus elle est souple. Au contraire,
plus petite est la compliance, plus rigide est la structure.
Dans la suite nous allons donc nous servir de la compliance
comme une mesure de la rigidité globale d’une structure
mécanique.

Article édité par Étienne Ghys

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Pour citer cet article :

Grégoire Allaire, François Jouve — «Design et formes optimales (I)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Design et formes optimales (I)

    le 22 décembre 2009 à 16:47, par Pascal de THIERSANT

    Bonjour,

    Cette première partie pose de façon simple la problématique d’optimisation des structures, en fonction de performances prédéfinies.

    Bravo aux scientifiques qui prennent le temps de vulgariser (ce qui n’a rien de vulgaire, bien au contraire) . Toute la noblesse est dans l’art de mettre à la portée du plus grand nombre ce qui n’est souvent uniquement partagé que par des esprits éclairés.

    Répondre à ce message
    • Design et formes optimales (I)

      le 22 décembre 2009 à 17:30, par François Jouve

      Merci pour ces encouragements

      Répondre à ce message
  • Design et formes optimales (I)

    le 24 décembre 2009 à 15:54, par flandre

    très intéressant. pouvez vous préciser un peu plus ce qu’est une console ?

    Répondre à ce message
    • Design et formes optimales (I)

      le 24 décembre 2009 à 16:20, par Grégoire Allaire

      Console est la traduction usuelle, mais probablement imparfaite, du mot anglais « cantilever ». Il désigne un assemblage de barres ou de poutres qui transmet une force appliquée à une de ses extrémités à un mur de soutien situé sur une autre extrémité. L’optimisation d’une telle « console » est un cas test, académique, extrêmement populaire dans le domaine de l’optimisation de structures. Vous pouvez en voir des exemples dans les parties (II) et (III) de l’article.
      Bien que ce cas test soit « académique » on parle aussi de « ponts cantilever » qui sont bien réels eux !
      Voir :
      http://fr.wikipedia.org/wiki/Pont_à_poutres_cantilever

      Répondre à ce message

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