Optimisation géométrique : la méthode d’Hadamard

Le problème typique de l’optimisation de forme en
mécanique du solide est de trouver la forme
d’une structure qui soit de rigidité maximale et
de poids minimal. Mathématiquement, on pose ce
problème en minimisant la compliance sous une
contrainte de poids maximal. La difficulté
principale vient de ce que la variable d’optimisation
est la géométrie même de la structure. S’il est
facile de calculer le poids d’une structure (qui
est simplement proportionnel à son volume), l’évaluation
de la compliance est plus délicate car elle dépend
indirectement et non-explicitement de la géométrie
de la structure. En effet, il faut passer par une
étape (assez coûteuse) de résolution numérique par
éléments finis des équations de Lamé pour obtenir
ensuite la compliance. Mais là où les choses se
compliquent sérieusement c’est lorsqu’il faut
calculer la dérivée de la compliance par rapport
à la forme ! Avant d’en venir à ce calcul de
dérivée, expliquons pourquoi il est important
en optimisation de savoir calculer des dérivées.

On apprend aux étudiants que, lorsqu’on veut
déterminer les minima ou maxima d’une fonction dérivable
d’une seule variable réelle,
il faut les chercher parmi les points où la dérivée s’annule
ainsi qu’aux bornes éventuelles de l’intervalle sur
lequel on se place (on peut voir cet intervalle
comme une contrainte sur la variable réelle).
On procède ainsi quand on veut trouver analytiquement
ces extrema. Si on veut calculer numériquement un
minimum (ou un maximum), la notion de dérivée est
encore très utile car elle est à la base de
l’algorithme dit du gradient ou de la plus
grande pente (voir bloc dépliable 3).

3. Algorithme du gradient ou de la plus grande pente

Il s’agit d’un algorithme itératif qui construit une suite de points
$x_n, n\geq0$ qui se rapprochent progressivement vers le minimum
d’une fonction $f(x)$, définie sur $\mathbb{R}^d$ à valeurs réelles.
Cet algorithme est aussi appelé méthode de la plus grande pente
car il repose sur une stratégie dont l’analogue pour un marcheur
en montagne, souhaitant rejoindre le plus vite possible le fond
de la vallée, est de toujours se diriger dans le sens de la plus
grande pente (vers le bas !). La pente de la fonction $f(x)$ est
donnée par sa dérivée $f^\prime(x)$, avec le signe $-$ si on veut
minimiser ou descendre. A partir d’un choix initial $x_0\in\mathbb{R}^d$
la suite de points dans $\mathbb{R}^d$ est alors définie par
la relation de récurrence
\[ x_{n+1} = x_n - \delta \, f^\prime(x_n) \quad \mbox{ pour } n\geq0 , \]
où $\delta>0$ est le pas de descente. Si ce dernier est choisi suffisamment petit,
alors on peut montrer la convergence de cet algorithme vers un minimum
local de la fonction $f$. Remarquez que des choix initiaux différents peuvent
conduire à des points de minimum différents. Le point crucial dans
cet algorithme est la calcul de la dérivée de la fonction que l’on veut
minimiser.

Algorithme du gradient

Algorithme itératif de minimisation qui peut converger vers différents minima locaux selon l’initialisation

Pour minimiser une fonction à l’aide de l’algorithme du
gradient il faut donc savoir calculer sa dérivée. Mais dans
notre problème de formes optimales, comment peut-on
simplement définir une dérivée ? Dans
son mémoire sur le problème d’analyse relatif à
l’équilibre des plaques élastiques encastrées de 1907,
le mathématicien
Jacques Hadamard
a donné un cadre commode
pour définir une notion de dérivation par rapport au
domaine qu’on appelle aussi, depuis, la méthode d’Hadamard.
Grosso modo, il s’agit de dériver par rapport à la position des
points sur le bord du domaine (voir bloc dépliable 4).

4. Méthode d’Hadamard de dérivation par rapport au domaine.

L’idée de Jacques Hadamard est de fixer une forme de référence
et de paramétrer des variations de cette forme initiale
à l’aide d’une fonction vectorielle $\vec\theta$.
Plus précisément, si $\Omega_0\subset\mathbb{R}^3$ est cette
forme de référence, pour toute fonction $\vec\theta(\vec x)$
définie de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$, on définit une nouvelle
forme $\Omega_\theta=(\mbox{Id}+\theta)\Omega_0$ comme l’ensemble des points
$\vec x + \vec\theta(\vec x)$ lorsque $\vec x$ parcourt
$\Omega_0$ (voir la figure). Autrement dit, on paramètre
la forme $\Omega_\theta$ par la fonction $\vec\theta$.
Si on se limite à de telles formes, alors la dérivée
(ou le gradient) par rapport au domaine est simplement
définie comme la dérivée
par rapport à cette fonction $\vec\theta$ : c’est un peu
plus compliqué que de dériver par rapport à une variable
réelle, mais c’est, au moins conceptuellement, une opération
classique en calcul différentiel. Nous ne pouvons pas nous
étendre plus sur ce sujet technique et nous renvoyons le
lecteur désireux d’en savoir plus (et ayant le niveau
d’une licence de mathématiques !) aux ouvrages
 [1]
et
 [2].

Variation de formes « à la Hadamard »

Paramétrisation de formes par un champ de vecteur $\vec{\theta}$ à partir d’une forme de référence $\Omega_0$

Il est important de noter tout de suite que la méthode
d’Hadamard comporte une limitation essentielle : elle
restreint les formes admissibles $\Omega_\theta$ à avoir
toutes la même topologie que la forme de référence $\Omega_0$.
En effet, on peut montrer que si la fonction de paramétrisation
$\vec\theta$ est suffisamment petite, alors $\Omega_\theta$ et
$\Omega_0$ sont homéomorphes, c’est-à-dire que l’application
$\vec x \to \vec x + \vec\theta(\vec x)$ est une bijection
continue d’inverse continue. Concrètement en deux dimensions
d’espace, cela veut dire que les formes $\Omega_\theta$ et
$\Omega_0$ ont le même nombre de trous.

Différentes topologies en 3-d

Trois exemples de formes de topologies différentes dans l’espace à 3 dimensions : une boule (à gauche), un tore ou une bouée (au milieu), un bretzel (à droite).

En dimension trois d’espace c’est un peu plus compliqué :
les formes $\Omega_\theta$ et $\Omega_0$ ont, entre autres,
le même nombre de trous mais aussi d’anses ou de boucles
(voir ci-dessus la différence entre une boule, un tore ou
un bretzel). Cette limitation intrinsèque de
la méthode d’Hadamard n’est pas que théorique mais
est aussi un obstacle sérieux dans la pratique
numérique.

Expliquons néanmoins comment la méthode d’Hadamard est
mise en œuvre dans un algorithme numérique d’optimisation
géométrique de formes. Il s’agit d’un algorithme itératif
qui construit, à partir d’une forme initiale, une suite
de formes qui chacune améliore, par modification de la
position de son bord, la performance de la précédente.
Cet algorithme s’apparente à la méthode du gradient ou
de la plus grande pente (voir bloc dépliable 3), c’est-à-dire
que le bord de chaque forme intermédiaire est déplacé
dans la direction du gradient par rapport au domaine
de la fonction objectif (qui mesure la performance de
la forme et que l’on veut minimiser). La convergence
de l’algorithme est détectée lorsqu’on ne peut plus
améliorer la performance de cette manière. Chaque
itération de l’algorithme correspond, d’une part,
à une résolution par éléments finis des équations de Lamé
(voir bloc dépliable 2) dont la solution permet de calculer
la performance de la forme ainsi que la dérivée par
rapport au domaine, d’autre part, à une déformation
du maillage, qui définit la forme, dans la direction
de cette dérivée. Précisons
pour le lecteur soucieux d’exactitude que, lorsque
la fonction objectif n’est pas la compliance, il
est nécessaire pour calculer la dérivée par rapport
au domaine de cette fonction objectif d’évaluer la
solution d’un autre système d’équations de Lamé,
dit état adjoint (voir bloc dépliable 1 et 2 pour plus de
détails).

Nous appliquons cet algorithme à l’aide du logiciel
libre FreeFem++ dans le cas de la console optimale
(le script de ce cas test est disponible dans une boîte
à outils).
Les conditions aux limites et deux
maillages initiaux sont donnés dans les figures ci-dessous.

Conditions aux limites pour la console optimale

Le bord $\Gamma_D$ est fixe. Une force verticale est appliquée sur le bord $\Gamma_N$. Le bord $\Gamma$ est libre et est le seul soumis à optimisation.

Initialisations pour une optimisation géométrique

Deux initialisations pour le calcul d’une console optimale par la méthode d’Hadamard : avec 4 trous à gauche et 7 à droite

Les solutions successives obtenues par l’algorithme
ci-dessus, pour les deux initialisations proposées,
sont présentées sous forme de films ci-dessous.

Le lecteur vérifiera immédiatement que, dans chacun
des films, la topologie de la forme initiale est
conservée aux cours des itérations : on conserve toujours
le même nombre de trous ! D’un point de vue informatique,
s’il est possible de déformer un maillage (tous les
logiciels d’éléments finis ne le permettent pas aisément
mais FreeFem++ si), il est très difficile, pour ne pas
dire impossible, d’en changer la topologie de manière automatique
(c’est-à-dire de fusionner des trous ou de casser des barres).
Par conséquent, cette méthode d’optimisation géométrique
fonctionne à topologie fixée et est incapable d’optimiser
la topologie : la structure garde le même nombre de composantes,
de bords et de trous. C’est une limitation sévère car il faut
deviner la bonne topologie à imposer à la forme initiale,
tâche impossible dans la plupart des cas.
De plus, cet algorithme d’optimisation géométrique est
très coûteux en temps de calcul (car il peut être
nécessaire de remailler au cours des itérations) et
le résultat obtenu dépend fortement du choix initial de forme.
C’est pourquoi les mathématiciens ont été motivés pour
inventer des méthodes d’optimisation topologique de
formes.

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