Design et formes optimales (III)

Optimisation topologique

Piste rouge Le 21 décembre 2009  - Ecrit par  Grégoire Allaire, François Jouve Voir les commentaires (4)

Cet article fait suite à celui-ci. Il est consacré à des avancées récentes des mathématiques et du calcul scientifique dans le domaine de l’optimisation de formes ou « optimal design ». Ces progrès ont eu des répercussions immédiates dans l’industrie (aéronautique, automobile, génie civil) en mettant à disposition des ingénieurs des logiciels d’optimisation « automatique » de design d’objets ou de structures.

Optimisation topologique : l’innovation par les maths !

On accuse souvent les mathématiciens de « voler au secours
de la victoire », c’est-à-dire de justifier par une belle
théorie des intuitions et des pratiques utilisées par les
physiciens, les mécaniciens ou les ingénieurs. Cette
démarche courante est parfaitement légitime et est souvent
bien utile car la formalisation d’une approche scientifique
permet d’en mieux comprendre les ressorts intimes et d’en
améliorer l’efficacité. Mais il est aussi de nombreux
exemples où les mathématiques sont pionnières et littéralement
innovantes, même aux yeux des utilisateurs finaux pour qui
seuls les résultats comptent et pas la manière. L’optimisation
topologique de formes est un de ces exemples où l’innovation
est due aux mathématiciens et s’est ensuite très rapidement
propagée chez les ingénieurs spécialistes. Cette innovation
est relativement jeune, puisqu’elle a 20 ans environ, et assez
foudroyante dans son application puisque de nombreux logiciels
commerciaux, et pas seulement académiques ou propriétés de
quelques rares industriels, sont utilisés à travers le monde
(voir le site web
qui propose des liens vers quelques uns de ces logiciels).

Nous allons décrire deux méthodes d’optimisation topologique
de forme : tout d’abord la méthode d’homogénéisation, puis
celle des lignes de niveau. Ce ne sont pas les seules approches
possibles mais probablement les plus populaires. Citons pour
mémoire quelques autres méthodes : algorithmes évolutionnaires,
gradient topologique (ce dernier peut d’ailleurs être couplé
à la méthode des lignes de niveau). Pour des références à ce
sujet nous renvoyons à [1].

Méthode d’homogénéisation : de l’importance des matériaux composites

De manière grossière l’idée sous-jacente à la méthode d’homogénéisation
est de transformer un problème d’optimisation de formes en un problème
d’optimisation d’une densité de matière. En tout point de l’espace
cette densité est une valeur entre 0 et 1, 0 correspondant à un trou
ou du vide (pas de matière), 1 correspondant à du matériau plein, et
les valeurs intermédiaires, par exemple 0.5, correspondant à un matériau
poreux (avec plein de micro-pores ; pensez à une éponge ou de la mousse).
Autrement dit, on remplace le problème original d’optimisation de
formes, qui est un problème d’optimisation discrète du type 0/1
(vide ou matière en chaque point d’espace), par un nouveau problème
d’optimisation d’une densité de matière, qui est un problème
d’optimisation continue où la variable de densité parcourt l’intervalle
complet $[0,1]$. Avec cette nouvelle approche on n’est plus prisonnier
de la paramétrisation des formes proposée par Hadamard (la topologie
va pouvoir changer !) et, par ailleurs, les problèmes d’optimisation
continue sont notoirement plus faciles à résoudre que ceux d’optimisation
discrète, en particulier car il est facile de définir et d’utiliser
numériquement des notions adéquates de dérivée ou gradient.
Cet argument parait lumineux et évident mais il y a un petit
hic... Nous venons d’employer les expressions « transformer »
ou « remplacer » en parlant du passage du problème original au
nouveau : cela cache une difficulté fondamentale ! Est-ce bien
le même problème que nous allons résoudre ou bien ne sommes
nous pas en train d’inventer un autre problème, facile à
résoudre, mais sans aucun lien avec celui qui nous motivait ?
C’est ici que les mathématiques interviennent de manière
fondamentale car il existe de nombreuses manières de
transformer un problème d’optimisation, de le « généraliser »
pour qu’il devienne facile à résoudre, mais en général il
n’existe qu’une seule façon de le généraliser a minima
pour qu’il soit, d’une part facile, et d’autre part
(et surtout !) identique, dans un certain sens, au
problème d’origine. La branche des mathématiques qui
s’intéresse à ces questions d’optimisation et de calcul
des variations appelle cette procédure de « généralisation
au plus juste » la relaxation (voir bloc dépliable 5).

5. Relaxation en calcul des variations.

Sans rentrer dans les détails techniques de la relaxation,
essayons d’en expliquer les enjeux concrets dans le cas
qui nous intéresse ici. Nous l’avons dit plus haut, les
densités intermédiaires correspondent à un matériau poreux
ou plus précisément à un matériau composite obtenu par
micro-perforation du matériau original. Bien sûr, la
densité de ce matériau composite est proportionnelle
au volume de matière, par rapport aux volumes de trous,
à une échelle microscopique. Mais la seule densité ne
suffit pas à caractériser ce matériau composite : il
existe une infinité de type de trous pour la même
densité et leur forme est essentielle car elle gouverne en particulier
l’isotropie ou l’anisotropie du matériau composite
(on dit qu’un matériau est isotrope s’il répond aux
sollicitations extérieures de la même manière quelque
soit son orientation dans l’espace). Ainsi des trous
allongés suivant une direction privilégiée produisent
un matériau composite anisotrope, plus résistant dans
la direction de l’allongement des trous que dans les
directions perpendiculaires (pensez aux fibres du bois
qui en font un exemple parfait de matériau anisotrope).
On appelle cela les propriétés effectives, ou macroscopiques,
des matériaux composites. C’est ici qu’entre en jeu la
théorie de l’homogénéisation dont un des buts est
justement de donner une définition précise de ce
que sont ces propriétés effectives, de les déterminer
en fonction de la microstructure des trous et enfin
de caractériser l’ensemble des matériaux composites
que l’on peut construire par micro-perforation du
matériau original. L’homogénéisation a eu de nombreuses
autres applications, notamment dans tout ce qui concerne
les problèmes multi-échelles où l’on souhaite trouver
des correspondances entre un modèle microscopique
et un modèle moyenné macroscopique. Mais il est
remarquable historiquement de voir que cette théorie
a été développé dans les années 1970-1980 précisément dans
le but d’obtenir la relaxation de problèmes d’optimisation
de formes. Les grands acteurs de ce développement sont
principalement F. Murat et L. Tartar en France, mais
aussi A. Cherkaev et K. Lurie en Russie, ainsi que
R. Kohn et G. Strang aux États-Unis. En conclusion,
il est remarquable de constater que la détermination
de la relaxation de notre problème d’optimisation de
formes est équivalente à la caractérisation d’un
ensemble de matériaux composites micro-perforés
obtenus à partir du matériau original, et tout
aussi remarquable que ces deux questions aient
obtenues des réponses complètes et élégantes !

Nous pouvons maintenant décrire la méthode
d’homogénéisation en optimisation topologique
de formes. Il s’agit d’optimiser, non plus une
forme, mais une densité de matière et une
microstructure de matériau composite. On peut
montrer que ces deux variables s’optimisent de
manière presque indépendantes : la microstructure optimale
est connue explicitement et localement en chaque point
de l’espace, pourvu que l’on connaisse la déformation
ou la contrainte subie, tandis que la densité s’optimise
numériquement et globalement, encore une fois par un
algorithme de type gradient. Ce type d’approche
micro-macro ou local/global est extrêmement
efficace et populaire en optimisation de formes
mais aussi dans de nombreux autres domaines de
la mécanique. La méthode d’homogénéisation est
très rapide car, d’une part, l’optimisation locale
de la microstructure est analytique (donc immédiate),
et d’autre part, il n’est plus besoin de remailler
puisqu’on ne suit pas une forme qui bouge mais on
capture une densité de matière sur un maillage fixe.
Évidemment, il n’y a plus aucune contrainte topologique :
les trous peuvent apparaître ou disparaître au gré des
variations de la densité. Il s’agit donc bien d’un
algorithme qui permet de changer et d’optimiser la
topologie.

Pour illustrer la méthode nous présentons deux
cas test sous forme de film, ci-dessous, qui
correspondent à des consoles optimales, courte
ou longue (rappelons que le bord de gauche est
fixé tandis qu’une force verticale est appliquée
au milieu du bord de droite).
Nous traçons la densité de matière, représentée
par un niveau de gris, noir correspondant à du
matériau plein, blanc correspondant à du vide.
Si le premier exemple (console optimale courte)
conduit bien, dans un premier temps, à une forme assez clairement dessinée
(deux barres se joignant à angle droit au point
d’application de la force), le d