Dessin et imagination : débats sur le rôle des figures dans l’enseignement et l’apprentissage de la géométrie à trois dimensions au XIXe siècle

Piste bleue Le 25 février 2020  - Ecrit par  Jemma Lorenat Voir les commentaires

Cet article se propose d’étudier le recours aux dessins au XIXe siècle dans quelques traités allemands (et quelques unes de leurs traductions) destinés à l’enseignement de la géométrie et de la statique graphique.

Selon un récit classique sur les représentations géométriques au XIXe siècle, les figures géométriques, vues comme porteuses d’intuition, auraient été progressivement abandonnées au profit d’axiomes rigoureux et d’équations générales utilisant les coordonnées. Cependant, pour quelques géomètres praticiens, le développement de l’intuition spatiale est indépendant de l’utilisation de dessins . À la place, des professeurs en géométrie encouragent le développement de la pratique de la représentation mentale afin de voir les objets dans l’espace sans l’assistance d’un support matériel.

Introduction

Selon un récit classique, les figures en géométrie seraient considérées comme de moins en moins importantes au cours du XIXe siècle. Les objets géométriques seraient devenus trop complexes pour être représentés sur du papier alors que les équations et les fondements logiques sont de plus en plus au centre des recherches en géométrie. Cette seconde approche par les fondements est une tentative pour construire la géométrie à partir d’un ensemble précis d’axiomes donnés. L’intuition de l’apparence ou le comportement des objets géométriques seraient alors considérés comme problématique parce qu’elle apporterait des informations au-delà des inférences logiques autorisées. En plus de se détourner de l’intuition, les approches axiomatiques de la géométrie insistent explicitement sur la nature non essentielle de la figure. Dans ses Vorlesungen über neuere Geometrie [Leçons sur les nouvelles géométries], Moritz Pasch affirme que « le théorème est seulement véritablement démontré si la preuve est complètement indépendante de la figure » tout en soulignant le nécessaire « sacrifice de temps et d’efforts que cela implique » quand la figure est omise (Pasch, 1882). Reconnaissant de la même façon le gain de temps apporté par les figures, David Hilbert déclare aussi qu’elles peuvent être évitées :

On pourrait aussi éviter l’utilisation des figures, mais nous ne le ferons pas. Nous utiliserons des figures souvent. Cependant, nous ne nous fierons jamais à elles. (Hilbert, 1894) cité dans (Mancosu, Jørgensen et Pedersen, 2005)

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Un exemple de gain de temps par l’utilisation d’une figure chez Pasch (Pasch, 1882)

Dans ces exemples, un rôle heuristique et pédagogique semble être accordé aux figures, rôle qui est comme séparé du contenu mathématique réel présenté.
L’attention accordée à l’utilisation et l’abandon des figures en géométrie fait partie de la riche littérature en histoire et philosophie des mathématiques sur les pratiques visuelles. En montrant que « les liens des images avec les mathématiques sont compliqués », Jeanne Peiffer offre une brève synthèse des études historiques sur ce sujet jusqu’en 2006. (Peiffer, 2006). Beaucoup de recherches sur cette question ont été publiées depuis [1].
Néanmoins, toutes les configurations en trois dimensions ne peuvent pas être efficacement représentées sur du papier. Par exemple, Joseph-Diez Gergonne remarque en 1826 les limites du dessin d’objets dans l’espace :

Nous croyons superflu d’accompagner ce mémoire de figures, souvent plus embarrassantes qu’utiles, dans la géométrie de l’espace : figures que nous ne pourrions d’ailleurs offrir que sous un aspect unique et individuel au lecteur qui pourra, au contraire,
les construire et façonner à son gré, si toutefois il en juge le secours nécessaire. (Gergonne, 1826, 212)

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Une illustration d’une figure dans l’espace dans (Monge, 1798)

Le choix minutieux des notations par Gergonne fournit au lecteur compétent les étapes de construction qui peuvent être suivies pour réaliser ses propres dessins. Le texte donne les noms et positions de tous les points, droites et plans significatifs, mais Gergonne ne voit pas l’intérêt de représenter, par exemple, un polyèdre inscrit dans un autre. De tels dessins posent problème car ils sont à la fois trop compliqués et trop particuliers. En revanche, dans ses Vorstellungskraft Entwickelungen [Développements de l’imagination] de 1832, le géomètre suisse Jakob Steiner s’oppose clairement à l’utilisation de figures dessinées au profit du développement de la puissance intrinsèque de la représentation mentale --- le Vorstellungskraft. Ce sentiment est devenu partie intégrante de la mythologie entourant Steiner qui est perçu par ses admirateurs contemporains et ultérieurs comme possédant une capacité extraordinaire de visualisation mentale.

Notons que le rôle des dessins est étroitement lié à certains mots allemands qui semblent sans équivalent dans leur large gamme de significations. D’un côté, Vorstellung pourrait simplement signifier idée, cependant, comme beaucoup d’extraits le montreront, la dimension visuelle plus littérale de Vorstellung comme présentation ou représentation peut aussi être convoquée. Par exemple, le français Octave Chemin traduit le Vorstellungskraft de Theodore Reye par « la faculté du lecteur de se représenter » là où le traducteur anglais Thomas Holgate écrit seulement « imagination » (Reye, 1881 ; Reye, 1898). Afin de conserver cette ambiguïté, je ne traduirai pas ces termes et leurs variantes quand j’utiliserai des originaux en allemand et je noterai entre parenthèses le terme original quand je m’appuierai sur des traductions.

Le géomètre perçu comme le « grand successeur » de Steiner est Karl Christian von Staudt. Staudt est justement célèbre pour avoir évité tous les dessins dans sa Geometrie der Lage [Géométrie de position] (von Staudt, 1847), (Coolidge, 1940). Bien que von Staudt n’ait jamais donné une justification explicite pour l’exclusion des dessins, sa décision a été le plus souvent comprise par les mathématiciens comme un moyen de développer le Vorstellungskraft [puissance intrinsèque de la représentation mentale] chez ses lecteurs. Dans les années 1860, Geometrie der Lage est la base des manuels de Karl Culmann de statique graphique, nouveau domaine appliqué pour lequel les techniques géométriques étaient utilisées pour l’étude des forces en équilibre (Culmann, 1866). L’étude de la statique graphique est devenue populaire dans toute l’Europe, attirant ainsi davantage d’attention sur l’approche de von Staudt par rapport aux dessins. Cependant, à la fin du siècle, les dessins connaissent une résurgence dans la littérature pédagogique.

La Geometrie der Lage de von Staudt : un texte sans mesure, sans dessin, sans citation, sans trop de lecteurs non plus...

Dans la Geometrie der Lage von Staudt présente une géométrie indépendante de la mesure et des dessins. Il ne donne pas non plus de référence à d’autres auteurs. Son introduction suggère une motivation pédagogique :

Tout apprentissage de la géométrie doit commencer par des considérations générales que l’étudiant acquiert de différentes manières à partir des structures géométriques et en entrainant sa capacité à l’intuition [Anschauungsvermögen]. (von Staudt, 1847, iii)

Mais von Staudt n’aborde pas explicitement la relation entre intuition et dessins, et cette citation ne fait peut-être qu’allusion à la généralité qu’il perçoit dans une approche non métrique de la géométrie de situation. L’introduction de von Staudt est brève et il ne donne pas plus d’explications dans le corps de son texte.
Néanmoins, la décision de von Staudt d’éviter les dessins participe de sa légende. Dans une biographie hagiographique, Max Noether décrit von Staudt comme l’initiateur d’une « direction purement géométrique », évitant les figures grâce à l’utilisation de l’Anchauung intérieur et le Vorstellungskraft [puissance intrinsèque de la représentation mentale] (Noether, 1901, 12).
Dans les années 1880, Corrado Segre convainc son étudiant Mario Pieri d’écrire la première traduction de la Geometrie der Lage (von Staudt, 1889). La version italienne, La geometria di posizione, est publiée en 1889 avec une préface de Segre, qui encense von Staudt (qu’il désigne par S.) en le présentant comme un Euclide moderne et explique les avantages d’une géométrie sans figures :

Bien que les jeunes gens trouvent parfois le raisonnement purement géométrique plus difficile que celui qui le mélange avec des considérations métriques, il est certain qu’au début leur intelligence bénéficie davantage du premier. Et c’était d’abord pour cette raison que S. voulait son livre sans figures : en l’étudiant sans utiliser de figures ou en les faisant soi-même, pendant la lecture, peut-être le lecteur fera plus d’efforts pour concevoir les figures les plus difficiles, mais la conception géométrique deviendra plus forte. (von Staudt, 1889, xii)

Dans l’interprétation de Segre, la géométrie sans dessin de von Staudt conduit (finalement) à de meilleurs géomètres. Pieri, son collègue plus jeune et traducteur, semble compatir davantage avec les débutants potentiels :

Beaucoup nous reprocheront peut-être la publication d’un travail de géométrie destiné particulièrement aux plus jeunes pour lequel nous avons négligé la réalisation d’une série pratique de planches d’illustrations. Mais il nous a semblé qu’il était préférable d’être fidèle au concept de l’A. [l’auteur, c’est-à-dire von Staudt], qui publiait son travail sans figures et qui se déclarait toujours contre l’idée d’en introduire ; il estimait que le jeune homme devait s’habituer d’une part à concevoir les formes géométriques sans aucune aide mécanique, et d’autre part à porter son attention, non pas sur un seul cas, mais sur un ensemble de cas pour chaque proposition. Ce n’est qu’après avoir construit la figure d’une démonstration, par lui-même et sans idée préconçue, que nous croyons que le lecteur peut supposer qu’il la maitrise. (von Staudt, 1889, xxv)

Bien que von Staudt n’aborde pas la question de la construction géométrique dans sa Geometrie der Lage, Pieri propose la construction comme un critère permettant d’évaluer la maitrise géométrique d’une preuve. Le lecteur ne devrait pas seulement voir dans son esprit, mais aussi construire la géométrie sur du papier.
Une motivation pour l’étude de von Staudt est venue de la statique graphique. Cette discipline occupe alors une place importante dans les écoles techniques, et, de cette manière, de nombreux étudiants sont exposés à la géométrie sans dessin.

La statique graphique et Die Geometrie der Lage de Theodore Reye

Quand il publie Die graphische Statik [Graphique statique] en 1866, Karl Culmann enseigne la statique graphique à l’École polytechnique fédérale de Zurich depuis plusieurs années [2]. Dans son introduction, Culmann retrace brièvement l’histoire de la géométrie moderne et indique la Geometrie der Lage de von Staudt comme le meilleur prérequis pour son cours, puisque le seul travail disponible « dans lequel les éléments de la géométrie de position peuvent être systématiquement trouvés ensemble dans leur enchaînement géométrique rigoureux » (Culmann, 1866, vii).

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Une illustration des proportions d’après (Culmann, 1866b)

Dans son éloge, Culmann insiste sur la systématicité de l’approche de von Staudt, plus que sur son manque de dessins. En effet, alors que la statique graphique repose sur la visualisation, ses méthodes nécessitent l’usage du papier. Die graphische Statik contient de nombreuses représentations en dimension deux d’objets de dimension trois :

Pour l’ingénieur, et surtout pour le technicien, la formation en géométrie n’est pas moins importante que celle en analyse : il a toujours affaire à des représentations de structures
spatiales, il est donc utile que sa Anschauungsvermögen [capacité à l’intuition] spatiale ait été quelque peu entrainée et il peut facilement déduire les corps de leurs projections planes et voir spatialement la construction en entier et la procédure à exécuter.

Passer de deux à trois dimensions nécessite une Anschauungsvermögen [capacité à l’intuition] spatiale et l’étudiant ayant étudié von Staudt a normalement une formation suffisante pour cela. En fait, pour ces étudiants hypothétiques, travailler à partir de dessins en deux dimensions peut, en comparaison, être considéré comme plus facile que de construire des corps à partir de mots seulement.
Les indices suggèrent que peu de futurs ingénieurs et techniciens (sans parler des géomètres) sont alors capables de comprendre la Geometrie der Lage de von Staudt. La Geometrie der Lage de Theodor Reye paraît la même année que le livre de Culmann (Reye, 1866). Reye est aussi professeur à Zurich et il présente son texte comme le moyen de combler un vide dans la formation polytechnique des étudiants qui projettent de suivre le cours de Culmann. Reye semble être plus attentif aux capacités et aspirations des étudiants que ses deux prédécesseurs.
D’une part, Reye décrit la capacité de voir des figures dans l’espace comme un obstacle inévitable pour les aspirants ingénieurs, architectes, mécaniciens et mathématiciens, et comme l’ « un des objets principaux de l’enseignement géométrique » (Reye, 1866, vii). Reye met en avant des situations pratiques pour lesquelles une telle compétence est précieuse :

Pourtant l’ingénieur, et n’importe qui souhaitant devenir familier avec ses idées, doit sans arrêt exercer son Vorstellungskraft [puissance intrinsèque de la représentation mentale] pour voir réellement l’objet destiné à être représenté par les droites d’un dessin qui n’est pas du tout compréhensible pour le non initié. […] parfois il essaie de comprendre un morceau d’un équipement compliqué à partir d’un schéma insuffisant ; d’autre fois, à partir d’une description sommaire, de faire comprendre des procédés naturels ou des mouvements compliqués vaguement reliés entre eux. (Reye, 1866, vi-vii)

D’autre part, Reye n’évite pas tout dessin dans ses textes qui contiennent de nombreuses « planches de figures » afin d’aider les étudiants. De ce point de vue, il différencie son enseignement de celui de von Staudt :

Von Staudt n’eut pas recours à de telles méthodes ; en fait, nous ne serions pas loin de la vérité en lui prêtant des vues similaires à celles exprimées un jour par Steiner, à savoir que « les idées stéréométriques ne peuvent être correctement comprises que lorsqu’elles sont purement contemplées par le Vorstellunskraft [puissance intrinsèque de la représentation mentale] intérieur, sans l’aide d’aucune sorte d’illustrations. (Reye, 1866, ix)

Reye inclut des dessins dans la mesure où ils sont sans ambiguïté et épargnent aux étudiants des difficultés inutiles. Alors que Steiner et von Staudt parlent du futur géomètre, Reye est plus attentif au futur ingénieur et donne des exemples concrets pour illustrer quand le Vorstellunskraft [puissance intrinsèque de la représentation mentale] est utile en pratique. Cependant, même si Reye inclut des centaines de figures, il « recommande aussi fortement » aux étudiants de construire les leurs à partir de ses descriptions écrites. Cette pratique est favorisée par le format du livre dans lequel les dessins apparaissent seulement en planches à la fin, un standard pour le milieu du XIXe siècle. Un lecteur doit donc tourner activement les pages pour voir si sa propre conception de la figure correspond au dessin donné dans le livre. Finalement, comme Steiner, Reye évite les dessins de configurations stéréométriques (en dimension trois).
La parution simultanée des textes de Culmann et Reye en 1866 donne lieu à une série de traductions, adaptations, nouvelles éditions et cours sur la statique graphique en Europe et aux États-Unis. Les introductions de ces nouvelles versions donnent de nouvelles opportunités aux auteurs pour faire état de leur avis sur le rôle des dessins en géométrie. La plupart des traductions directes s’alignent sur le point de vue de Reye, comme la traduction italienne La Geometria di Posizione. Lezioni del Dott. Teodoro Reye de Aureliano Faifofer en 1884, en incluant des dessins mais en plaidant pour le bénéfice pédagogique de former des représentations mentales sans leur aide :

L’auteur est d’avis que l’objet principal de l’enseignement de la géométrie est de développer et d’exercer chez les étudiants la faculté de représenter des formes dans l’espace, sans l’aide de représentations matérielles, avec pour objectif qu’ils puissent reconnaître les propriétés et les relations mutuelles de ces formes à travers une sorte d’intuition intérieure. (Reye, 1884, v)

Sous cette forme, les étudiants ont l’autonomie d’utiliser les dessins fournis dans les premiers chapitres au fur et à mesure qu’ils en ont besoin, tout en s’en détachant progressivement lorsque les objets en trois dimensions sont introduits. De la même façon, un compte rendu de Thomas McCormack de la traduction anglaise de 1893 par Thomas Holgate souligne l’importance de la visualisation dans l’enseignement et la pratique des mathématiques :

Les plus puissants plaidoyers des plus grands mathématiciens contemporains ont été faits en faveur de la « visualisation », et il est souhaitable que le présent beau volume marquera aussi dans les pays de langue anglaise une étape supplémentaire dans les progrès vers cet objectif. (McCormack, 1898, 466)

Mais pour d’autres auteurs, Die Geometrie der Lage de Reye, elle-même, manque d’illustrations. Au cours du XIXe siècle, la présentation de ces livres de géométrie change de manière subtile mais significative.

Les éditions de la fin du XIXe siècle et l’essor des dessins

Les premières critiques de von Staudt insistent sur son manque de dessins, considéré comme un inconvénient dans sa présentation. Luigi Cremona, qui enseigne aussi la statique graphique dans les années 1860, fait l’éloge de la Geometrie der Lage mais suggère que « si cet excellent livre n’a pas été largement diffusé, cela pourrait être attribué à l’absence totale de figures illustratives et au style excessivement sec et concis » (Cremona, 1873, v). Paul Terrier, auteur de la traduction française d’une version italienne non autorisée de la Geometrie der Lage de Reye, caractérise von Staudt comme « trop aride pour les débutants » :

On doit reconnaître, toutefois, que la vérité géométrique est présentée par Staudt sous une forme particulièrement abstraite et philosophique. Son Œuvre se distingue par une grande recherche d’expressions, par un laconisme excessif et par la suppression voulue des figures. (Favaro, 1879, xvii)

Même Culmann admet finalement que certains trouvent von Staudt « trop abstrait » (Culmann, 1875). Dans l’édition de 1875 de sa graphische Statik, Culmann recommande toujours von Staudt, mais il suggère aussi que certains peuvent trouver la Geometrie der Lage de Reye plus facile :

Ils [Les textes de Reye] ont le grand avantage par rapport à von Staudt que les cours sont expliqués avec des figures, alors que, avec Staudt, on doit les réaliser d’abord. (Culmann, 1875, xiv)

Étant donné les nombreuses éditions du texte de Reye par rapport à celui de von Staudt, il semble que les étudiants suivent ce conseil.
La relation aux dessins change aussi dans la troisième édition de Reye où les illustrations ne sont plus placées dans des planches à la fin de l’ouvrage mais sont intégrées dans le corps de texte (Reye, 1886), (Reye, 1892).

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La figure 6 dans le texte (Reye, 1892)

Alors que Reye présente les dessins intégrés au texte comme une amélioration due à l’influence des traductions française et italienne et « une sorte de coopération entre éditeurs », ce petit changement rend les dessins plus visibles et empêche le lecteur de développer son propre Vorstellung [représentation] indépendamment (Reye, 1886, xii) [3].
Les objectifs pédagogiques de former de futurs géomètres et de développer le Vorstellungskraft [puissance intrinsèque de la représentation mentale] restent cohérents dans ces éditions ultérieures, mais les dessins apparaissent alors comme une aide, plutôt que comme un obstacle, dans ce processus.

Conclusion

Une conclusion, peut-être évidente, est que les dessins et l’intuition ne sont pas du même côté d’une stricte dichotomie. De même qu’un dessin peut être utilisé à des fins très diverses, il peut aussi être supprimé. Si Steiner évite les dessins pour encourager l’intuition et que von Staudt est lu par ses contemporains comme ayant des motivations similaires, il est aussi possible que leurs travaux aient contribué aux efforts des géomètres de la fin du XIXe siècle visant à éviter les dessins comme un moyen de contrer l’intuition en géométrie. En particulier, le texte de von Staudt a été lu par les géomètres ultérieurs comme faisant avancer une approche axiomatique de la géométrie (Klein, 1926). Bien que la Geometrie der Lage a des ambitions différentes des Vorlesungen de Pasch ou des Grundlagen der Geometrie [Fondements de la géométrie] de Hilbert, von Staudt montre à ceux qui sont intéressés par les questions de fondements, que la géométrie peut être présentée efficacement sans dessin.
Dans Alice au pays des merveilles de Lewis Carroll, le personnage principal demande « quel est l’intérêt d’un livre sans image » (Carroll, 1865). Pour certains géomètres du XIXe siècle, l’utilité est de promouvoir un Vorstellungskraft [puissance intrinsèque de la représentation mentale] sain, fort et actif.

Bibliographie

Anonyme, 1827. « An Analytical Treatise, etc – Traité analytique de la trigonométrie plane et sphérique, et analyse des sections angulaires ; par M. D. Lardner », Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, physiques et chimiques, 7, 352-353.

Belhoste Bruno et Taton René, 1992. « L’invention d’une langue des figures », In Dhombres Jean (ed.), L’École normale de l’an III, Leçons de mathématiques, 371-400, Dunod, Paris.

Bioesmat-Martagon Lise (ed.), 2016. Éléments d’une biographie de l’espace géométrique, Presses universitaires de Nancy, Nancy.

Carroll Lewis (ed.), 1865. Alice’s Adventures in Wonderland, Philip Lee Warner, London.

Chemla Karine, 2011. « Une figure peut en cacher une autre », Images des mathématiques, CNRS, http://images.math.cnrs.fr/Une-figure-peut-en-cacher-une.html.

Coolidge Julian Lowell, 1940. A History of Geometrical Methods, Oxford University Press, Oxford.

Cremona Luigi, 1873. Elementi di geometria projettiva, G. B. Paravia e comp., Roma.

Culmann Carl, 1866. Die graphische Statik, Meyer and Zeller, Zürich.

a et b Culmann Carl, 1875. Die graphische Statik, Meyer and Zeller, Zürich, 2e édition.

Favaro Antonio, 1879. Leçons de statique graphique, traduction par Paul Terrier, Gauthier-Villars, Paris.

Gergonne Joseph-Diez, 1826. « Philosophie Mathématique. Considérations philosophiques sur les éléments de la science de l’étendue », Annales de mathématiques pures et appliquées, XVI, 209-231.

Hilbert David, 1894. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Cod. Ms. Hilbert, 594. Cours non publié.

a et b Klein Felix, 1926. Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, ed. Richard Courant et Otto Neugebauer, Springer, Berlin.

Mancosu Paolo, Jørgensen Kalus Frovin et Pedersen Stig Andur (eds), 2005. Visualization, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics, Springer, Dordrecht.

Maurer Bertram, 1998. Karl Culmann und die graphische Statik : Anhang mit umfangreichen Culmann-Texten. Verlag für Geschichte der Naturwissenschaft und der Technik, Berlin.

McCormack Thomas, 1898. « Review of Lectures on the Geometry of Position. By Theodor Reye, Professor of Mathematics in the University of Strassburg. Translated and edited by Thomas F. Holgate ». The Monist, 9, 465-466.

Monge Gaspard, 1798. Géométrie descriptive, Baudouin, Paris.

Noether Max, 1901. Zur Erinnerung an Georg Christian von Staudt, Georg Böhme, Erlangen.

Pasch Moritz, 1882. Vorlesungen über neuere Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig.

Peiffer Jeanne, 2006. « Rôles des figures dans la production et la transmission des mathématiques », Images des mathématiques, CNRS, http://images.math.cnrs.fr/ Roles-des-figures-dans-la.html.

a, b, c et d Reye Theodor, 1866. Die Geometrie der Lage, volume 1, Carl Rümpler, Hannover.

Reye Theodor, 1881. Leçons sur la Géométrie de position, traduction par Octave Chemin, Dunod, Paris.

Reye Theodor, 1884. La Geometria di Posizione, traduction par Aureliano Faifofer, Tipografia Emiliana, Venice.

a et b Reye Theodor, 1886. Die Geometrie der Lage, volume 1, Baumgärtner’s Buchhandlung. Leipzig, 3e édition.

Reye Theodor, 1892. Die Geometrie der Lage, volume 2, Baumgärtner’s Buchhandlung. Leipzig, 3e édition.

Reye Theodor, 1898. Geometry of Position, traduction par Thomas Holgate, Macmillan, New York.

Scholz Erhard, 1989. Symmetrie, Gruppe, Dualität : zur Beziehung zwischen theoretischer Mathematik und Anwendungen in Kristallographie und Baustatik des 19. Jahrhunderts, Birkhäuser, Basel.

Steiner Jakob et Gergonne Joseph-Diez, 1827. « Géométrie pure. Théorie générale des contacts et des intersections des cercles », Annales de mathématiques pures et appliquées, XVII, 285-315.

Tournès Dominique, 2012. « Diagrams in the Theory of Differential Equations (Eighteenth to Nineteenth Centuries) », Synthese, 186, 257-288.

a et b von Staudt Georg Karl Christian, 1847. Geometrie der Lage, Friedrich Korn’schen, Nürnberg.

a, b et c von Staudt Georg Karl Christian, 1889. La geometria di posizione, traduction par Mario Pieri, Fratelli Bocca, Torino.

Post-scriptum :

Article traduit par Sébastien Gauthier. L’auteure remercie Jenny Boucard et Sébastien Gauthier pour leurs remarques au cours du processus d’édition. Merci également aux relecteurs C. Bayette, N. Cartier, C. Caubel, Angela Gammella, L. Jacoboni et Alexis Michelat pour leur relecture attentive et leurs remarques pertinentes.

Article édité par Jenny Boucard

Notes

[1Pour avoir un échantillon représentatif de l’histoire de la visualisation en mathématique pendant les XIXe et XXe siècles, on pourra consulter (Chemla, 2011 ; Tournès, 2012 ; Bioesmat-Martagon, 2016). La grande diversité des rôles des figures en mathématiques mise en lumière dans ces travaux met en garde contre toute conclusion universelle qui pourrait être tirée de leur présence.
Dans cet article nous verrons à partir des traités allemands de Steiner et von Staudt et de leurs rééditions et traductions principalement destinés à l’enseignement de la géométrie que les raisons pour rejeter les dessins sont tout autant historiquement contingentes, et cela même dans le contexte limité de la géométrie de situation du XIXe siècle --- c’est-à-dire, « toute cette partie de la géométrie qui ne dépend ni des rapports d’angles ni des rapport de longueurs » (Gergonne, 1826).
À partir de la fin du XVIIIe siècle, le succès de Gaspard Monge, de l’École polytechnique et de la géométrie descriptive --- l’étude des figures de l’espace par projection sur deux plans orthogonaux --- marquent un retour dans l’enseignement mathématique des techniques de dessin en trois dimensions et des pratiques de construction de modèles [[Les contributions de Monge aux mathématiques et à l’ingénierie sont bien documentées. Voir par exemple (Belhoste et Taton, 1992).

[2Pour des analyses historiques du développement de la statique graphique au XIXe siècle et du rôle de Karl Culmann, voir (Scholz, 1989, 155-236) et (Maurer, 1998).

[3Une note d’éditeur, dans le Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, physiques et chimiques de 1827, décrit la mise en page dans laquelle les figures apparaissaient à côté du texte comme « la méthode anglaise » (Anonyme, 1827, 353).

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Pour citer cet article :

Jemma Lorenat — «Dessin et imagination : débats sur le rôle des figures dans l’enseignement et l’apprentissage de la géométrie à trois dimensions au XIXe siècle» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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