Deux ateliers MATh.en.JEANS à Nancy

24 mars 2015  - Ecrit par  Bruno Duchesne Voir les commentaires (3)

Les ateliers MATh.en.JEANS sont des activités proposées à des collégiens ou lycéens encadrées par un professeur et un chercheur. Les jeunes réfléchissent sur un sujet proposé par le chercheur.

Le but est de faire découvrir les mathématiques sous une forme ludique et créative qui sort du cadre scolaire.

J’ai le plaisir d’accompagner [1] deux groupes qui viennent du collège Saint-Dominique de Nancy.

Ce qui m’a le plus étonné, c’est la manière dont les jeunes se sont mis à penser comme des mathématiciennes et mathématiciens. Sans qu’on leur ait particulièrement donné ces consignes, certains formulaient des hypothèses —parfois fausses parfois parfaitement justes —, avançaient des arguments que d’autres réfutaient ou avec lesquels ils tombaient d’accord. Ainsi, ils avançaient en utilisant les personnalités. Certains sont plus imaginatifs, d’autres plus rigoureux pour la démonstration et d’autres encore plus doués pour faire des dessins.

Je crois que l’objectif est vraiment atteint quand on sort de la relation enseignant-élève et que les élèves eux-mêmes prennent le raisonnement en main.

Pour vous faire partager un peu leurs recherches, voici les deux questions auxquelles ils ont été confrontés.

Polygones équidécomposables

Aux cinquièmes, une question de géométrie plane a été posée. Etant donnés deux polygones, puis-je découper le premier avec une paire de ciseaux, déplacer les morceaux et reconstituer le second polygone ?

Bien sûr, la première remarque est que ces deux polygones doivent avoir même aire. Est-ce la seule condition ? Peut-on écrire un algorithme qui répond au problème ?

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Explication du passage d’un triangle à un rectangle de même aire.
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Décomposition d’un polygone quelconque en triangles.

Polyèdres réguliers

Les quatrièmes ont gagné une dimension et se sont intéressés aux polyèdres réguliers. Un polyèdre (convexe) est un objet en trois dimensions avec des faces planes sans creux. Un polyèdre est régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers (tous les côtés ont même longueur) avec un même nombre de côtés et tous les sommets sont entourés d’un même nombre de faces.

Par exemple, un cube est un polyèdre régulier. Toutes les faces sont des carrés et autour de chaque sommet, il y a trois cubes. Quels sont tous les polyèdres réguliers ?

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Réalisation d’un icosaèdre en papier.
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Vue en perspective du tétraèdre.
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Preuve que le nombre de côtés d’une face est limité.
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Avec des faces hexagonales, on ne peut construire de polyèdres. On reste dans un plan.

Maintenant, le congrès MATh.en.JEANS approche et toute l’énergie est consacrée à la préparation de celui-ci. Pour nous, ce sera à l’université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, où nous retrouverons environ 500 autres personnes. Les jeunes présenteront leurs recherches et animeront des stands autour du sujet de leur atelier.

Je suis impatient de voir comment cela va se passer pour nos deux ateliers nancéens.

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Notes

[1Il faut bien dire que c’est le professeur, Véronique Dupuits, qui assure la plus grosse part du travail.

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Pour citer cet article :

Bruno Duchesne — «Deux ateliers MATh.en.JEANS à Nancy» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Deux ateliers MATh.en.JEANS à Nancy

    le 24 mars 2015 à 11:25, par ROUX

    « (...) certains formulaient des hypothèses —parfois fausses parfois parfaitement justes — (...) »

    Je connais le plaisir de ces moments au cours desquels les élèves prennent la main.

    A surgi une question : une hypothèse n’est par essence ni vraie ni fausse, elle permet juste la naissance d’un raisonnement, n’est-ce pas ? Puis, au cours de ce raisonnement, elle apparait être vraie ou fausse, non ?

    Dans la démonstration de l’irrationalité de la racine carrée de 2, on pose une hypothèse en faisant semblant qu’elle est juste (mais en n’étant pas dupe ?) pour démontrer qu’elle est fausse.

    Dans l’invention des géométries non-euclidienne, n’avait-on pas poser comme hypothèse que par un point il passe zéro (ou une infinités) de droite(s) parallèle(s) à une autre en espérant que la démonstration, alors de toute évidence par l’absurde, ferait le travail toute seule, et, non, la Mathématique a résisté à ces deux hypothèses a priori fausses et a permis l’invention a postériori de nouvelles géométries ?

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    • Deux ateliers MATh.en.JEANS à Nancy

      le 24 mars 2015 à 19:14, par ROUX

      Oups : n’avait-on pas mordu... Mordu !!! N’avait-on pas posé.

      Posé !!!

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  • Deux ateliers MATh.en.JEANS à Nancy

    le 24 mars 2015 à 23:15, par Bruno Duchesne

    Bonjour,

    Vous avez raison, j’ai utilisé « les hypothèses » de manière peu rigoureuse. En mathématiques, le mot hypothèse a un sens précis qui n’est pas rendu sur la page wikipedia par exemple. Une hypothèse est un énoncé mathématique à partir duquel on va bâtir le raisonnement. Parfois, cela mène à une contradiction (comme dans la preuve de l’irrationalité de $\sqrt{2}$).

    Je voulais dire par « hypothèses justes », des énoncés qu’ils pouvaient démontrer à partir des hypothèses initiales mais encore fallait-il les énoncer correctement !

    Pour les géométries non-euclidiennes, on parle de postulat (le cinquième chez Euclide). Comme un axiome, un postulat est un énoncé considéré vrai mais sans démonstration. Disons que c’est une règle du jeu que l’on fixe une fois pour toutes.

    Je précise que je n’ai que de vagues rudiments de logique et que ce que j’écris ci-dessus est sûrement trop grossier mais permettra, je l’espère, de préciser la situation.

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