Deux billes, une bande et des rebonds

Piste rouge Le 18 juin 2020  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires

Sur un billard, on place une bille rouge et on tire une bille blanche en direction de la bille rouge. L’ensemble du mouvement a lieu perpendiculairement à l’une des bandes du billard. Après le choc, la bille rouge se met en mouvement, rebondit sur la bande du billard avant de revenir en direction de la bille blanche. Selon les masses des deux billes, il s’en suit une série de rebonds entre les deux billes et la bande du billard. Combien de rebonds exactement ? Peut-on calculer précisément ce nombre en fonction des données du problème ? De manière assez inattendue, la réponse à cette question fait intervenir le nombre $\pi$ et c’est ce que nous allons découvrir dans cet article et dans un article compagnon à paraître, Deux billes, une bande et des rebonds : dynamique continue et dynamique discrète.

Ces deux articles s’adressent prioritairement à des étudiants de licence en mathématiques. Ce premier volet propose une approche expérimentale du problème qui permet d’acquérir une certaine intuition du problème et devrait être accessible dès la fin du lycée. Le deuxième volet propose trois résolutions du problème dont deux de nature géométrique.

Ce joli problème a été popularisé en 2019 dans une série de vidéos publiées sur la chaîne YouTube 3Blue1Brown [1]. Ces vidéos ont elles-mêmes été inspirées par un article de Gregory Galperin publié en 2003 [2] (voir aussi [3] pour une présentation plus récente). L’animation suivante illustre la situation.

Notons, et c’est un point important, que la table de ce billard est un peu spéciale... puisqu’elle est « ouverte » à droite : dès que la direction de la bille blanche est vers la droite, celle-ci n’a aucun moyen de revenir en direction de la bande gauche du billard, elle s’en éloigne indéfiniment. Il s’agit donc d’un véritable billard de théoricien sur lequel roulent sans glisser et dans des conditions idéales des billes tout aussi idéalisées ne subissant que des chocs parfaitement élastiques...

Dans toute la suite, nous noterons $m > 0$ la masse de la bille rouge, $M > 0$ celle de la bille blanche, $\mu$ le rapport des masses $\mu = \frac{M}{m}$ et $N$ le nombre de rebonds total.

PNG - 17.5 ko

Des collisions bille-bande et bille-bille alternées

Il est assez facile de se convaincre que les rebonds entre les deux billes alternent avec les rebonds entre la bille rouge et la bande du billard. En effet, quand la bille rouge rebondit sur la bande du billard, elle change de sens de direction : il faut donc qu’un événement se produise pour qu’elle change une nouvelle fois de sens de direction et soit renvoyée en direction de la bande. En se plaçant dans le référentiel de la bille blanche, le même raisonnement permet de conclure qu’on ne peut pas avoir deux collisions des billes entre elles sans qu’un événement ne se produise et change le sens du mouvement de la bille rouge.
Ainsi, puisque le premier rebond est celui de la bille blanche contre la bille rouge à l’arrêt, on en déduit que $N$ est un entier pair si le dernier rebond est celui de la bille rouge contre la bande, ou bien un entier impair si le dernier rebond a lieu entre les deux billes.

Quelques intuitions qu’on peut avoir sur le nombre total de rebonds

Voici quelques intuitions que l’on peut avoir (ou pas !) sur ce problème élémentaire de mécanique.

  • Il n’y a qu’un nombre fini de rebonds ; la question de savoir combien a donc bien un sens.
  • Le nombre total $N$ de rebonds ne dépend que du rapport $\mu$ des masses des deux billes : en particulier, il ne dépend pas de la vitesse initiale de la bille blanche.
  • Toutes les valeurs entières de $N$ sont possibles.
  • Si les masses des deux billes sont égales ($\mu = 1$), on calcule que $N = 3$ : cela correspond à une situation bien connue des amateurs de pétanque, le carreau, comme illustré sur l’animation suivante.

  • Si la masse de la bille blanche est nettement inférieure à celle de la bille rouge, alors $N=2$. En effet, la bille blanche va rebondir sur la bille rouge pendant que cette dernière va aller rebondir sur la bande avec une vitesse en valeur absolue inférieure à celle de la bille blanche [4].

  • Si au contraire la bille blanche est très massive par rapport à la bille rouge, alors vont se produire de très nombreux rebonds et $N$ sera d’autant plus grand que le rapport des masses sera élevé.

Afin de conforter nos intuitions et de vérifier notamment que le nombre total de rebonds ne dépend que du rapport des masses des billes, nous allons faire quelques simulations numériques. Nous verrons que ces expérimentations nous permettent même de « deviner » une formule approchée pour le nombre total de rebonds. Nous nous plaçons évidemment dans le cadre de la dynamique newtonienne car on imagine mal tirer des billes de billard à des vitesses proches de la vitesse de la lumière... Cela étant, si on remplace nos billes et le billard par des particules dans un accélérateur, alors pourquoi pas ? Nous nous penchons rapidement sur cette problématique toute théorique dans la dernière partie de cet article : nous découvrirons alors que, dans le cadre de la dynamique relativiste, l’intuition que nous avons pu avoir sur le fait que $N$ ne dépende que de $\mu$ n’est plus valable et que, à rapport de masses $\mu$ fixé, plus la vitesse initiale de la particule incidente est élevée, moins il y a de rebonds au total.

Dans l’article compagnon à celui-ci (à paraître) et intitulé Deux billes, une bande et des rebonds : dynamique continue et dynamique discrète, nous calculons précisément le nombre total de rebonds dans le cadre de la dynamique newtonienne de trois manières différentes : en « géométrisant » le problème, nous montrons comment apparaissent naturellement un système dynamique continu et un système dynamique discret.

En route pour quelques expérimentations numériques

L’algorithme que nous allons implémenter est assez élémentaire comme nous le détaillons à présent.

Nous notons $v$ et $V$ respectivement les vitesses des deux billes et nous utilisons des lettres primées pour désigner les vitesses des billes juste après un rebond, qu’il s’agisse d’un rebond de la bille rouge avec la bande du billard ou d’une collision entre les deux billes.

  1. Dans le premier cas, les nouvelles vitesses sont particulièrement simples à calculer : en effet, la vitesse de la bille blanche de masse $M$ est inchangée ($V'=V$) et celle de la bille rouge de masse $m$ est changée en son opposée ($v'=-v$).
  2. Dans le cas d’une collision entre les deux billes, nous verrons ci-dessous (formules (1)) comment déduire les vitesses $v'$ et $V'$ en fonction de $v$ et $V$.

Nous convenons d’orienter positivement vers la droite l’axe des abscisses, de sorte qu’initialement la vitesse $V$ de la bille blanche est strictement négative et qu’après le dernier rebond, les deux billes ont des vitesses positives, la vitesse de la bille blanche étant supérieure ou égale à celle de la bille rouge.
C’est ce que nous indiquons dans l’algorithme suivant par la condition d’arrêt $(v \geq 0) \land (V > 0) \land (V \geq v)$.

Algorithme.
  1. On se donne deux nombres réels strictement positifs $m$ et $M$.
  2. Soit deux variables réelles $v$ et $V$ que l’on initialise respectivement à 0 et une valeur strictement positive quelconque.
  3. Soit $N$ une variable entière que l’on initialise à 0.
  4. Tant que $\neg \left( (v \geq 0) \land (V > 0) \land (V \geq v) \right)$ :
    • Si $N$ est pair, on calcule $v'$ et $V'$ conformément aux formules (1) ci-dessous et on pose $v \leftarrow v'$ et $V \leftarrow V'$. On incrémente $N$ de 1.
    • Si $N$ est impair, on pose $v \leftarrow -v$. On incrémente $N$ de 1.
  5. On retourne $N$.

Afin de pouvoir implémenter l’algorithme précédent, il nous faut à présent déduire des lois de la physique les vitesses des billes après une collision.

Chocs élastiques et lois de conservation de la physique

Lors d’un choc élastique entre deux billes, on a conservation de la quantité de mouvement et conservation de l’énergie cinétique, d’où le système d’équations suivantes (on rappelle qu’on note avec des primes les vitesses après le choc) :

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} M V' +m v' & = & M V + m v\\ \frac{1}{2} M V'^2 + \frac{1}{2}m v'^2 & = & \frac{1}{2}M V^2 + \frac{1}{2} m v^2\\ \end{array} \right.. \]

Ce système d’équations a une première solution évidente, à savoir $V' = V$ et $v' = v$.
L’autre solution est donnée par les formules suivantes :

\[ \begin{equation} V' = \frac{\mu-1}{\mu+1} V + \frac{2}{\mu+1} v \quad \text{et} \quad v' = \frac{2\mu}{\mu+1} V - \frac{\mu-1}{\mu+1} v. \end{equation} \]

Démonstration des formules (1)

Avec $\mu = M/m$, le système d’équations ci-dessus se réécrit

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} \mu(V' - V)& = & v - v' \\ \mu(V'^2 - V^2)& = & v^2 - v'^2 \\ \end{array} \right.. \]

Ce système d’équations a une première solution évidente, à savoir $V' = V$ et $v' = v$.
En dehors de cette solution, en divisant la deuxième équation du système par la première, le système est équivalent à
\[ \left\{ \begin{array}{rcl} \mu(V' - V)& = & v - v' \\ V' + V& = & v + v' \\ \end{array} \right. \quad \textit{i.e.} \quad \left\{ \begin{array}{rcl} \mu V' + v'& = & \mu V + v \\ V' - v' & = & -V + v \\ \end{array} \right., \]
ce qui se réécrit matriciellement
\[ \begin{pmatrix} \mu & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V' \\ v' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V \\ v \\ \end{pmatrix}, \]
puis
\[ \begin{pmatrix} V' \\ v' \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{\mu+1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -\mu \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V \\ v \\ \end{pmatrix}. \]

Ce système d’équations linéaires se résout finalement en
\[ \begin{pmatrix} V' \\ v' \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{\mu+1} \begin{pmatrix} \mu-1 & 2 \\ 2\mu & -(\mu-1) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V \\ v \\ \end{pmatrix} \]
ou encore
\[ V' = \frac{\mu-1}{\mu+1} V + \frac{2}{\mu+1} v \quad \text{et} \quad v' = \frac{2\mu}{\mu+1} V - \frac{\mu-1}{\mu+1} v. \]

Remarque sur les chocs élastiques avec la bande

Lors des chocs élastiques entre la bille rouge et la bande (que l’on considère comme une masse inertielle infinie), la vitesse de la bille après le choc est l’opposée de sa vitesse avant le choc.
Autrement dit, la bille rebondit sur la bande et repart avec une vitesse égale en valeur absolue : c’est bien ce que donnent les formules précédentes si l’on fait $V=0$ et $\mu = \infty$, puisqu’alors $V'=0$ (la bande reste immobile) et $v'=-v$ (la bille repart en sens opposé à la même vitesse).

Expérimentations numériques

Sur les figures suivantes, on indique le résultat de nos simulations numériques : sur la figure de gauche, le rapport $\mu$ des masses varie de 0 à 20 et l’on visualise sans peine que le nombre total $N$ de rebonds est une fonction constante par morceaux.
La figure de droite illustre la situation en prenant une plage beaucoup plus grande pour $\mu$ que l’on fait varier jusqu’à $10^6$ : le nombre total $N$ de rebonds est alors d’environ 3000 [5].

PNG - 4.7 ko
PNG - 7.2 ko

La figure de droite laisse deviner que $N$ varie comme la racine carrée de $\mu$ ou, quitte à tourner la figure de 90°, que $\mu$ s’exprime comme le carré de $N$.
Afin de conforter cette intuition, traçons le même graphe en échelle logarithmique : plus précisément, on trace le graphe de la fonction $\log N$ en fonction de $\log \mu$, où $\log$ est ici le logarithme népérien.

Pourquoi passer en échelle log-log ?

La propriété fondamentale du logarithme est de transformer les produits en somme. Plus généralement, pour tout réel $a$ et pour tout réel $x$ strictement positif, si $Y=B.X^a$ avec $B >0$, alors $\log Y = \log B + a \log X$. Si on note $y=\log Y$, $x=\log X$ et $b=\log B$, alors l’équation devient $y=a x + b$ : c’est l’équation d’une droite affine dans le plan de pente $a$ et d’ordonnée $b$ à l’origine. On retrouve $B$ à partir de $b$ par la relation $B = \text{e}^b$.

PNG - 5.2 ko

Bingo ! Une droite 😊.
À partir de là, on ne résiste pas à calculer l’équation d’une droite de régression linéaire $y = ax+b$. On obtient les coefficients suivants
\[a=0.50008441 \quad \text{et} \quad b=1.14472497.\]

Nous renvoyons aux articles Si Galilée avait été un data-scientist et De la méthode des moindres carrés à la descente de gradient pour en savoir un peu plus sur ce qu’est un modèle de régression linéaire estimé par la méthode des moindres carrés.

Entraînement du modèle

Nous décidons d’utiliser environ 80% de nos données pour calculer notre modèle de régression linéaire.
Nous nous servons ensuite des 20% de données non utilisées pour calculer deux statistiques classiques, à savoir la moyenne quadratique carrée $M$ et le coefficient de détermination $R^2$
\[M=0.0000000085 \quad \text{et} \quad R^2=0.9959605561,\]
et, sans surprise, le premier est essentiellement nul quand le second est très proche de 1.

Comme nous avions pu l’anticiper en subodorant une racine carrée, le coefficient $a$ est très proche de $0.5$.
De manière beaucoup plus inattendue par contre, quand on prend l’exponentielle du coefficient $b$, on reconnaît les premières décimales de $\pi \approx 3.1415...$ !
Ces expérimentations nous permettent donc de « conjecturer » une formule approximative pour le nombre total de rebonds :

\[N = N(\mu) \approx \pi \sqrt{\mu}.\]

Bien sûr, la formule ci-dessus ne peut pas être une égalité pour toute valeur de $\mu$ puisque le nombre total de rebonds est un entier naturel alors que le membre de droite de la formule est un nombre réel en général. Mais on peut raisonnablement penser que c’est une excellente approximation et ce, d’autant plus que le rapport $\mu$ est grand :

Conjecture sur le comportement asymptotique

\[N = N(\mu) \underset{\mu \to +\infty}{\sim} \pi \sqrt{\mu}.\]

Nous verrons dans l’article Deux billes, une bande et des rebonds : dynamique continue et dynamique discrète comment calculer très exactement le nombre total de rebonds en « géométrisant » le problème, ce qui nous permettra de mieux comprendre l’apparition pour le moins mystérieuse à ce stade de $\pi$ dans cette formule.

Qu’en est-il dans le cadre relativiste ?

Dans cette dernière partie, nous allons regarder notre problème dans le cadre de la relativité restreinte plutôt que dans le cadre newtonien.
On pourra imaginer que notre problème concerne non plus des billes de billard mais des particules dans un accélérateur. Mais on garde surtout à l’esprit qu’il s’agit avant tout de considérations théoriques plutôt que de « vraie » physique.

Quoi qu’il en soit, les concepts et les idées restent les mêmes (conservations de l’énergie $E$ et de la quantité de mouvement $Q$) mais les expressions de ces quantités sont plus compliquées.
En effet, dans le cadre relativiste pour une particule de masse $m$ et de vitesse $v$, on a
\[E=E_c + mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \qquad \text{et} \qquad Q = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\]
où $c$ désigne la vitesse de la lumière.

Dans le cas de faibles vitesses...

... c’est-à-dire $|v| \ll c$ et $|V| \ll c$, on retrouve les expressions de l’énergie cinétique $E_c=\frac{1}{2}mv^2$ et de la quantité de mouvement $Q=mv$ de la mécanique newtonienne en développant les expressions ci-dessus à l’ordre 1 en $\frac{v}{c}$.

Dans la suite, nous décidons de noter les vitesses de nos particules « en unité de $c$ » : cela signifie que si une particule se déplace à 100 000 km/s, alors sa vitesse est (à peu de choses près) 1/3 en unité de $c$ [6].
Ainsi, toutes les vitesses en jeu seront, en valeur absolue, inférieures à 1 ($|v| < 1$ et $|V| < 1$), et nous noterons $Z = \sqrt{(1-v^2)(1-V^2)}$.
Comme précédemment, on continue de noter $\mu = M/m$ le rapport des masses et on laisse le plaisir aux lecteurs de dériver [7] les formules donnant les nouvelles vitesses des particules juste après un choc élastique rectiligne entre elles :

\[V' = \frac{2\mu v Z + 2v - (1 + \mu^2)v^2V + (\mu^2-1)V}{2\mu Z - 2vV - (\mu^2-1)v^2 + (1 + \mu^2)}\]
et
\[v' = \frac{2\mu V Z + 2\mu^2 V - (1 + \mu^2)vV^2 - (\mu^2-1)v}{2\mu Z - 2\mu^2 vV + (\mu^2-1)V^2 + (1 + \mu^2)}.\]

Les expressions de ces formules sont notablement plus compliquées que celles dérivées dans le cadre newtonien (formules (1)) : en particulier, les nouvelles vitesses $V'$ et $v'$ ne s’expriment pas linéairement en fonction des vitesses $V$ et $v$.
Il n’y a donc plus de raison a priori que le nombre total $N$ de rebonds ne dépende que du rapport des masses $\mu$ et pas de l’autre paramètre en jeu, à savoir la valeur de la vitesse initiale de la particule blanche.

Deux remarques :

  • Dans le cas de faibles vitesses ($|v| \ll 1$ et $|V| \ll 1$), on retrouve les formules (1) en développant les expressions ci-dessus à l’ordre 1 en les vitesses (c’est-à-dire en ne gardant que les termes linéaires et en posant $Z=1$).
  • Comme dans le cadre newtonien, si $\mu=1$, le nombre total $N$ de rebonds est égal à 3 : c’est le même jeu de « carreaux » entre les particules et la bande, quelle que soit la valeur de la vitesse initiale de la particule blanche. En effet, on laisse le soin au lecteur de vérifier si $\mu=1$ et si $v=0$, alors $V'=0$ et $v'=V$ (et de manière réciproque, si $V=0$, alors $V'=v$ et $v'=0$).

Visualisons à présent les graphes de $N$ et $\log N$ en fonction respectivement de $\mu$ et $\log \mu$ pour différentes valeurs de la vitesse initiale $|V_0|$ de la particule incidente.

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.001$

PNG - 5.1 ko
PNG - 5.1 ko

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.1$

PNG - 5.3 ko
PNG - 6.3 ko

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.6$

PNG - 4.6 ko
PNG - 5.1 ko

Pour une vitesse initiale $|V_0|$ relativement faible, on retrouve sans surprise des comportements très semblables à ceux observés dans le cadre de la dynamique newtonienne.
Mais lorsque $|V_0|$ augmente, la fonction $\mu \mapsto N_{V_0}(\mu)$ devient plus compliquée...

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) pour différentes valeurs de $|V_0|$

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.001$

PNG - 5.1 ko
PNG - 5.1 ko

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.01$

PNG - 5.5 ko
PNG - 4.9 ko

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.1$

PNG - 5.3 ko
PNG - 6.3 ko

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.3$

PNG - 4.9 ko
PNG - 5.6 ko

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.6$

PNG - 4.6 ko
PNG - 5.1 ko

Graphes de $N$ (gauche) et $\log N$ (droite) en fonction de $\mu$ (resp. $\log \mu$) avec $|V_0|=0.9$

PNG - 4.3 ko
PNG - 5.7 ko

Ces différents graphes nous indiquent clairement que

  • le nombre total de rebonds $N$ dépend du rapport des masses $\mu$ et de la vitesse initiale $|V_0|$ ;
  • plus la vitesse initiale de la particule incidente est grande, moins le nombre total de rebonds est grand.
    En fait, on peut démontrer le fait suivant :

\[\forall \mu > 1 \quad \lim_{V \to 1} N = 4.\]

Ainsi, aussi massive que soit la particule incidente par rapport à la particule initialement au repos, si sa vitesse initiale est, en valeur absolue, proche de la vitesse limite 1, alors il n’y aura que 4 rebonds au total.

Presque-démonstration

Considérons une particule initialement lancée avec une vitesse proche de 1.
On part donc des conditions initiales suivantes :
\[V_0 \approx -1 \quad \text{et} \quad v_0 = 0, \quad \text{d'où} \quad Z \approx 0.\]

On calcule les vitesses des particules après la première collision entre elles :
\[V_1 \approx -\frac{\mu^2-1}{\mu^2 +1} \quad \text{et} \quad v_1 \approx -1, \quad \text{d'où} \quad Z \approx 0.\]

La particule initialement au repos va ensuite aller rebondir contre la bande.
Après ce rebond, les particules ont donc les vitesses suivantes :

\[V_2 = V_1 \approx -\frac{\mu^2-1}{\mu^2+1} \quad \text{et} \quad v_2 = -v_1 \approx 1, \quad \text{d'où} \quad Z \approx 0.\]

Puis on calcule les vitesses après la deuxième collision des particules entre elles :

\[V_3 \approx 1 \quad \text{et} \quad v_3 \approx -\frac{\mu^4-1}{\mu^4+1}, \quad \text{d'où} \quad Z \approx 0.\]

Puisque $\mu > 1$, on en déduit que $v_3 < 0$ : la particule initialement au repos va donc rebondir une deuxième fois contre la bande.
Après cette quatrième collision, les vitesses des deux particules sont alors :

\[V_4 = V_3 \approx 1 \quad \text{et} \quad v_4 = -v_3 \approx -\frac{\mu^4-1}{\mu^4+1} > 0.\]

Nous terminons cette incursion dans le domaine relativiste avec quelques graphes de $N$ en fonction de $|V_0|$ pour différentes valeurs du rapport des masses $\mu$ pour apprécier comment la fonction $|V_0| \mapsto N_{\mu}(|V_0|)$ décroît avec l’augmentation de la vitesse initiale $|V_0|$ de la particule incidente.

Graphes de $N$ en fonction de $|V_0|$ pour différentes valeurs de $\mu$ ($\mu = 2, 10, 50, 10^2, 10^3, 10^4$)

PNG - 3.7 ko
PNG - 3.5 ko
PNG - 5.1 ko
PNG - 4.4 ko
PNG - 5.6 ko
PNG - 6 ko

Nous laissons le soin aux lecteurs les plus motivés d’essayer de mieux comprendre le cas relativiste. Peut-on tirer d’autres informations des graphes précédents ou d’autres graphes ? Peut-on espérer donner une formule générale $N=N(\mu,V_0)$ ?

C’est en tout cas à ce dernier problème dans le cadre newtonien que nous donnons une réponse dans l’article Deux billes, une bande et des rebonds : dynamique continue et dynamique discrète. Peut-être certains y trouveront l’inspiration pour le cadre relativiste...

Post-scriptum :

Un très grand merci à Jos Leys pour les animations de cet article et celles de son article compagnon (à paraître), ainsi qu’à Pierre-Antoine Guihéneuf, Jérôme Pérez et amic pour leurs commentaires et remarques sur une première version de ce texte.

Article édité par Pierre-Antoine Guihéneuf

Notes

[2Galperin. Playing pool with $\pi$ (the number $\pi$ from a billiard point of view). Regular and chaotic dynamics. Vol. 8, p. 375-394 (2003).

[3Dobie et Rafat. Throwing $\pi$ at a wall. Article sur ArXiv (2019).

[4Les formules (1) permettent facilement de calculer le rapport de masse critique : si $0 < \mu \leq 1/3$, alors $N=2$ et si $1/3 < \mu \leq 1$, alors $N=3$. Notons que si $\mu = 0$, la bille rouge se comporte comme une bande : la bille blanche rebondit dessus sans la faire bouger et $N=1$ dans ce cas.

[5Ces simulations numériques ne prennent que quelques secondes sur un ordinateur standard : pour ce dernier, il ne s’agit que de faire un million de fois un tout petit calcul...

[6Une autre façon de le dire est de poser $c=1$ pour la vitesse de la lumière.

[7Les moins courageux pourront consulter l’article Elastic collision de Wikipédia.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Deux billes, une bande et des rebonds» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Carte postale ancienne illustrant le billard du château de Challain, par Georges Drouard (1867-1945)
Domaine public, Wikimedia Commons.

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?