Deux grandes avancées autour des nombres premiers

Piste rouge 12 juillet 2013  - Ecrit par  Bruno Duchesne Voir les commentaires (5)

A l’occasion de la publication de la série Le monde est mathématique, nous vous proposons de prolonger votre lecture du livre sur Les nombres premiers par une promenade mathématique. Ici nous décrirons deux avancées aussi récentes que spectaculaires dans la théorie des nombres premiers. Il s’agit des deux problèmes les plus célèbres de cette théorie : les nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach dont la longue histoire a été évoquée aux chapitres 2 et 3 du livre.

Les nombres premiers sont les briques élémentaires dans la construction du grand édifice des nombres entiers. Ils sont caractérisés par la propriété d’être plus grands que 2 (donc 1 n’est pas premier) et de n’être divisibles que par 1 et eux-mêmes. Les premiers de la liste sont $2,3,5,7,11,13,17,...$ N’importe quel nombre s’écrit comme un produit de nombres premiers. Par exemple \[132=2\times2\times3\times 11.\] De plus, cette décomposition est unique (si on écrit les nombres premiers par ordre croissant, par exemple [1]). C’est ce que l’on appelle le théorème fondamental de l’arithmétique et qui était déjà connu en Grèce antique.

De cette manière, les nombres premiers doivent être multipliés. Ce sont pourtant leurs propriétés additives, faisant appel à l’addition et la soustraction, qui déchaînent les passions bien qu’a priori ces propriétés sont contre-nature. Voici deux célèbres conjectures [2] qui portent sur une addition ou une soustraction de nombres premiers.

  • La conjecture de Goldbach [3] : Tout nombre entier plus grand que 2 s’écrit comme somme d’au plus trois nombres premiers. Par exemple $622=23+599$ et $23$ comme $599$ sont des nombres premiers.
  • La conjecture des nombres premiers jumeaux : Il existe une infinité de nombres premiers $p$ et $p'$ tels que $p'=p+2$ ; c’est-à-dire tels que $p'-p=2$.

Avant de donner plus de détails sur ces deux conjectures et les les progrès récemment annoncés, essayons d’avoir un peu plus d’intuition sur les nombres premiers et les difficultés de ces problèmes.

Chaos déterministe

Depuis Euclide, mathématicien de l’antiquité grecque, on sait qu’il existe une infinité de nombres premiers [4]. Les nombres premiers vérifient une règle simple, il ne sont pas divisibles par un nombre entier plus petit et différent de 1. C’est l’idée exploitée par le crible d’Erathostène, si on veut connaître tous les nombres premiers plus petits que $100$, on écrit tous les nombres jusqu’à $100$ et on suit l’algorithme suivant : on raye les multiples de 2 (autre que 2) puis on raye les multiples de 3 (autre que 3) et ainsi de suite. Les nombres qui n’ont pas été rayés sont exactement les nombres premiers [5].

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Une partie du crible d’Eratosthène

On connaît donc une méthode pour donner la liste des nombres premiers et cela est complètement déterministe. Il « suffit » de suivre la méthode donnée par Eratosthène pour connaître tous les nombres premiers. Cependant, si on cherche à donner une formule simple qui fournit le $n$-ième nombre premier on n’y arrive pas [6]. D’autre part, on ne connaît aucune propriété simple (autre que celle qui les définit) que satisferaient les nombres premiers. En dehors de ne pas être divisibles, les nombres premiers semblent avoir un comportement complètement chaotique [7].

Il semble que tout ce qui n’est pas évidemment interdit, se produit. Par exemple, rien n’interdit a priori qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers qui se suivent avec un écart de 2. Cela se produit-il vraiment ? Nous y reviendrons. Citons encore deux théorèmes à l’appui de cette thèse : les nombres premiers se répartissent aléatoirement par rapport aux progressions
arithmétiques [8] ou à la parité de la somme de leurs chiffres [9].

Depuis des siècles, comprendre la répartition des nombres premiers parmi les nombres entiers est un défi pour les mathématiques.

L’hypothèse de Riemann

Alors que naïvement, l’analyse ou la théorie des probabilités n’ont rien à voir avec les nombres premiers, ce sont ces dernières qui ont permis de grandes avancées. Un exemple incontournable est la fonction $\zeta$ (la lettre grecque « Zêta ») de Riemann qui est au coeur de la question de comprendre l’ordre de grandeur du $n$-ième nombre premier que l’on notera $p_n$. Il s’agit d’une somme avec une infinité de termes mais qui est finie pour $s$ assez grand !

\[\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\dots\]

Cette fonction prend des valeurs remarquables. Par exemple pour $s=2$, on obtient

\[\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots=\frac{\pi^2}{6}.\]

A priori, on ne voit pas le lien entre la fonction $\zeta$ et les nombres premiers. C’est dans la formule suivante que l’on commence à l’entrevoir. Cette formule a été découverte par Euler et découle directement du théorème fondamental de l’arithmétique.

\[\zeta(s)=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)}\times\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^s}\right)}\times\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^s}\right)}\times\dots\]

C’est en comprenant certaines propriétés de la fonction $\zeta$ que Hadamard et indépendamment La Vallée-Poussin ont démontré le

Théorème des nombres premiers  [10] : $p_n\simeq n\log(n).$

C’est-à-dire que $p_n$, qui est le $n$-ième nombre premier, est du même ordre de grandeur que $n\log(n)$ (où $\log(n)$ représente le logarithme népérien de $n$). Le théorème des nombres premiers ne donne pas une formule pour le $n$-ième nombre premier mais seulement un « comportement asymptotique ». Le $n$-ième nombre premier $p_n$ peut réaliser un écart plus ou moins grand par rapport $n\log(n)$ mais cet écart est petit relativement à la taille de $n\log(n)$.

Une autre manière d’énoncer ce théorème est de dire que la proportion de nombres premiers parmi les nombres entiers de $1$ à $n$ est approximativement $\frac{1}{\log(n)}$. Voici, pour différentes valeurs de $n$, la fraction $f(n)$ des nombres premiers plus petits que $n$ et $1/\log(n)$ :

\[f(100)=0,25\ \mathrm{et}\ 1/\log(100)\simeq 0,22\]
\[f(1000)=0,168\ \mathrm{et}\ 1/\log(1000)\simeq 0,14\]
\[f(100.000)=0,096\ \mathrm{et}\ 1/\log(100.000)\simeq 0,087\]
\[f(1.000.000.000)=0.051\ \mathrm{et}\ 1/\log(1.000.000.000)\simeq 0,048\]

L’accord entre le résultat exact et la formule asymptotique est d’autant meilleur que $n$ est grand. Remarquons en passant que s’il y a une infinité de nombres premiers, leur proportion tend vers zéro.

En termes probabilistes, lorsque l’on tire un nombre au hasard entre $1$ et $n$, la probabilité de tirer un nombre premier est $\frac{1}{\log(n)}$. Cette vision probabiliste a été formalisée dans le modèle de Cramér. Si on prend ce modèle au pied de la lettre, on voit qu’il est impossible de faire des prévisions sur les nombres premiers puisqu’ils sont aléatoires ! la seule chose que l’on puisse faire ce sont des statistiques. On peut y voir une analogie avec les lancers de pièce : on est incapable de prévoir si la pièce retombera sur pile ou face mais on sait qu’en moyenne, elle retombera autant sur pile que sur face. Statistiquement, $p_n$ ressemble à $n\log(n)$ mais bien malin qui dira qui est $p_n$ pour $n$ très grand.

Selon le modèle de Cramér, il est difficile de prévoir quelle est la valeur de $p_n$ mais ce modèle a aussi aspect plus positif. Si une propriété a une probabilité non nulle de se produire alors si on attend suffisamment longtemps, cette propriété va bien se réaliser ! De cette manière, le modèle de Cramér est un merveilleux outil pour aiguiser son intuition et fabriquer des conjectures.

Pour en revenir à la fonction $\zeta$, celle-ci a pris tellement d’importance pour l’étude des nombres premiers que celle ou celui qui comprendra la propriété cruciale de la fonction $\zeta$ remportera un million de dollars. L’énoncé précis a été formulé par Riemann en 1859. C’est ce que l’on appelle désormais l’hypothèse de Riemann et qui fait parti des prix du millénaire dotés d’un million de dollars [11]. La vérification de l’hypothèse de Riemann montrerait que l’approximation de $p_n$ par $n\log(n)$ est meilleure que ce que nous savons jusqu’à ce jour.

Précisions sur l’hypothèse de Riemann [12]

La fonction $\zeta$ peut être définie sur tout le plan complexe sauf au point $1$. C’est en montrant que $\zeta(s)\neq0$ pour tout nombre complexe $s$ de partie réelle égale à $1$ que le théorème des nombres premiers a été obtenu. On appelle zéros de $\zeta$, les nombres complexes $s$ tels que $\zeta(s)=0$ L’énoncé précis est le suivant.

Hypothèse de Riemann :

Les zéros de $\zeta$ sont de la forme $−2k$ avec $k$ entier positif ou ont une partie réelle égale à $\frac{1}{2}$.

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Zêta
La fonction $\zeta$ le long de l’axe critique Re$(z)=\frac{1}{2}$

Difficile de dire quelque chose sur les zéros de $\zeta$ en regardant seulement le graphe de $|\zeta(x+iy)|$.

Revenons aux deux conjectures ci-dessus. Celles-ci ont plus d’un siècle et malgré leur renommée, personne n’a encore réussi à les prouver. Alors, dans cette situation, il est tentant et souvent fructueux, d’essayer de montrer un résultat qui va dans le même sens mais qui est moins fort. On parle de conjecture faible.

Conjecture des nombres premiers jumeaux

Parmi deux nombres consécutifs, c’est-à-dire de la forme $p$ et $p+1$, au moins un d’entre eux est pair. Le seul nombre premier pair est $2$ donc $p=2$ et $p+1=3$. Autrement dit la différence entre deux nombres premiers (autre que $2$ et $3$) est au moins $2$. Comme la proportion de nombres premiers devient de plus en plus petite quand on regarde de grands entiers ($1/\log(n)$ tend vers $0$ quand $n$ devient grand), on peut s’attendre à ce que l’écart entre deux nombres premiers devient de plus en plus grand et c’est ce qui arrive le plus souvent. Le comportement asymptotique donné par le théorème des nombres premiers suggère que l’écart entre $p_n$ et $p_{n+1}$ est de l’ordre de $\log(n)$. Cependant le caractère chaotique de leur répartition donne l’intuition qu’il existe une infinité de nombres premiers dont la différence est 2. En effet, il n’y a pas de contradiction évidente avec le fait que ces nombres soient premiers. La proximité de tels nombres premiers fait qu’on les appelle jumeaux.

Parmi les nombres premiers inférieurs à $100$, quinze ont un jumeau :
\[(3,5),\ (5,7),\ (11,13),\ (17,19),\ (29,31),\ (41,43),\ (59,61),\ (71,73)\]
et seulement dix n’en ont pas :
\[2,\ 23,\ 37,\ 47,\ 53,\ 67,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97.\]

La proportion de jumeaux est donc de 60%. Le graphique ci-dessous représente la proportion de nombres premiers possédant un jumeau parmi les nombres premiers plus petits que $10^n$ pour $n$ allant de 1 à 8.

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Proportion de nombres jumeaux parmi les nombres premiers

Les mathématiciens pensent que si cette proportion devient arbitrairement petite, ces
nombres sont inépuisables :

Conjecture des nombres premiers jumeaux : Il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $p+2$ est aussi un nombre premier.

L’approche probabiliste de Cramér suggère l’idée suivante.

Heuristique probabiliste :

  1. Fixons un entier $n$.
  2. La probabilité qu’un entier $m\leq n$ soit premier est à peu près $\frac{1}{\log(n)}$.
  3. La probabilité que $m+2$ soit premier est aussi à peu près $\frac{1}{\log(n)}$.
  4. Ces évènements étant supposés indépendants, la probabilité que $m$ et $m+2$ soient premiers est à peu près $\frac{1}{\log(n)^2}$, c’est-à-dire qu’il y a environ $\frac{n}{\log(n)^2}$ paires de nombres premiers jumeaux plus petits que $n$.
  5. Comme $\frac{n}{\log(n)^2}$ tend vers l’infini quand $n$ devient grand, il y a une infinité de nombres premiers jumeaux !

Cet argument, qui n’en est pas un, a comme défaut de reposer sur l’indépendance (supposée dans le modèle de Cramér) des deux évènements « $m$ premier » et « $m+2$ premier ». En fait le même argument avec $m$ et $m+1$ devrait marcher et nous avons vu que ce n’était pas possible ! [13]

La conjecture des nombres premiers jumeaux daterait de l’époque d’Euclide. Une première étape vers la conjecture des jumeaux serait déjà de montrer qu’il existe un écart fini pour une infinité de nombres premiers.

Conjecture faible des nombres premiers jumeaux : Il existe un entier $k$ et une infinité de nombres premiers $p$ tels que parmi les entiers entre $p+1$ et $p+k$, il y a au moins un nombre premier.

Yitang Zhang vient de prouver que la conjecture faible des nombres premiers jumeaux est vraie pour $k=70\, 000\, 000$ ! Son article [14] a été accepté dans la prestigieuse revue Annals of Mathematics après vérification par des experts reconnus dans le domaine. L’anciennement conjecture faible des nombres premiers jumeaux s’appelle désormais théorème de Zhang !

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Yitang Zhang

Les résultats mathématiques majeurs sont souvent la suite d’autres résultats moins frappants et dans le cas présent, Zhang a réussi à utiliser une nouvelle idée et à la combiner avec des résultats précédents, notamment celui de Goldston, Pintz et Yιldιrιm en 2005.

Théorème Goldston, Pintz et Yιldιrιm

Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une infinité d’indices $n$ tels que \[p_{n+1}-p_n<\varepsilon\log(n).\]

Ces derniers se disaient eux-mêmes « à un cheveu » de montrer la conjecture faible des nombres jumeaux. Cependant, ce cheveu les séparait bel et bien du résultat. Le nombre $70\,000\,000$ est énorme alors que l’on voudrait obtenir $k=2$. Si un jour la conjecture des nombres premiers jumeaux est prouvée, le chemin jusqu’à une preuve sera sûrement long. [15]

Conjecture de Goldbach

On peut former tous les nombres entiers en multipliant les nombres premiers entre eux mais peut-on faire la même chose en les additionnant ? Bien sûr, si on s’autorise autant d’additions que l’on veut, cela ne sera pas dur [16]. Peut-on alors le faire avec un minimum d’additions ? Remarquons tout d’abord qu’un nombre pair non premier est la somme d’au moins deux nombres premiers et il y a des nombres impairs non premiers qui ne sont pas la somme de deux nombres premiers. Voici la conjecture énoncée par Goldbach en 1742 [17].

Conjecture de Goldbach : Tout nombre entier plus grand que 2 est somme d’au plus trois nombres premiers.

Euler avait tout de suite remarqué qu’il suffisait de prouver que tout nombre pair plus grand que 4 est la somme de deux nombres premiers. A priori, il est donc plus facile de s’occuper du cas des nombres impairs en premier. De plus, on ne peut pas faire mieux que trois nombres premiers pour les nombres impairs, par exemple $27=3+5+19$ mais on ne peut pas écrire $27$ comme la somme de deux nombres premiers [18].

Conjecture de Goldbach pour les nombres impairs : Tout nombre impair plus grand que 3 est somme d’au plus trois nombres premiers.

C’est ce dernier résultat que vient d’annoncer Harald Helfgott [19].

Le premier résultat dans cette direction est le résultat suivant.

Théorème de Schnirelmann, 1930 : Il existe un entier $N$ tel que tout nombre entier plus grand que 2 s’écrit comme somme d’au plus $N$ nombres premiers.

La preuve originale de Schnirelmann ne donnait pas de valeur précise pour $N$, seulement son existence. La première valeur possible pour $N$ fut $6\times 10^9$ ce qui a été montré par Klimov en 1969. Depuis, la constante a été améliorée un certain nombre de fois [20] jusqu’à $N=7$ par Ramaré en 1995 [21] puis $N=6$ l’année dernière par Terence Tao [22].

Ce que vient d’annoncer Helfgott, c’est que pour les nombres impairs $N=3$ fonctionne. Comme nous l’avons écrit ci-dessus, ce résultat est optimal pour les nombres impairs. De plus, cela implique par la même occasion que tout nombre entier s’écrit comme la somme d’au plus $4$ nombres premiers. En effet, si $n$ est un nombre pair alors $n-3$ est impair et s’écrit comme la somme de trois nombres premiers $p,p'$ et $p''$. Ainsi, $n=3+p+p'+p''$.

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Harald Helfgott
devant la fontaine de l’Ecole Normale Supérieure de Paris.

Points communs et différences entre ces deux nouveaux résultats

Les deux résultats que nous venons d’évoquer ont de grandes similarités par certains aspects. Ce sont deux résultats frappants, concernant des versions faibles de conjectures très célèbres sur les nombres premiers. Ils reposent tous les deux sur des méthodes développées au préalable que Helfgott et Zhang ont améliorées de manière impressionnante. De plus, la diffusion de ces résultats a eu lieu le même jour (14 mai 2013).

Cependant, cette grande proximité ne fait que rendre plus frappantes les différences entre les deux contextes.

Harald Helfgott, trente six ans, fait une carrière académique remarquable marquée par des prix internationaux et des publications prestigieuses. Depuis l’année dernière et un premier papier qu’il a écrit autour de la conjecture de Goldbach pour les nombres impairs, on savait que le problème avait de bonnes chances d’être résolu à plus ou moins court terme. Le nouveau papier est disponible en accès libre sur le serveur standard de prépublication Arxiv.org. La longueur du papier (plus de cent trente pages) et l’enjeu rendront sûrement long le processus de confirmation et de publication du résultat.

Yitang Zhang est plutôt un mathématicien resté dans l’ombre jusqu’au mois de mai 2013 et qui avait d’ailleurs eu des difficultés à trouver un emploi auprès d’une université, faisant divers emplois peu qualifiés avant d’obtenir un poste. Zhang n’est plus un jeune mathématicien (il a dépassé la barre fatidique des 40 ans [23] depuis une dizaine d’années) et il a surpris tout le monde, en concrétisant une approche que d’autres avaient tentée mais pas réussie. De plus, il n’a pas procédé comme le font souvent les mathématiciens en rendant public une prépublication puis en soumettant l’article à une revue mathématique. Il a préféré envoyer son texte directement au journal Annals of Maths. Celui-ci est resté secret jusqu’à son acceptation qui n’a pris qu’un peu plus d’un mois, ce qui est très exceptionnel pour ce type d’article.

Deux contextes différents pour deux grandes avancées !

Post-scriptum :

L’auteur remercie Jérôme Buzzi, DAAMOUCH, Cécile Dartyge, Laurent Dietrich, Daniel Massart et Quentin pour leur lecture attentive et leurs remarques qui ont amélioré ce texte.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1C’est d’ailleurs pour avoir cette unicité que $1$ n’est pas premier.

[2Une conjecture est un énoncé que l’on pense être vrai mais que l’on ne sait pas démontrer.

[3On pourra aussi consulter l’article sur ce même site La conjecture de Goldbach .

[4S’il n’y avait qu’un nombre fini $n$ de nombres premiers qui seraient $p_1, p_2,\dots, p_n$ alors on aurait une contradiction car le nombre $k=p_1\times p_2\times\dots\times p_n+1$ doit être divisible par un nombre premier mais $k$ n’est divisible par aucun $p_i$.

[5Voir les chapitres 1 et 2 du livre Les nombres premiers pour plus de détails sur le crible d’Eratosthène ou la page Wikipedia.

[6Voir la page wikipedia qui traite de formules pour les nombres premiers.

[7Ce qui donne son titre au livre Les nombres premiers, entre l’ordre et le chaos de Michel Mendès France et Gérald Tenenbaum sorti en 2010, qui est une version totalement réécrite du Que Sais-Je ? Les nombres premiers.

[8Voir par exemple, l’article Nombres premiers et progressions arithmétiques.

[9C.Mauduit et J. Rivat ont montré il y a quelques années que les nombres premiers dont la somme des chiffres est un nombre pair forment une proportion $1/2$ de tous les nombres premiers.

[10Ce résultat était conjecturé par Gauss, comme cela est expliqué dans le chapitre 5 du livre Les nombres premiers.

[11Les prix du millénaires sont au nombre de sept. Un d’entre eux a été résolu par Perelman qui a refusé le prix.

[12Voir aussi le chapitre 6 du livre Les nombres premiers.

[13On peut raffiner le modèle de Cramér pour éviter ce genre de problème et on obtient que si $\pi_2(n)$ est le nombre de nombres premiers jumeaux plus petits que $n$ alors \[\pi_2(n)\simeq 2\prod_{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right)\frac{n}{\log(n)^2}.\] Le nombre $\Pi_2=2\prod_{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right)$ est appelé constante des jumeaux. C’est un cas particulier de la conjecture de Hardy-Littlewood.

[15Le projet collaboratif Polymath8 s’est donné pour objectif de trouver la plus petite constante $k$ possible. Le record vérifié en date du 30 juin 2013 est semble-t-il $12006$.

[16En effet, si $n$ est un nombre pair alors il s’écrit $n=2+\dots+2$ avec $n/2$ fois le nombre $2$ et si $n$ est impair, on lui retranche $3$ et l’on se ramène au cas d’un nombre pair.

[17On pourra consulter l’article La conjecture de Goldbach .

[18Si N est un entier impair, si N est premier alors c’est la somme d’un seul nombre premier (!), sinon, si
c’était la somme de deux nombres premiers, ceux-ci ne pourraient pas être tous les deux impairs, donc l’un serait
égal à 2 et l’autre à N-2. N=27 est le plus petit contre-exemple ni 27, ni 25 n’étant premiers.

[19Nous en avions déjà parlé dans le billet La conjecture de Goldbach pour les nombres impairs.

[20On pourra se référer à la page Wikipedia pour plus de détails historiques.

[21Son article dont l’introduction retrace quelque peu l’histoire est librement accessible.

[22L’article a été accepté au journal Mathematics of Computation.

[23Limite d’âge pour pouvoir prétendre à la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques.

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Pour citer cet article :

Bruno Duchesne — «Deux grandes avancées autour des nombres premiers» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Le logo représente une spirale d’Ulam. Image en provenance de Wikipedia par Cortexd (Image générée en PHP avec la bibliothèque GD.) [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons
Zêta - Le graphique a été réalisé avec Mathematica
Harald Helfgott - Harald Helfgott

Commentaire sur l'article

  • Deux grandes avancées autour des nombres premiers

    le 13 juillet 2013 à 11:06, par Daniele Turchetti

    Merci pour cet article intéressant sur une question si facile à énoncer et si difficile à démontrer.

    Avec le résultat de Helfgott, la conjecture de Goldbach pourrait être montrée si on avait un critère (même très faible) pour déterminer quand la somme de trois nombres premiers est somme de deux nombres premiers. J’imagine que ce n’est pas plus facile à aborder ; je me demande pourtant si quelqu’un a déjà montré des résultats en cette direction.

    Répondre à ce message
  • Deux grandes avancées autour des nombres premiers

    le 13 juillet 2013 à 11:17, par yann.grizonnet

    L’évolution des mathématiques est passionnante. Il est très stimulant de voir que des questions aussi élémentaires puissent présenter autant de difficulté.
    Il est encore plus remarquable que les notions mathématiques élaborées au fil du temps nous donne accès prioritairement à leur beauté avant leur compréhension profonde.

    Répondre à ce message
  • Deux grandes avancées autour des nombres premiers

    le 13 juillet 2013 à 14:04, par mahfoud

    la difficulté de trouver des preuves provient-elle du fait que l’on traite tous les nombres premiers de la même façon ? Pourquoi les nombres premiers de la forme 6k+1 auraient-ils les mêmes propriétes que ceux dont la forme est 6k-1 ?

    Répondre à ce message
  • Mon angle d’attaque de la conjecture de Goldbach

    le 19 septembre 2013 à 17:44, par FRANCILLETTE

    C’est facile d’ignorer cette tentative de démonstration...Mais indiquez moi à quel niveau elle est inexacte !

    http://matreadel.over-blog.com/article-conjecture-de-goldbach-francillette-demo-112443468.html

    Répondre à ce message
  • Deux grandes avancées autour des nombres premiers

    le 2 février 2014 à 13:38, par mustapha

    Bonjour,
    Si vous voulez connaitre la répartition des nombres premiers, les lois qui régissent leurs distribution et plus encore, je vous conseil de visiter mon site :
    https://sites.google.com/site/loqiquedespremiers/

    Répondre à ce message

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