Devoirs de vacances

Le 22 août 2011 - Ecrit par Christine Huyghe Voir les commentaires (5)
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Deux questions à propos des mouches bioniques.

Devoirs de vacances

Non, il n’est pas trop tard pour remettre ses méninges en ordre de marche avant la
rentrée scolaire. Et comme l’été, il n’y a pas que des
papillons, mais
aussi des mouches -que nous prendrons ici bioniques-, voici deux questions
concernant ces insectes horripilants et infatigables que sont les mouches.

La première.

Une mouche bionique vole à $3$ mètres par seconde. A quelle vitesse vole-t-elle en
kilomètres par heure ?

Et la deuxième.

La distance Paris-Marseille est évaluée à $720$ km.
Deux trains TGV partent à $10$h, le premier de Paris vers Marseille, le second de Marseille
vers Paris. Tous deux roulent à une vitesse moyenne de $360$ km/h.
Une mouche bionique installée à $10$h sur la motrice du premier train part en direction du
second à la vitesse de $720$ km/h. Elle fait demi tour quand elle rencontre le deuxième train et repart vers le premier, ainsi de suite jusqu’à ce qu’elle se fasse écraser quand les deux trains se croisent.

D’où la question qui fait mouche :
quelle distance la mouche aura-t-elle parcouru ? En combien de temps ?

Et enfin, plus difficile, accessible à un niveau de fin de terminale
scientifique :
on note $d_i$ la distance parcourue par la mouche la $i$-ème fois que
la mouche rencontre un train. Donner $d_i$ en fonction de $i$ et retrouver
la réponse précédente.

Signalons tout de suite que cette deuxième question n’est pas de
moi, ni même tirée d’un dessin animé de Tex Avery (ce qui est dommage), mais d’un énoncé de devoir maison, comme on dit, posté sur la toile
par une élève de terminale scientifique désemparée devant cette mouche bionique et qui appelait
au secours pour avoir une solution.
Mais, comme me l’a indiqué Etienne Ghys, il s’agit d’une énigme bien
connue, et qu’aurait résolue de façon spectaculairement
rapide le mathématicien von Neumann [1]. Que notre élève se rassure donc, elle est en bonne
compagnie !


Le robot mouche Octave

Signalons enfin que les mouches bioniques
existent bel et bien et que des chercheurs français en ont construit des prototypes [2], comme le robot
Octave, spécialisé dans la vision, dont la photographie est reproduite ci-dessus et qui vole à la vitesse de $3$ mètres par seconde. La mouche bionique qui vole à $720$ km/h reste encore à inventer.

Post-scriptum :

Je remercie Etienne Ghys pour ses informations concernant cette énigme, qui m’était, je dois le dire, inconnue.

Notes

[1] A l’époque, les trains ne roulaient pas à grande vitesse, de sorte que la mouche n’avait pas besoin d’être
bionique.

[2] Ces prototypes font même l’objet de brevets. Comme la formulation de l’article du journal du CNRS
est un peu ambiguë sur ce point, rappelons que si on peut breveter
un robot, la science, elle, n’est pas brevetable, du moins pas encore.

Commentaire sur l'article

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le 22 août 2011 à 09:29, par Bernard Hanquez

Ce problème est effectivement un classique des jeux mathématiques. Il figure page 55 dans le livre de G. Gamow et M. Stern « Jeux Mathématiques » publié en 1959 chez Dunod (mon premier livre non scolaire de mathématiques).

Le problème y est présenté sous le nom du « problème du bourdon ». A cette époque les trains roulaient à 80 km/h, les gares distantes de 160 km et le bourdon volait à 100 km/h.

Dans l’exposé de la solution, il y est fait allusion au fait que Von Neumann l’aurait résolu en quelques secondes par le calcul de la série infinie.
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le 29 août 2011 à 08:55, par Bernard Hanquez

J’avais oublié les solutions !!!

Question 1 : si la mouche bionique parcourt 3 m en une seconde, en une heure elle aura parcouru 3x3600 = 10800 m. Elle vole donc à 10,8 km/h

Question 2 : les 2 TGV roulant à 360 km/h, leur vitesse relative est de 720 km/h. Ils se rencontreront donc au bout d’une heure et la mouche aura alors parcouru 720 km.

Le régulateur de la SNCF, toujours pragmatique et qui n’est pas mathématicien, prend son graphique de marche des trains (le temps en abscisse et les distances en ordonnée) et trouve instantanément où et quand les deux TGV se croisent et en déduit facilement la distance parcourue par cette mouche bionique.

Question 3 : je n’ai pas pratiqué les séries infinies depuis plus de 40 ans. Je laisse donc l’honneur à quelqu’un d’autre de nous donner la solution. Et puis pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple !
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le 6 septembre 2011 à 18:24, par Christine Huyghe

Merci pour tous ces compléments.

C. Huyghe.
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le 20 septembre 2011 à 10:18, par Antoine Chambert-Loir

J’ai profité d’une journée de vacances « volée » à mon emploi du temps pour m’amuser de ces mouches.

Il faudrait faire l’expérience avec la variante de l’exercice qui aurait consisté à poser les deux questions dans l’ordre inverse : 1/ Combien de temps a volé la mouche ? 2/ Quelle distance a-t-elle parcouru ?

Cela dit, si la mouche, même bionique, se fait écraser par les deux trains lorsqu’ils se croisent, c’est qu’ils roulent sur la même voie... « Aucun animal n’a été maltraité durant la résolution de cet exercice... »
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le 3 novembre 2011 à 13:01, par florian

Bonjour,
je viens de publier (juste pour le plaisir) une solution détaillée au problème du bourdon, revisité par mes soins.
C’est par ici : http://goutte-de-science.net/blog/le-probleme-du-bourdon-revisite/
Avis aux lecteurs intéressés, il y a deux questions subsidiaires, tout à la fin de l’article ;)
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L'auteur

Christine Huyghe

Chargée de recherche au CNRS Université de Strasbourg

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