Diccionario y estructuras fractales

Le 28 décembre 2008  - Ecrit par  Annick Lesne
Le 22 avril 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Al buscar una palabra en el diccionario, veo una vez más la manera ingeniosa en la que están ordenadas, lo cual permite encontrar la que uno busca tan rápidamente. La idea es simple y maravillosa : se comienza por clasificar las palabras según su primera letra, siguiendo el orden alfabético. Todas las palabras que comienzan con A vendrán antes que todas aquellas que comienzan por B, y estas a su vez antes que las que comienzan por C. Luego, en cada uno de esos grupos que tienen la misma letra inicial, se considera la segunda letra : todas las palabras ABxxx vendrán antes que todas las palabras ACxxx... Y así sucesivamente, hasta que todas las letras de la palabra hayan sido comparadas una por una con las de las otras palabras, tomando la ausencia de letra como ’’letra 0’’ del alfabeto : ’’al’’ viene antes que ’’ala’’ ; ’’a’’ es definitivamente la primera palabra del diccionario, y la onomatopeya ’’zzz....zzz’’ tiene todas las chances de quedarse por mucho tiempo como la última.

Lo más notable es que las potencialidades de esta clasificación sean infinitas : no importa cuál sea la palabra extranjera, neologismo, palabra inventada, nombre propio... ella va a encontrar su lugar, único, en medio de las palabras familiares ya catalogadas. Que esta infinidad de palabras potenciales, futuras, imaginarias, aleatorias, tenga su lugar entre dos palabras existentes recuerda esa novela de Jorge Luis Borges, El Libro de Arena, que describe un fabuloso libro que oculta una infinidad de páginas entre dos de ellas. ¡Una bella imagen de la recta real ! Y de hecho, este orden del diccionario tiene un estatus matemático, bajo el nombre de orden lexicográfico, ligado a la noción de continuo. Es utilizado para construir un orden sobre secuencias finitas, partiendo de un orden sobre el conjunto de donde son tomados los elementos de esas secuencias, exactamente como el orden alfabético nos permite decir si una palabra viene antes que otra. Si se incluye ahí las palabras de longitud infinita, obtenemos un conjunto que tiene la potencia de lo continuo. En particular, el orden natural sobre los números reales de intervalo [0,1] corresponde al orden lexicográfico para las secuencias de sus decimales : 0,133 es inferior a 0,134 y el número 0,1333333 .... (donde la última cifra se repite hasta el infinito) está comprendido entre los dos anteriores.

¿Y el vínculo con las estructuras fractales anunciado en el título ? Vamos a considerar el conjunto de Cantor más simple, que se califica como ’’triádico’’. Es obtenido mediante el siguiente procedimiento : se parte del intervalo (al inicio [0,1]), que se subdivide en tres partes iguales, y se retira la del medio. Las dos partes conservadas, [0,1/3] y [2/3, 1], son a su vez subdivididas en tres partes iguales, de las que se retira la del medio, lo que da cuatro intervalos de longitud 1/9. Y así sucesivamente, hasta el infinito. En el límite, el resultado de este procedimiento recursivo es un conjunto muy lacunar, de medida (masa) nula, de interior vacío (no contiene intervalos), pero no enumerable. El orden lexicográfico está entonces estrechamente ligado a la manera de dar la dirección de un punto sobre este conjunto de Cantor : en cada subdivisión, se atribuye la etiqueta 0 a las partes izquierdas y la etiqueta 1 a las partes derechas (las partes que uno conserva). Por ejemplo, los puntos de la parte del conjunto de Cantor contenida en [2/9, 1/3] tendrán todos una dirección que comienza con ’’01’’. Y es así como se muestra que el conjunto de Cantor puede ser colocado en correspondencia con el conjunto de los reales del intervalo [0,1]. En efecto, se puede representar cada número real del intervalo por una secuencia de 0 y de 1, donde las cifras sucesivas vienen en factor de una potencia creciente de 1/2, exactamente como los decimales familiares vienen en factor de una potencia creciente de 1/10. Tal como esas potencias de 1/10 justifican el nombre de ’’decimales’’, el desarrollo de un número real de [0, 1] en potencia de 1/2 se llama su ’’desarrollo diádico’’, tomando prestado esta vez del griego y ya no del latín. Y por intermedio de ese desarrollo, cada punto del conjunto de Cantor, mediante su dirección, representa un número real del intervalo [0,1].

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Diccionario y estructuras fractales » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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Image à la une - https://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch

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