Un desafío por semana

Diciembre 2016, cuarto desafío

Le 23 décembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 23 décembre 2016
Article original : Décembre 2016, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 52 :

Sobre un tablero de ajedrez, una torre se encuentra en la esquina inferior izquierda. Dos jugadores se turnan para mover la torre, la cual puede desplazarse todas las casillas que deseen, pero solo horizontalmente hacia la derecha, o verticalmente hacia arriba. El jugador que la haga llegar a la esquina superior derecha gana. Determine una estrategia ganadora para este juego.

Solución del tercer desafío de diciembre :

Enunciado

La respuesta es $36$ números.

Observemos que :

$3 = 1+2$

$6 = 1+2+3$

$10 = 1+2+3+4$

$15 = 1+2+3+4+5,$

es decir, el $n$-ésimo número de la sucesión es igual a $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. El último número que Paula escribió es un número que tiene sus tres dígitos iguales, por lo que podemos escribirlo de la forma :

$100\times a+10\times a+a = 111\times a,$

donde $a$ es un dígito. Tenemos entonces :

$\frac{n(n+1)}{2}=111\times a= 3\times 37 \times a.$

Como $37$ es un número primo, este tiene que dividir a $n$ o $n+1$. Además, $a \leq 9$, por lo que $n(n+1)\leq 2\times111\times 9=1998$, de donde $n<45$. Tenemos entonces dos posibilidades : $n=37$ o $n+1=37$.

Si $n=37$, tenemos $\frac{37\times 38}{2}=703$, el cual no tiene dígitos iguales. Si $n+1=37$, tenemos $\frac{36\times 37}{2}=666$, lo que corresponde al número buscado. Paula escribe entonces $36$ números, siendo el último de estos $666$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Diciembre 2016, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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