Enunciado

La respuesta es $34$.

Comencemos observando que para dos números reales $x, y$, siempre tenemos que $x^2 + y^2 \geq \frac{(x+y)^2}2$. En efecto, al desarrollar la desigualdad $(x-y)^2 \geq 0$, obtenemos $x^2 + y^2 \geq 2 xy$. Luego

$2 x^2 + 2 y^2 \geq x^2 + 2xy + y^2,$

lo cual es equivalente a la desigualdad que queríamos demostrar.

Por lo tanto, tenemos

$(a+b+c+d)^2 + (e+f+g+h)^2 \geq \frac 12 (a+b+c+d+e+f+g+h)^2$

$ = \frac 128^2\, = \, 32.$

Sin embargo, es fácil ver que la única manera de obtener $32$ como la suma de dos cuadrados es $32 = (\pm 4)^2 + (\pm 4)^2$, y que no hay ninguna manera de repartir los números del enunciado en dos conjuntos de cuatro elementos cuya suma sea $\pm 4$.

Además, como hay cuatro números impares en el conjunto, los números $a+b+c+d$ y $e+f+g+h$ comparten necesariamente la misma paridad. Sucede entonces lo mismo con sus cuadrados $(a+b+c+d)^2$ y $(e+f+g+h)^2$, lo que implica que su suma es par.

Lo anterior muestra que $(a+b+c+d)^2 + (e+f+g+h)^2 \geq 34$. De hecho, es posible obtener la igualdad, escogiendo por ejemplo, $a = 13$, $b=-7$, $c=-5$, $d=2$, $e=-3$, $f=-2$, $g=4$ y $h=6$. Por lo tanto, el valor mínimo buscado es $34$.