Enunciado

La respuesta es $2$, $5$ y $8$ años.

Sean $x$, $y$ y $z$ las edades de los tres niños. Tenemos

$(x+1)(y+1)(z+1) -xyz = xy+ xz+yz+ x+y+z +1=82$

$(x+2)(y+2)(z+2) -xyz = 2(xy+ xz+yz)+ 4(x+y+z) +8=200.$

Al restar el doble de la primera ecuación a la segunda obtenemos

$2(x+y+z)=(200-8)-2(82-1)= 30,$

de donde $z=15-(x+y)$. Por lo tanto

$xy+xz+yz = 82-1-15=66$

$xy+x(15-(x+y))+y(15-(x+y)) = 66$

$15(x+y)-(x+y)^2 = 66 -xy$

$(x+y)^2-15(x+y)+(66-xy) = 0.$

Sean $A=x+y$ y $B=66-xy$. La última ecuación se puede reescribir como $A^2-15A+B=0$. Resolviendo esto, obtenemos

$A=\frac{15\pm\sqrt{225-4B}}{2}.$

Sea $C=225-4B$. Como queremos que $A$ sea un número entero y $B\geq 0$, $C$ debe ser el cuadrado de un número entero impar menor o igual a $225$. Suponiendo que $x \leq y$, podemos analizar todos los casos posibles:

• Si $C=1$, entonces $B=\frac{224}{4}=56$, de donde $xy=66-56=10$ y

$x+y=\frac{15\pm 1}{2},$

lo cual vale $7$ u $8$. Como $10=1\times 10=2\times 5$, tenemos como única solución posible: $(x,y)=(2,5)$ y $z=15-7=8$.

• Si $C=9$, entonces $B=\frac{216}{4}=54$, de donde $xy=12$ y

$x+y=\frac{15\pm 3}{2},$

lo cual vale $6$ o $9$. Como $12=1\times 12=2\times 6=3\times 4$, aquí no hay solución.

• Si $C=25$, entonces $B=\frac{200}{4}=50$, de donde $xy=16$ y

$x+y=\frac{15\pm 5}{2},$

lo cual vale $5$ o $10$. Como $16=1\times 16=2\times 8=4\times 4$,
tenemos como única solución posible: $(x,y)=(2,8)$ y $z=15-10=5$.

• Si $C=49$, entonces $B=\frac{176}{4}=44$, de donde $xy=22$ y

$x+y=\frac{15\pm 7}{2},$

lo cual vale $4$ u $11$. Como $22= 1\times 22 =2\times 11$, aquí no hay solución.

• Si $C=81$, entonces $B=\frac{144}{4}=36$, de donde $xy=30$ y

$x+y=\frac{15\pm 9}{2},$

lo cual vale $3$ o $12$. Como $30=1\times 30=2\times 15=3\times 10=5\times 6$, aquí no hay solución.

• Si $C=121$, entonces $B=\frac{104}{4}=26$, de donde $xy=40$ y

$x+y=\frac{15\pm 11}{2},$

lo cual vale $2$ o $13$. Como $40=1\times 40=2\times 20=4\times 10 =5\times 8$, tenemos como única solución posible: $(x,y)=(5,8)$ y $z=15-13=2$.

• Si $C=169$, entonces $B=\frac{56}{4}=14$, de donde $xy=52$ y

$x+y=\frac{15\pm 13}{2},$

lo cual vale $1$ o $14$. Como $52=1\times 52=2\times 26=4\times 13$, aquí no hay solución.

• Si $C=225$, $B=0$ de donde $xy=66$ y $xz+yz=66-xy=0$. Entonces $z=0$ y $x+y=15$. Como $66=1\times 66=2\times 33=3\times 22=6\times 11$, aquí no hay solución.

Por lo tanto, los niños tienen $2$, $5$ y $8$ años.