Un desafío por semana

Diciembre 2017, quinto desafío

El 29 diciembre 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 29 diciembre 2017
Artículo original : Décembre 2017, 5e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 52 :

¿Cuántos números enteros entre $1$ y $2017$ pueden ser escritos como la suma de al menos dos potencias distintas de $3$?

Solución del cuarto desafío de diciembre:

Enunciado

La respuesta es $5$ números.

Sea $ab$ un entero simpático de dos dígitos $a$ y $b$. Por definición tenemos $ab=k\times a\times b$, con $k$ un número entero positivo. Usando la notación decimal de $ab$ podemos escribir:

$10a+b = k\times a\times b$

$b =a(k\times b-10),$

Hemos deducido que $b$ es un múltiplo $a$, es decir, que $b=a\times r$, con $r$ un entero tal que $1\leq r\leq 9$. Reemplazando obtenemos: $a(k\times b-10) = a \times r$, y entonces, $r=k\times b-10$. Luego, tenemos $r+10=k\times a\times r$, de donde $r(k\times a-1)=10$. En particular, $r$ es un divisor de $10$, es decir, $r=1, 2$ o $5$.

  • Si $r=1$, entonces $k\times a=11$. Ya que $a$ es un dígito, $a=1$ y $k=11$, por lo que $ab=11$.
  • Si $r=2$, entonces $k\times a=6$ y $b=2\times a$, por lo que $ab$ es igual a $12, 24$ o $36$.
  • Si $r=5$, entonces $k\times a=3$ y $b=5\times a$, por lo que la única posibilidad es $ab=15$.

Por lo tanto, existen cinco números simpáticos: $11$, $12$, $15$, $24$ y $36$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Diciembre 2017, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

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