Un desafío por semana

Diciembre 2017, segundo desafío

Le 8 décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 8 décembre 2017
Article original : Décembre 2017, 2e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 49 :

¿De cuántas maneras podemos escoger siete números del conjunto $\{1, 2, \dots, 9\}$ de modo que su suma sea divisible por $3$ ?

Solución del primer desafío de diciembre :

Enunciado

La respuesta es $255$.

La suma de los primeros $n$ enteros positivos pares es

$2+4+6+\cdots+2n=2(1+2+3+\cdots+n)=n(n+1).$

La suma de los primeros $m$ enteros positivos impares es

$(1+2+3+\cdots+2m)-(2+4+\cdots+2m)=\frac{2m(2m+1)}{2}- m(m+1)=m^2.$

Las condiciones del problema implican que $m^2-212=n(n+1)$, lo cual se puede reescribir como $n^2+n+(212-m^2)=0$. Las soluciones de esta ecuación son :

$n=\frac{-1\pm \sqrt{1-4(212-m^2)}}{2}.$

Por lo tanto, $1-4(212-m^2)=4m^2-847$ debe ser el cuadrado de un entero positivo. Sea $p^2=4m^2-847$, lo cual puede factorizarse como $(2m+p)(2m-p)=847$. La descomposición en factores primos de $847$ es $7\times 11^2$, por lo que las únicas factorizaciones de $847$ son $847 \times 1$, $121 \times 7$ y $77 \times 11$, y como estos valores son iguales a $2m+p$ y $2m-p$, obtenemos $(m,p)=(212,423), (32,57)$ y $(22,33)$. Finalmente, encontramos los valores posibles de $n$ usando la igualdad $n=\frac{-1+p}{2}$, la cual nos da los valores $211, 28$ y $16$ respectivamente. Por lo tanto, la suma de los valores posibles de $n$ es $211+28+16=255$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Diciembre 2017, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

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