Un desafío por semana

Diciembre 2018, segundo desafío

Le 14 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 14 décembre 2018
Article original : Décembre 2018, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 50

Se dispone de $15$ palitos de madera de $1,2,3,\ldots,15\,cm$ de longitud.

Si tomamos tres al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se pueda hacer un triángulo rectángulo con ellos como lados ?

Solución del primer desafío de diciembre :

Enunciado

La solución es : $7$.

Si $d$ divide a $n^2+4$ y $n+3$, entonces $d$ es también un divisor de $n^2+4-(n+3)(n-3)=13$.

Por lo tanto, si $n^2+4$ y $n+3$ tienen un divisor común mayor que $1$, este debe ser igual a $13$.

Notemos que $n+3$ es divisible por $13$ si y solo si $n=13k+10$ para cierto entero $k$ (pues $n+3=13j$ si y solo si $n=13j-3=13j-13+10=13(j+1)+10$).

Por tanto,
\[n^2+4=(13k+10)^2+4=169k^2+260k+104=13(13k^2+20k+8)\]
también es divisible por $13$.

Finalmente, $13k+10$ es un entero entre $1$ y $100$ si y solo si $0\leq k\leq 6$.

En consecuencia, hay $7$ enteros que satisfacen la condición.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Diciembre 2018, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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