Un desafío por semana

Diciembre 2019, cuarto desafío

Le 27 décembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 27 décembre 2019
Article original : Décembre 2019, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 52

¿Cuántos triángulos no degenerados en segmentos se pueden formar cuyos vértices figuren entre los puntos que se muestran a continuación ?

Solución del tercer desafío de diciembre :

Enunciado

La solución es $45$.

Notemos $x$ el número buscado. Debe entonces haber enteros positivos diferentes entre sí $a,b,c,d,e$ y $f$ tales que
\[ x = a^2 - b^2 = c^2 - d^2 = e^2 - f^2 \]
o bien
\[ x = (a + b)(a - b) = (c + d)(c - d) = (e + f)(e - f). \]

Observa que estas tres factorizaciones de $x$ son distintas, porque si tuviéramos que, por ejemplo, $a + b = c + d$, entonces $a - b = c - d$, y sumando ambas igualdades deduciríamos que $a = c$, junto con $b = d$. Por consiguiente $x$ posee al menos seis divisores diferentes.

Observa también que $a + b$ y $a - b$ tienen la misma paridad puesto que su diferencia es $2b$. Como el producto de dos pares es par, y el de dos impares impar, $x$ tiene la misma paridad que $a + b$ y $a - b$. Así pues $x$ se descompone como producto de tres pares diferentes de números con la misma paridad.

Analicemos diversos casos según el número de factores primos de $x$ :

Si $x$ tiene un solo factor primo, entonces $x$ es de la forma $x = p^r$ con $r$ entero.
  • Si $p = 2$, entonces $x$ es par, y los divisores pares de $x$ son $p, p^2, p^3,\dots, p^r$. Como hacen falta seis de ellos, a parte de $x$ (hay un problema si descomponemos $x$ bajo la forma $1\times x$, puesto que $1$ es impar), tenemos pues que $r\geq 7$, y por tanto $x\geq 2^7 = 128$. Observa que $x = 128$ funciona, porque $128 = 2\times 64 = 4\times 32 = 8\times 16$.
  • Si $p$ es impar, entonces los divisores impares de $x$ sont $1, p, p^2,\dots, p^r$. Como se necesitan seis de ellos, tenemos pues que $r\geq 5$, y así $x\geq 3^5 = 243$, que no es tan bueno como $128$.
Si $x$ posee dos factores primos, entonces $x$ es de la forma $x = p^r q^s$ con $p, q$ primos y $r, s\geq 1$ enteros y $r < 7$, para obtenir un número más pequeño que $2^7$.
  • Si $x$ es par, entonces se tiene que $p = 2$, y los divisores pares de $x$ son $p, pq, pq^2,\dots, pq^s, p^2, p^2q,\dots, p^2q^s, p^3,\dots, p^r q^s$.

Como cada divisor debe aparearse con divisores de la misma paridad, no consideramos más que los divisores de la forma $p, pq, pq^2,\dots, pq^s$, $p^2, p^2q,\dots, p^2q^s$, $p^3,\dots, p^{r-1} q^s$, de los cuales hay $(r - 1)\times (s + 1)$.

Si $r = 2$ , entonces $s\geq 5$, y $x\geq 2^23^5 = 972$, que es demasiado grande.

Si $r = 3$ , entonces $s\geq 2$, y $x\geq 2^33^2 = 72$. Observa que $x = 72$ funciona, puesto que $72 = 2\times 36 = 4\times 18 = 6\times 12$.

Si $r = 4$ , entonces $s\geq 1$, y $x\geq 2^43 = 48$. Observa que $x = 48$ funciona, puesto que $48 = 2\times 24 = 4\times 12 = 8\times 6$.

Si $r\geq 5$ , entonces $s\geq 1$ y este caso es forzosamente menos bueno que el precedente.

  • Si $x$ es impar, entonces los divisores impares de $x$ son $1, q, q^2,\dots, q^s$, $p, pq, pq^2,\dots pq^s$, $p^2,\dots, p^r q^s$, de los cuales hay $(r + 1)(s + 1)$, con $r, s\geq 1$.

Si $r = 1$ , entonces $s\geq 2$, y $x\geq 3\times 5^2 = 75$, que es menos bueno que $48$.

Si $r\geq 2$ , entonces $s\geq 1$, y $x\geq 3^2 \times 5 = 45$. Observa que $x = 45$ funciona, puesto que $45 = 1\times 45 = 3\times 15 = 5\times 9$.

Si $x$ tiene al menos tres factores primos, entonces $x$ es de la forma $p^u q^v r^w s$ con $p,q,r$ primos y $u,v,w\geq 1$ enteros.
  • Si $x$ es par, entonces $p = 2$ y debemos tener que $u\geq 2$ para poder aparear los divisores pares. Tenemos pues que $x\geq 2^2\times 3\times 5 = 60$.
  • Si $x$ es impar, entonces $x\geq 3\times 5\times 7 = 105$.

De entre los casos estudiados, el mejor resultado es pues $x = 45$ (no lejos delante de $x=48$).

Se tiene entonces $a + b = 45$, $a - b = 1$, $c + d = 15$, $c - d = 3$, $e + f = 9$ y $e - f = 5$, de donde $a = 23$, $b = 22$, $c = 9$, $d = 6$, $e = 7$ y $f = 2$.

Tenemos finalmente que
\[ 45 = 23^2 - 22^2 = 9^2 - 6^2 = 7^2 - 2^2. \]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Diciembre 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - AGSANDREW / SHUTTERSTOCK

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