Un desafío por semana

Diciembre 2019, primer desafío

El 6 diciembre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 6 diciembre 2019
Artículo original : Décembre 2019, 1er défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 49

¿Cuál es el área de la región coloreada?

Solución del quinto desafío de noviembre:

Enunciado

La solución es: una sola terna.

La desigualdad del enunciado es equivalente a cada una de las dos diguientes desigualdades:
\[ \begin{align*} x^2 + y^2 + z^2 + 3 - xy - 3y - 2z &< 0\\ \Bigl(x-\frac{y}{2}\Bigr)^2 + \frac{3}{4}(y-2)^2 + (z-1)^2 &< 1. \end{align*} \]

La última desigualdad obliga a que $(z - 1)^2 < 1$, $\tfrac{3}{4}(y-2)^2 < 1$ y
$(x - y/2)^2 < 1$. Entonces
\[ \begin{gather*} -* 1 < z - 1 < 1,\\ -* \frac{2}{\sqrt{3}} < y - 2 < \frac{2}{\sqrt{3}},\\ -* 1 < x - \frac{y}{2} < 1. \end{gather*} \]

Como $2/\sqrt{3} = 1{,}154\ldots$, deducimos que $z = 1$ y que $y = 1$, $2$ o $3$.

Si $y = 1$, entonces $-1 < x - 1/2 < 1$ y $-1/2 < x < 3/2$, lo que implica que ya sea $x = 0$, ya sea $x = 1$, y en ninguno de ambos casos la desigualdad inicial se cumple.

Si $y = 2$, entonces $-1 < x - 1 < 1$ y $0 < x < 2$, lo que conlleva que $x = 1$, esto es, $(x,y,z) = (1,2,1)$. Esta terna satisface la desigualdad inicial.

Si $y = 3$, entonces $-1 < x - 3/2 <1$ y $1/2< x < 5/2$, lo que implica que ya sea $x = 1$, ya sea $x=2$, y en ninguno de ambos casos la desigualdad inicial se cumple.

En conclusión, la desigualdad inicial no es satisfecha por ninguna terna de números enteros otra que $(1,2,1)$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Diciembre 2019, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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