Semana 50

Escribe el número $2019$ como la suma de cinco números enteros al cubo.

Solución del primer desafío de diciembre :

Enunciado

La solución es $17 + \dfrac{1}{17}$.

Observa que las franjas coloreadas son paralelogramos de base $2$ y de altura $5$. En consecuencia, el área de la parte coloreada vale
\[ 10 + 10 - \text{(área del cuadrado central)}. \]

Pongamos nombres a los siete puntos particulares como se indica :

Gracias al teorema de Pitágoras obtenemos que
\[ AG^2 = AD^2 + DG^2 = 25 + 9 = 34. \]

Puesto que el segmento $(EF)$ es paralelo a $(AG)$, los triángulos $ADG$ y $EFD$ son semejantes, de donde
\[ \frac{EF}{ED} = \frac{AD}{AG} = \frac{5}{\sqrt{34}}, \]
y así pues $EF = \frac{10}{\sqrt{34}}$.

Por consiguiente el área del cuadrado central es
\[ \biggl(\frac{10}{\sqrt{34}}\biggr)^{\!2} = \frac{50}{17}, \]
y la de la región coloreada es
\[ 20 - \frac{50}{17} = \frac{290}{17}=17 + \frac{1}{17}. \]