Enunciado

Para empezar, consideremos una solución en la que $x = y$. En este caso, $x$ satisface las igualdades :
\[\begin{align*} x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x &= 0\\ x(x^2 - 1)(x - 2) &= 0\\ x(x - 1)(x + 1)(x - 2) &= 0. \end{align*} \]

Como $x = y$ es positivo o nulo, obtenemos los pares $(0,0), (1,1)$ y $(2,2)$.

Consideremos ahora una solución arbitraria. De la ecuación se deducen las igualdades :
\[ y= x(y + 2y^2 - 1 - x^2y)\qquad \text{ y }\qquad x = y(x - x^3 - 1 + 2xy). \]

Pero los números $(x - x^3 - 1 + 2xy)$ y $(y + 2y^2 - 1 - x^2y)$ son enteros, así que $x$ divide $y$, por la primera igualdad, e $y$ divide $x$, por la segunda. Los números $\lvert x\rvert$ et $\lvert y\rvert$ son entonces iguales, y como $x$ y $y$ son positivos, necesariamente $x = y$.

En consecuencia, las únicas soluciones son $(0,0), (1,1)$ y $(2,2)$.