Un desafío por semana

Diciembre 2020, primer desafío

Le 4 décembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 4 décembre 2020
Article original : Décembre 2020, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 49

Juana, Karla y Laura juegan un juego de seis mangas independientes, y a cada manga siempre hay una ganadora. Juana tiene una chance sobre dos de ganar cada manga, y Karla tiene dos veces más posibilidades de ganar que Laura. ¿Cuál es la probabilidad de que al final del juego Juana gane tres mangas, Karla dos y Laura una ?

Solución del cuarto desafío de noviembre :

Enunciado

Para empezar, consideremos una solución en la que $x = y$. En este caso, $x$ satisface las igualdades :
\[\begin{align*} x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x &= 0\\ x(x^2 - 1)(x - 2) &= 0\\ x(x - 1)(x + 1)(x - 2) &= 0. \end{align*} \]

Como $x = y$ es positivo o nulo, obtenemos los pares $(0,0), (1,1)$ y $(2,2)$.

Consideremos ahora una solución arbitraria. De la ecuación se deducen las igualdades :
\[ y= x(y + 2y^2 - 1 - x^2y)\qquad \text{ y }\qquad x = y(x - x^3 - 1 + 2xy). \]

Pero los números $(x - x^3 - 1 + 2xy)$ y $(y + 2y^2 - 1 - x^2y)$ son enteros, así que $x$ divide $y$, por la primera igualdad, e $y$ divide $x$, por la segunda. Los números $\lvert x\rvert$ et $\lvert y\rvert$ son entonces iguales, y como $x$ y $y$ son positivos, necesariamente $x = y$.

En consecuencia, las únicas soluciones son $(0,0), (1,1)$ y $(2,2)$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Diciembre 2020, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • IGOR BATRAKOV / SHUTTERSTOCK

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