Differential Equations (ebook)

Piste bleue Le 10 avril 2017  - Ecrit par  Roger Mansuy Voir les commentaires (1)

Recension de l’ebook Differential Equations de Jean-René Chazottes et Marc Monticelli aux éditions Generative Scientific eBooks...

Il y a quelques années Pierre Bayard réalisait un beau succès de libraire avec son essai Comment parler des livres que l’on n’a pas lus ? [1]. Je pourrais tenter de reprendre le flambeau en écrivant comment parler d’un livre que l’on n’a même pas touché. En effet, vous voici embarqués dans une recension d’un livre que je n’ai jamais eu en main ! Et pour cause, le livre Differential equations de Jean-René Chazottes et Marc Monticelli n’est pas un livre imprimé mais un ebook interactif (et ce dernier mot est important). Je vous propose un rapide survol de ce livre qui rend accessible la théorie des systèmes dynamiques, en faisant sentir les difficultés et concepts avec force illustrations.

Commençons par évacuer les questions sur la forme : l’ouvrage disponible dans un format lisible par tous les appareils Apple (cette limitation vient des exigences de mise en page) exploite toutes les possibilités offertes actuellement : un texte (en partie en blocs déroulables, procédé habituel pour les lecteurs d’Images des Maths) en trois colonnes, dans lequel on trouve des images mais aussi (et surtout) des simulations.

Ce dernier point doit être davantage précisé ; il ne s’agit pas de calculs faits au préalable et stockés dans le fichier mais de véritables expériences pédagogiques [2] ; vous pouvez toucher les figures pour les orienter à votre guise, changer les paramètres... Chaque illustration est recalculée au moment où vous la demandez... Voici par exemple, l’attracteur de Lorenz dans deux positions choisies au cours de la lecture :

Passons au contenu mathématique. Les premiers chapitres sont consacrés à des exemples afin de permettre de saisir l’objet du livre (et de prendre en main ses fonctionnalités). Le reste du livre se découpe en trois parties : équations différentielles, systèmes différentiels autonomes de dimension 2 puis au-delà...

Dans la première partie, le texte introduit progressivement les notions de tout bon cours de premier cycle sur les systèmes différentiels. Par exemple, l’espace des phases associé à une équation devient rapidement une représentation ordinaire et on se plait à jouer avec l’attracteur de van der Pol et à tester les allures du portrait de phase lorsque varie le terme non-linéaire.

Attention, il ne faut pas croire que ce texte est aride ; au contraire, les exemples issus des modélisations en écologie, biologie, physique et chimie sont légion ! Vous avez peut-être déjà croisé les systèmes proie-prédateur à la Lotka-Volterra ; vous pourrez désormais expérimenter un écosystème avec deux proies en concurrence et un prédateur...

On enchaîne ensuite les notions classiques selon un cheminement logique : système linéaire, linéarisation d’un système autonome au voisinage d’un point d’équilibre, théorème de Hartmann-Grobmann, classification de portraits de phase, cycles limites et théorème de Poincaré-Bendixson, bifurcation de Hopf, preuve de stabilité par fonction de Liapounov (illustration ci-dessous)... Si le contenu de cette deuxième partie peut également être trouvé dans d’autres manuels, les auteurs exploitent ici la technique pour que les nombreuses illustrations et simulations permettent d’appréhender ces notions tout à fait naturellement. La démarche est simple : on énonce, on illustre, on commente. S’il n’y a pas toujours la démonstration théorique, il y a toujours le bon exemple, la bonne remarque ou l’application originale (citons l’utilisation de Poincaré-Bendixson dans la modélisation de la glycolyse ADP-F6P).

La troisième partie est moins détaillée, elle propose un survol rapide des propriétés « chaotiques » en dimension supérieure avec une dizaine d’exemples : attracteurs de Lorenz, de Rössler, pendule double...

Il est temps pour moi d’éteindre la tablette : j’ai bien lu sans effort (ni bug technique), j’ai un peu (beaucoup) joué avec certaines activités, j’ai appris des mathématiques. L’objectif pédagogique est atteint et la forme très maîtrisée du texte rend la nouveauté technique utile et agréable. Vivement les prochains livres (électroniques) qui poursuivront celui-ci.

Post-scriptum :

Les sujets abordés dans cet ouvrage sont également ceux du film Chaos de Etienne Ghys, Aurélien Alvarez et Jos Leys, accessible à la page suivante.

Article édité par Christian Mercat

Notes

[1Editions de Minuit, 2007.

[2On peut retrouver ces expériences sans le texte de l’ouvrage sur le site expert du CNRS Experimentarium Digitale

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Pour citer cet article :

Roger Mansuy — «Differential Equations (ebook)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Éditions Generative Scientific eBooks

Commentaire sur l'article

  • Differential Equations (ebook)

    le 13 avril à 16:54, par Jean-René Chazottes

    En tant que co-auteur de cet ebook d’un nouveau genre, je voudrais ajouter qu’on peut l’acheter pour la modique somme de 18,99 Euros sur notre site : http://www.generative-ebooks.com/
    Comme indiqué dans la recension, toutes les expériences numériques interactives (plus de 65) sont publiquement disponibles sur un de nos sites : http://experiences.math.cnrs.fr/

    Répondre à ce message

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