Dobble y la geometría finita

Piste bleue Le 4 mai 2011  - Ecrit par  Maxime Bourrigan
Le 9 septembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Dobble et la géométrie finie Voir les commentaires
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A muchos matemáticos les gusta jugar. Por citar solo dos ejemplos : el campeón mundial de ajedrez Emanuel Lasker (1868-1941) es el autor de un teorema famoso de álgebra [1] y más recientemente, uno de los que contribuyen con ese sitio (¿podría usted descubrirlo ?) ha sido muchas veces campeón de Francia del juego de go.

Las relaciones entre los juegos y las matemáticas pasan también por la muy seria teoría de juegos, que popularizó especialmente el dilema del prisionero.

El objetivo de este artículo es exponer un vínculo más inesperado, donde un verdadero juego de salón esconde una muy linda estructura matemática.

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Dobble

Dobble es un pequeño juego de salón, editado en Francia por Asmodée y Play Factory. Es un juego de observación y de rapidez, un poco como el famoso Jungle Speed (que, según sé, no se basa en ningún principio matemático) o del menos conocido Set ! (que es mucho más interesante desde un punto de vista matemático).

Dobble es un juego constituído por 55 cartas. Sobre cada una de ellas están impresos 8 símbolos. Una de las maneras de jugarlo es la siguiente : cada uno de los jugadores recibe una pila de cartas y se coloca una carta en medio de la mesa. Todas las cartas están colocadas boca arriba, visibles. Los jugadores deben entonces, lo más rápido posible, identificar un símbolo común entre la carta delante de ellos y la que está al medio de la mesa. Una vez que uno de los jugadores lo ha logrado, coloca su carta en medio de la mesa encima de la anterior, y el juego continúa hasta que uno de los jugadores se haya desprendido de toda su pila.

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Un juego de Dobble

Por ejemplo en la foto de aquí arriba, yo podría desprenderme de mi carta diciendo ’’Taxi’’, Alicia a mi izquierda podría hacerlo diciedo ’’Prohibido entrar’’, y Julieta diciendo ’’Ojo’’. Es necesario entrenarse para reconocer los símbolos en común lo más rápido posible. ¡Créanme, no es tan fácil !

Evidentemente, si la carta de uno de los jugadores no tenía ningún símbolo en común con la carta del centro, estará en su derecho de protestar frente a esta injusticia... Y si un jugador tenía dos símbolos en común con la carta del centro, le era dos veces más fácil identificar una. En resumen, para que la carrera no esté sesgada, fue necesario que quienes concibieron el juego respetaran un importante principio :

Dos cartas cualesquiera del juego Dobble siempre tienen exactamente un símbolo en común.

Trataré ahora de explicar cómo los matemáticos pueden ayudarnos a construir un juego así, tratando de elaborar nuestra propia versión de Dobble, en modelo reducido.

Cartas y símbolos, puntos y rectas

El principio que acabamos de enunciar puede hacer pensar en un eslogan geométrico famoso :

Por dos puntos cualesquiera del plano pasa siempre exactamente una recta.

La analogía entre el principio del Dobble y nuestro eslogan geométrico es bastante evidente. Invita a ver las cartas del juego como ’’puntos’’ y los símbolos sobre las cartas como ’’rectas’’. Y en lugar de decir que una carta contiene un símbolo, se dice que el punto está sobre la recta. Eso parece por un instante un juego de palabras un tanto gratuito [2] pero se va a ver que va a llevarnos lejos...

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Así, hemos construido, al menos en el pensamiento, una versión infinita del juego de Dobble : debemos imprimir tantas cartas como puntos hay en el plano, y sobre cada una de ellas, imprimir la lista de las rectas del plano que pasan por ese punto. El principio del juego de Dobble está respetado, pero nuestra solución no es muy realizable en la práctica. [3]

Geometría finita

Se va a tratar de seguir nuestra idea quedándonos en el ámbito de lo posible. Para eso, utilicemos una idea matemática importante : la de las coordenadas cartesianas.

En la escuela se aprende que uno puede representar un punto del plano con dos números : su abscisa a menudo notada como x y su ordenada a menudo notada como y.

Del mismo modo, las rectas del plano admiten ecuaciones : si una recta no es vertical, admite la ecuación y = ax + b, es decir, un punto de abscisa x y ordenada y está sobre la recta si los valores de ax + b y de la ordenada y son iguales. Si la recta es vertical, admite la ecuación x = c.

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En todo caso, la idea importante es que uno puede representar un punto del plano o una recta del plano con números. Y para hacer geometría, por ejemplo, para saber si un punto está sobre una recta, basta con hacer adiciones y multiplicaciones.

Nuestro deseo de utilizar nuestro eslogan geométrico para construir un juego de Dobble renace entonces : ¡simplemente vamos a cambiar de números ! Si se utiliza otro sistema de números que permita al menos hacer adiciones y multiplicaciones y que sea finito, se podrá imprimir nuestras cartas-puntos y sus símbolos-rectas para obtener un juego de Dobble.

Un sistema finito de números

Hay muchas maneras de elegir un sistema finito de números, pero se va a tomar el más simple : comencemos por señalar que si uno conoce el carácter par o impar de dos números enteros, conoce también la paridad de su suma y la de su producto. Por ejemplo, la suma de un número par y de uno impar es siempre impar, mientras que su producto es siempre par. Se puede resumir esas propiedades con ’’igualdades’’ : Par + Impar = Impar y Par x Impar = Par, y así sucesivamente para los otros casos.

Para ganar tiempo, utilicemos una abreviación : ya que 0 y 1 son los números par e impar más simples, escribamos 0 en lugar de Par y 1 en lugar de Impar. Se obtiene así las tablas de adición y de multiplicación siguientes, bastante más simples que las que figuraban en la contratapa de mis cuadernos de borrador : [4]

+ {{0}} {{1}}
{{0}} {{0}} {{1}}
{{1}} {{1}} {{0}}
x {{0}} {{1}}
{{0}} {{0}} {{0}}
{{1}} {{0}} {{1}}

Comentemos que 0 y 1 mantienen algunas de sus propiedades de 0 y de 1 : la adición de 0 y la multiplicación por 1 no cambian nada, y la multiplicación por 0 reemplaza todo por 0. Por lo tanto, se podrá escribir, por ejemplo, x en lugar de 1x.

Ahora se tiene un sistema de números finito donde solo existen 0 y 1. Entonces se puede hablar de ’’puntos’’ y de ’’rectas’’ con ese sistema de números, conservando las ideas de coordenadas de un punto y de ecuación de una recta. Se tiene entonces en nuestro ’’plano’’ :

  • 4 puntos : (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) ;
  • 6 rectas, a saber
    — 2 rectas verticales : x = 0 (que contiene los dos puntos (0,0) y (0,1)), y x = 1 (que contiene los otros dos) ;
    — 2 rectas horizontales : y = 0 e y = 1 ;
    — 2 rectas oblicuas : y = x (que contiene (0,0) y (1,1)), e y = x + 1 (que contiene los otros dos puntos).

Se puede por lo tanto fabricar un juego de Dobble que contenga 4 cartas-puntos y 6 rectas-símbolos. Se ve que cada punto pertenece a 3 rectas diferentes, es decir que sobre cada carta están impresos 3 de los 6 símbolos.

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Veamos que si bien las rectas roja y blanca parecen cortarse en la imagen anterior, esto no es más que una ilusión : ellas no se cortan, pues ningún punto pertenece a ambas a la vez.

Un último afinamiento

Todavía se puede enriquecer nuestro mini-Dobble añadiéndole una recta. Esta idea, que es la base de lo que los matemáticos llaman la geometría proyectiva, se remonta en realidad a los pintores del Renacimiento, y consiste en agregar un punto (el punto de fuga de los pintores) a cada familia de rectas paralelas. Ese punto es entonces el punto de intersección de la familia de rectas. Los puntos de fuga están todos alineados sobre la recta, que los matemáticos llaman ’’la recta al infinito’’ y todas las demás ’’al horizonte.’’

Es posible definir muy rigurosamente esas nociones, sobre las cuales ya se habló acá y acá, pero nosotros no vamos a entrar en esos detalles aquí.

En nuestro contexto, dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común, y tendremos entonces que añadir tres puntos ’’al infinito’’ : uno en la intersección de las rectas negra y amarilla, uno en la intersección de las rectas azul y verde, y uno en la intersección de las rectas blanca y roja. Y esos tres puntos están sobre una nueva recta, lo que vuelve a añadir un símbolo a nuestro juego.

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En este dibujo, las ’’rectas’’ corresponden a las seis verdaderas rectas y al círculo central. Nos permite fabricar un juego de Dobble con siete cartas y siete símbolos, donde cada carta lleva tres símbolos.

Regreso al ’’verdadero’’ Dobble.

Pero, ¿qué hay con el verdadero Dobble, el que usted puede comprar en cualquier buena tienda de juegos o juguetes ? Bueno, su construcción es bastante parecida, salvo que está basado en un sistema de números diferente. En lugar de tener solo dos números, 0 y 1, el sistema del verdadero Dobble tiene siete, que obedecen a tablas de adición y de multiplicación bastante parecidas a las nuestras. Es entonces mucho más difícil hacer dibujos, pero el principio es el mismo, y de cierta manera la intuición de puntos y rectas de la vida diaria hace que el objeto sea más comprensible. [5]

En cuanto a nuestro mini-Dobble, tiene siete cartas. La primera versión estaba en efecto constituída por 4 = 2 x 2 cartas (cada una representada por dos números que podían ser 0 o 1). Se añadió luego un punto por familia de rectas que no se cortaban : esas familias están constituidas por rectas de la forma y = ax + b que tienen la misma pendiente a (en nuestro caso a puede ser 0 o 1), y de la familia de las rectas verticales. Eso explica entonces que se haya obtenido 7 = 2 x 2 + 2 + 1 cartas en total.

El verdadero juego de Dobble, digno hermano mayor del que se construyó aquí, debería paralelamente tener 7 x 7 + 7 + 1 = 57 cartas. Ahora bien, ¡no tiene más que 55 ! Tranquilícese, no le mentí tanto : el juego puede obtenerse mediante la receta que nosotros hemos visto (con un sistema de siete números y una recta al infinito). Basta con extraer dos cartas al final de la construcción. [6] Yo no sé por qué faltan esas dos cartas (¿es una exigencia de fabricación ?, ¿ los creadores llegaron a la construcción ’’a mano’’ y olvidaron dos puntos en el camino ?).

Si uno agrega las dos cartas faltantes al verdadero juego de Dobble, este comparte entonces bonitas propiedades del nuestro :

  • tienen tantas cartas como símbolos (7 o 57) ;
  • cada símbolo aparece el mismo número de veces (3 veces en nuestro mini-Dobble, 8 veces en el verdadero, una vez completado) ;
  • si usted elige dos símbolos cualesquiera, puede encontrar una carta (y solamente una) sobre la cual aparecen los dos símbolos.

Conclusión

Se vio cómo la geometría con los conjuntos de números finitos permitía construir dos juegos verificando el principio de Dobble. Pero esta ’’geometría finita’’ da nacimiento también a objetos más matemáticos, que son dignos de interés por sí mismos. Es así como el juego de Dobble con siete cartas es una encarnación de un famoso objeto matemático, el ’’plano de Fano’’, que interviene en campos de las matemáticas bastante diferentes : combinatoria, teoría de los grupos e incluso física teórica.

Por otra parte, los ’’juegos de Dobble’’ que verifican las propiedades enunciadas al final del párrafo anterior han sido estudiados, y quedan preguntas abiertas respecto al tema. Por ejemplo, el número de cartas que un juego así puede tener es todavía muy misterioso (el primer caso abierto es el de un juego con 157 cartas. Cada carta tendría entonces 13 símbolos, pero nadie sabe si una construcción así es posible.

Para terminar, dejo un desafío a los lectores, que yo ignoro si es realizable. Dobble permite realmente manejar una muy linda estructura matemática, lo que es bastante raro. Encuentro que es un tanto lamentable verlo ’’solo’’ como un juego de rapidez, por divertido que sea. Por eso el desafío : ¿es posible encontrar una nueva regla del juego que lo convierta en un juego de reflexión, explotando más la estructura matemática ? [7]

Post-scriptum :

Los símbolos utilizados para diseñar nuestros mini-Dobble provienen de la biblioteca libre OpenClipArt. ¡Gracias a quienes contribuyeron a este proyecto ! Gracias igualmente a François Brunault, niki2000, Serma, Bruno Duchesne, Clémence y Avner Bar-Hen por sus relecturas y sus comentarios.

Notes

[1El teorema de Lasker-Noether que trata sobre la estructura de los ideales de los anillos noetherianos.

[2E incluso un poco nebuloso. Pero hasta que esta idea dé sus frutos, uno puede tranquilizarse diciendo que se está en buena compañía. Además de la comparación evidente con ciertos juegos del Oulipo, se puede citar al gran matemático alemán David Hilbert quien decía que lo importante en los axiomas, como nuestro ’’eslogan’’ geométrico, no es el nombre de los objetos (se podría reemplazar ’’punto’’ por ’’silla’’ y « recta » por ’’mesa’’) sino las relaciones entre esos objetos.

[3Incluso la sociedad que administra el hotel de Hilbert rechazaría probablemente editar nuestro juego...

[4Si se compara esas tablas con las usuales, se nota que no hay más que dos diferencias : primero, no se considera los números a partir de 2 ; segundo, 1 + 1 = 0, mientras que 1 + 1 = 2. Los matemáticos dicen que se cuenta módulo 2, es decir, que se hace como si 2 no existiera, como si valiera 0. Es bastante práctico que la palabra ’’módulo’’ haya entrado en el lenguaje corriente (de los matemáticos) y que no sea raro escuchar frases como ’’Módulo el embotellamiento de tránsito, llegaré en un cuarto de hora. ’’

[5Lo que no quiere decir que nos permita identificar el símbolo común más rápidamente, ¡cuidado !

[6Si usted no conoce la geometría proyectiva, identificar las cartas faltantes es un divertido ejercicio.

[7Por ejemplo, suponiendo que uno le añade las dos cartas faltantes ¿sabría usted explotar las tres propiedades suplementarias de las cuales hemos hablado ?

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Dobble y la geometría finita» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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