¿Doce o dieciséis ?

Le 9 novembre 2013  - Ecrit par  Rémi Peyre
Le 26 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Douze ou seize ? Voir les commentaires
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Uno se imagina fácilmente a los matemáticos como individuos raros, con preocupaciones extrañas, obsesionados con problemas tanto abstractos como inútiles... Bueno, a riesgo de que algunos reclamen, esto no es del todo falso...;-)

Por ejemplo, yo que les escribo, recientemente pasé días meditando sobre la siguiente pregunta : ’’¿cuál es la mejor base de numeración ?’’.

Para comprender esta pregunta, recordemos que la manera habitual de escribir los números [1] es la que uno llama numeración ’’en base diez’’ (o también ’’decimal’’) : esto significa que uno escribe los números por medio de diez cifras posibles (’0’, ’1’, ’2’, ’3’, ’4’, ’5’, ’6’, ’7’, ’8’ y ’9’), y que ’555’, por ejemplo, representa 5 decenas de decenas más 5 decenas más 5 unidades, o sea, quinientos cincuenta y cinco. Sin embargo, también se habría podido hacer jugar el rol de la base ¡a cualquier otro número estrictamente más grande que 1 ! Por ejemplo, en la numeración en base siete hay siete cifras posibles (a saber ’0’, ’1’, ’2’, ’3’, ’4’, ’5’ y ’6’), y el número quinientos cincuenta y cinco se escribe ’1422’ : 1 septena de septenas de septenas, 4 septenas de septenas, 2 septenas y 2 unidades.

¿Por qué elegimos la base diez en lugar de la base tres o la base veintidós ? Primero, no hay que elegir la base ni muy pequeña ni muy grande. Muy pequeña nos llevaría a escrituras interminables y poco legibles (por ejemplo en base tres, quinientos cincuenta y cinco se escribe ’202120’, lo cual no es muy cómodo...). Muy grande implicaría que las cifras -y sobre todo las tablas de adición y de multiplicación- serían muy difíciles de memorizar (si en base diez debemos memorizar 81 resultados, en base veintidós serían ¡441...!). Pero, ¿por qué diez y no nueve, por ejemplo ? No hay otra razón sino el hecho de que los humanos tienen diez dedos, y que por consecuencia la base diez es la más práctica cuando uno cuenta con los dedos [2] En resumen, no son en absoluto las propiedades intrínsecas del número diez las que le han valido el estatus privilegiado de base de nuestra numeración, sino simplemente los azares de la Naturaleza y de la Historia...

Ahora bien, cuando uno es matemático no le gustan mucho las cosas arbitrarias (por lo menos a mí no me gustan;-)). Por supuesto, la base diez funciona bien en la práctica ; y uno no va a poner todo patas arriba solo por gusto... Pero dejemos que nuestro pensamiento deambule un instante, ¡no le hace mal a nadie ! :-)
Imaginemos entonces que la humanidad esté en comunicación con centenares de especies extraterrestres que utilizan, cada una, una base de numeración diferente, y que nosotros somos miembros de la comisión galáctica de uniformización de normas ; o bien, imaginemos que todos los libros han sido destruidos luego de una guerra mundial, y que nosotros somos los únicos sobrevivientes que conocemos aún un poco de matemáticas, de manera que tenemos que refundar el sistema de numeración... ¿Qué base elegir entonces ? ¿Puede ser que haya incluso mejores que la base diez ? En resumen, ¿cuál es la mejor de todas las bases de numeración ?

Hay dos criterios principales para decir que una base de numeración es ’’buena’’ :

  • El primero es que esta base esté ligada a la base dos, lo que llevará a privilegiar la base dieciséis.
  • El segundo es que esta base sea un número ’’redondo’’, lo que llevará a privilegiar la base doce.

Voy a presentarles sucesivamente las dos argumentaciones [3]. ¿Cuál se llevará su preferencia : doce o dieciséis...? ¡Ustedes juzgarán !:-)

Las derivadas de la base dos (bases ocho y dieciséis)

La primera manera de resolver el asunto de la ’’mejor’’ de las bases es decir que la mejor es la más pequeña posible (y por lo tanto la más simple), ¡o sea dos ! (se habla también de sistema de numeración ’’binaria’’). Los microprocesadores trabajan casi todos en binario, ya que es muy práctico para ellos no tener más que dos cifras que manipular : ’0’, que está representado por ’’apagado’’ y ’1’ por ’’encendido’’. Además, los cálculos en binario son extremadamente fáciles, ya que las tablas de adición y de multiplicación son tan simples que ¡esencialmente no hay nada que retener !

La base dos es igualmente agradable cuando se divide un objeto en mitades sucesivas. Así, los anglosajones subdividen fácilmente la pulgada en medias pulgadas, luego en cuartos de pulgada, octavos, dieciseisavos, etc., lo que permite escribir números binarios respectivamente con uno, dos, tres o cuatro cifras después de la coma. Asimismo, en música, las diferentes duraciones fundamentales se obtienen dividiendo muchas veces la redonda por dos : por ejemplo, hay dos veces dos veces dos veces dos veces dos fusas en una redonda, o sea treinta y dos, lo que en base dos se escribe elegantemente ’100000’. De manera recíproca, la base dos aparece también cuando uno duplica sucesivamente las cantidades : por ejemplo, el tablero de Roland-Garros contiene ciento veintiocho participantes, o sea ’10000000’ en base dos, ya que hay siete niveles de competencia en los cuales el número de participantes se duplica cada vez. Se puede pensar también en las memorias portátiles (pendrives) USB, cuyos tamaños se duplican regularmente, lo que explica que haya memorias de uno, dos, cuatro, ocho, dieciséis o treinta y dos gigabytes, y antes de eso memorias de sesenta y cuatro, ciento veintiocho, doscientos cincuenta y seis y quinientos doce megabytes...

Por último, desde el punto de vista matemático, las potencias de dos aparecen incomparablemente más a menudo que aquellas de cualquier otro número. Por ejemplo, están los números primos de Mersenne (los más grandes números primos conocidos) que son de la forma $2^p-1$ ; los números primos de Fermat (que intervienen en las construcciones con regla y compás) de la forma $2^{2^n}+1$ ; los coeficientes binominales $\binom{n}{p}$ (omnipresentes en los problemas de recuento) cuya suma vale $2^n$, y un largo etc...

Hay, sin embargo, un problema : ¡la base dos es tan pequeña que desemboca en escrituras interminables ! El simple número quinientos cincuenta y cinco, por ejemplo, se escribe ’1000101011’... Por suerte, un truco consiste en notar que reagrupar las cifras de una escritura en base $b$ (dos en este caso) en paquetes de $k$ (por ejemplo en paquetes de tres) corresponde a trabajar en base $b^k$ (por lo tanto, en este caso en base ocho) : así, uno puede reagrupar ’1000101011’ en ’1 000 101 001’ ; ver que ’1’, ’000’, ’101’ y ’001’ corresponden respectivamente a los números uno, cero, cinco y uno ; y deducir que, en base ocho, quinientos cincuenta y cinco se escribe ’1051’. La conversión recíproca es igualmente fácil. Trabajar en base cuatro, ocho, dieciséis o treinta y dos es, entonces, esencialmente equivalente a trabajar en numeración binaria, pero con la ventaja de dar escrituras más compactas.

¿Cuál de esas variantes de la base dos elegir ? Con el criterio de ’’tener una base ni muy pequeña ni muy grande’’, la base ocho (u ’’octal’’) parece la elección óptima. Pero de hecho es más bien la base dieciséis (o ’’hexadecimal’’) la que se aconseja, porque calcular en base dieciséis no es tan complicado como parece a primera vista, por el hecho de que dieciséis es igual a $4^2$. En efecto, en virtud del truco de agrupamiento/expansión de las cifras explicado arriba, calcular en base dieciséis es entonces esencialmente calcular en base cuatro, con la condición de mantener las conversiones que asocian una cifra en base dieciséis a dos cifras en base cuatro [4]. Esto explica que generalmente la base dieciséis sea considerada como la mejor de las bases derivadas de la base dos ; y la numeración hexadecimal es, de esta manera, extremadamente utilizada por los informáticos [5].

Las bases ’’redondas’’ (bases seis y doce)

La base dos y sus derivadas son desde luego seductoras, pero no corrigen un defecto irritante de la base diez, que es que las divisiones son raramente ’’perfectas’’. Así, sabemos que en base diez la fracción 1÷3 se escribe ’0,333333...’ con una infinidad de ’3’. Ahora bien, eso es lamentable en la medida en que uno debe a menudo dividir por tres (por ejemplo, la división de una herencia entre tres hijos da 33,333... % para cada uno de ellos), y uno desearía que esas divisiones condujeran a resultados simples ¡que uno no esté obligado a aproximar ! Pero en base dieciséis este defecto no se arregla, ya que 1÷3 se escribe ’0,555555...’ ; e incluso peor : 1÷5, que se escribe simplemente ’0,2’ en base diez, pasa a ser, en base dieciséis, ¡’0,333333...’ !

Algunos estiman así que la principal cualidad de una base de numeración es la de entregar divisiones que frecuentemente sean ’’perfectas’’. Ellos privilegian entonces las bases ’’redondas’’, que se dividen fácilmente, en particular por dos y por tres, incluso por cuatro. Eso lleva a poner por delante las bases seis (dos veces tres) y doce (tres veces cuatro), con una preferencia por la base doce, ya que la base seis parece un poco pequeña y da resultados más complicados en divisiones por cuatro (por ejemplo, 3÷4 se escribe ’0,43’ en base seis, y simplemente ’0,9’ en base doce). Otros hacen notar también que sería sin duda más fácil para los alumnos aprender el concepto de división si uno trabajara ya en una base que se divide bien...

Fijándose bien, uno percibe que, de hecho, nosotros ya utilizamos las bases ’’redondas’’ sin saberlo, por ejemplo, cuando dividimos el círculo en trescientos sesenta grados [360 = 30 × 12] (es muy cómodo que los ángulos de un triángulo equilátero valgan exactamente ¡60 grados !), o cuando fraccionamos una hora en sesenta minutos [60 = 5 × 12] (lo que nos permite dividir a nuestra voluntad una hora de un coloquio en dos conferencias de 30 minutos, tres de 20 minutos, o cuatro de 15 minutos...). Mencionemos también los doce meses del año, las dos veces doce horas de la jornada, los huevos agrupados por docenas... Antes de la aparición del sistema métrico, numerosas otras unidades de medición eran igualmente divisibles por doce, más a menudo que por diez : un pie tenía doce pulgadas, un sou valía doce denarios [6], etc.

También, los múltiplos de seis o doce no son raros : en particular, los factoriales —omnipresentes en matemáticas— son a menudo números muy divisibles por seis y doce. El factorial de diez, por ejemplo, se escribe ’3628800’ en base diez, ’375F00’ en base dieciséis, y ’1270000’ en base doce, lo que muestra bien hasta qué punto el doce es un número muy ’’redondo’’... Si el número doce juega un rol de perfección y de plenitud en la simbólica de los números, ¡no es por azar !

¿Entonces...?

Entonces, ¿base doce o base dieciséis ? (o eventualmente seis u ocho...). ¡No dude más y tome partido en los comentarios !:-)

Notes

[1Aquí voy a hablar solo de los números enteros, pero lo dicho sería también válido para los números reales, mediante el uso de la coma.

[2La elección de la base diez es ampliamente mayoritaria en las civilizaciones (citemos entre otras la egipcia, la latina, la hebrea, la inca, la india o la china). Y aunque hay algunas excepciones, la mayoría de ellas tiene también un vínculo fuerte con el número diez : la base sesenta de los babilonios, la base veinte de los mayas y aztecas, la base ocho de los yukis (que no cuentan con sino entre sus dedos)... Hay que notar que curiosamente, pese a que el número doce aparezca frecuentemente en el mundo, su uso como base de numeración parece haber sido excepcional : a lo más se encuentra un ejemplo entre los nepaleses.

[3Yo preciso aquí que no soy en absoluto el primero en plantearme la pregunta sobre la mejor base de numeración. Por lo tanto, ¡no puede ser una pregunta tan rara ! ;-) Los argumentos que doy después son, entonces, tanto una compilación de opiniones de diversos autores como una reflexión personal.

[4Tomando en cuenta el esfuerzo de memoria para mantener las conversiones entre las bases dieciséis y cuatro, calcular en base dieciséis no exige memorizar más que 21 resultados, contra ¡225 ! si uno hubiera procedido ingenuamente...

[5En numeración hexadecimal, es necesario introducir seis símbolos suplementarios para designar los números de diez a quince ; generalmente estos son notados respectivamente ’A’, ’B’, ’C’, ’D’, ’E’ y ’F’. Así, quinientos cincuenta y cinco se escribe en hexadecimal ’22B’ : dos dieciseicenas de dieciseicenas, dos dieciseicenas y once unidades.

[6N.d.T. : el sou y el denario son monedas utilizadas antiguamente en Francia.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Doce o dieciséis ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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