Douze ou seize ?

9 novembre 2013  - Ecrit par  Rémi Peyre Voir les commentaires (15)

On s’imagine volontiers les mathématiciens comme des individus décalés, aux préoccupations bizarres, obsédés par des problèmes aussi abstraits qu’inutiles... Eh bien, au risque d’en faire hurler certains, ce n’est pas tout à fait faux ! ;-)

Tenez, moi qui vous écris, j’ai récemment passé des jours à méditer sur la question : « Quelle est la meilleure base de numération ? ».

Pour comprendre cette question, rappelons que la façon habituelle d’écrire les nombres [1] est ce qu’on appelle la numération « en base dix » (ou encore « décimale ») : cela signifie qu’on écrit les nombres au moyen de dix chiffres possibles (‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’ et ‘9’), et que « 555 », par exemple, représente 5 dizaines de dizaines plus 5 dizaines plus 5 unités, soit cinq-cent-cinquante-cinq. Mais on aurait aussi pu faire jouer le rôle de la base à n’importe quel autre nombre strictement plus grand que 1 ! Par exemple, dans la numération en base sept, il y a sept chiffres possibles (à savoir ‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ et ‘6’), et le nombre cinq-cent-cinquante-cinq s’écrit « 1422 » : 1 heptaine d’heptaines d’heptaines, 4 heptaines d’heptaines, 2 heptaines et 2 unités.

Pourquoi avons-nous choisi la base dix plutôt que la base trois ou la base vingt-deux ? En fait, il ne faut choisir la base ni trop petite, ni trop grande : trop petite, cela conduirait à des écritures interminables et peu lisibles (par exemple, en base trois, cinq-cent-cinquante-cinq s’écrit « 202120 » : pas très commode...) ; trop grande, les chiffres et surtout les tables d’addition et de multiplication seraient trop compliqués à mémoriser (là où, en base dix, nous avons 81 résultats à retenir, en base vingt-deux il y en aurait 441...!). Mais après ? Pourquoi dix et pas neuf, par exemple ? Là, il n’y a pas d’autre raison que le fait que les humains ont dix doigts, et que par conséquent la base dix est la plus pratique quand on compte sur ses doigts [2]... Bref, autant dire que ce ne sont absolument pas les propriétés mathématiques intrinsèques du nombre dix qui lui ont valu le statut privilégié de base de notre numération, mais simplement les hasards de la Nature et de l’Histoire...

... Or, quand on est mathématicien, on n’aime pas beaucoup les choix arbitraires (en tout cas, moi je ne les aime pas ;-)). Bien sûr, la base dix marche très bien en pratique ; et on ne va pas tout chambouler pour le plaisir... Mais laissons notre pensée vagabonder un instant — ça ne fait de mal à personne ! :-) Imaginons ainsi que l’humanité soit en communication avec des centaines d’espèces d’extraterrestres utilisant chacune une base de numération différente, et que nous soyons membre de la commission galactique d’uniformisation des normes ; ou encore, imaginons que tous les livres aient été détruits suite à une guerre mondiale, et que nous soyons le seul survivant connaissant encore un peu de mathématiques, de sorte que nous ayons à refonder le système de numération... Quelle base choisir alors ? Peut-être y en a-t-il d’encore meilleures que la base dix ? Bref, quelle est la meilleure de toutes les bases de numération ?!

Nous allons voir qu’il y a deux critères principaux pour dire qu’une base de numération est “bonne” :

  • Le premier est que cette base soit liée à la base deux, ce qui conduira à privilégier la base seize ;
  • Le second est que cette base soit un nombre “rond”, ce qui conduira à privilégier la base douze.

Je vais vous présenter successivement les deux argumentaires [3]. Lequel emportera votre préférence ; douze ou seize...? À vous de juger ! :-)

Les dérivées de la base deux (bases huit et seize)

La première façon de résoudre la question de la “meilleure” des bases est de dire que la meilleure est la plus petite possible (et donc la plus simple), à savoir deux ! (on parle aussi de système de numération « binaire »). Les microprocesseurs travaillent ainsi presque tous en binaire, car il est très pratique pour eux de n’avoir que deux chiffres à manipuler, ‘0’ étant représenté par « hors tension » et ‘1’ par « sous tension ». En outre, les calculs en binaire sont extrêmement faciles, car les tables d’addition et de multiplication sont si simples qu’il n’y a essentiellement rien à retenir !

La base deux est également agréable dès qu’on divise un objet en moitiés successives. Ainsi, les Anglo-Saxons subdivisent volontiers le pouce en demi-pouces, puis en quarts de pouces, huitièmes, seizièmes, etc., ce qui revient à écrire des nombres binaires avec respectivement un, deux, trois ou quatre chiffres après la virgule. De même, en musique, les différentes durées fondamentales s’obtiennent en divisant plusieurs fois la ronde par deux : il y a par exemple deux fois deux fois deux fois deux fois deux triples croches dans une ronde, soit trente-deux, ce qui en base deux s’écrit élégamment « 100000 ». Réciproquement, la base deux apparaît également quand on double successivement des quantités : par exemple, le tableau de Roland-Garros comporte cent-vingt-huit concurrents, soit « 10000000 » en base deux, car il y a sept niveaux de compétitions pour lesquels le nombre de concurrents double à chaque fois ; on peut aussi penser aux clefs USB dont les tailles doublent régulièrement, ce qui explique qu’on ait des clefs de un, deux, quatre, huit, seize ou trente-deux gibi-octets, et avant cela des clefs de soixante-quatre, cent-vingt-huit, deux-cent-cinquante-six et cinq-cent-douze mébi-octets...

Enfin, du point de vue mathématique, les puissances de deux apparaissent incomparablement plus souvent que celles de n’importe quel autre nombre. Il y a par exemple les nombres premiers de Mersenne (les plus grands nombres premiers connus), qui sont de la forme $2^p-1$, les nombres premiers de Fermat (qui interviennent dans les constructions à la règle et au compas), de la forme $2^{2^n}+1$, les coefficients binomiaux $\binom{n}{p}$ (omniprésents dans les problèmes de dénombrement) dont la somme vaut $2^n$, et j’en passe.

Il y a tout de même un problème : la base deux est tellement petite qu’elle aboutit à des écritures interminables ! Le simple nombre cinq-cent-cinquante-cinq, par exemple, s’y écrit « 1000101011 »... Heureusement, une astuce consiste à remarquer que regrouper les chiffres d’une écriture en base $b$ (deux en l’occurrence) par paquets de $k$ (par exemple par paquets de trois) revient à travailler en base $b^k$ (en l’occurrence en base huit, donc) : ainsi, on peut regrouper « 1000101011 » en « 1 000 101 001 » ; voir que « 1 », « 000 », « 101 » et « 001 » correspondent respectivement aux nombres un, zéro, cinq et un ; et en déduire que cinq-cent-cinquante-cinq s’écrit « 1051 » en base huit ; la conversion réciproque est tout aussi aisée. Travailler en base quatre, huit, seize ou trente-deux est donc essentiellement équivalent à travailler en numération binaire, mais avec l’avantage de donner des écritures plus compactes.

Laquelle de ces variantes de la base deux choisir ? Sur le critère « avoir une base ni trop petite ni trop grande », la base huit (ou « octale ») semble le choix optimal. Mais en fait, c’est plutôt la base seize (ou « hexadécimale ») qu’on préconise, parce que calculer en base seize n’est pas si compliqué que cela parait à première vue, du fait que seize est égal à $4^2$ : en effet, en vertu de l’astuce de regroupement/éclatement des chiffres expliquée ci-dessus, calculer en base seize est alors essentiellement équivalent à calculer en base quatre, à condition de retenir les conversions qui associent un chiffre en base seize à deux chiffres en base quatre [4]. Cela explique que ce soit généralement la base seize qui est considérée comme la meilleure des bases dérivées de la base deux ; et la numération hexadécimale est ainsi extrêmement utilisée par les informaticiens [5].

Les bases “rondes” (bases six et douze)

La base deux et ses dérivées sont certes séduisantes, mais elles ne corrigent pas un défaut agaçant de la base dix, qui est que les divisions ne tombent que très rarement “juste” : ainsi, nous savons bien qu’en base dix la fraction 1÷3 s’écrit « 0,333333... » avec une infinité de ‘3’ ; or cela est regrettable dans la mesure où on est souvent amené à faire des divisions par trois (par exemple, la division d’un héritage entre trois enfants donne 33,333... % pour chacun d’eux), et on aimerait bien que ces divisions conduisent à des résultats simples qu’on ne soit pas obligé d’approximer ! Mais en base seize, ce défaut ne s’arrange pas, puisque 1÷3 s’écrit « 0,555555... » ; et c’est même pire : 1÷5, qui s’écrivait simplement « 0,2 » en base dix, devient en base seize « 0,333333... » !

Certains estiment ainsi que la principale qualité d’une base de numération est de donner des divisions qui tombent fréquemment juste. Ils privilégient donc des bases “rondes” qui se divisent facilement, en particulier par deux et par trois, voire aussi par quatre : cela conduit à mettre en avant les bases six (deux fois trois) et douze (trois fois quatre) — avec une préférence pour la base douze, car la base six semble un peu petite, et donne des résultats plus compliqués lors des divisions par quatre (par exemple, 3÷4 s’écrit « 0,43 » en base six, et simplement « 0,9 » en base douze). Certains font aussi remarquer qu’il serait sans doute plus facile aux élèves d’apprendre le concept de division si on travaillait déjà dans une base qui se divise bien...

En y regardant bien, on s’aperçoit en fait que nous utilisons déjà les bases “rondes” sans le savoir, par exemple lorsque nous divisons le cercle en trois-cent-soixante degrés [360 = 30 × 12] (il est bien commode que les angles d’un triangle équilatéral vaillent exactement 60 degrés !), ou quand nous découpons l’heure en soixante minutes [60 = 5 × 12] (ce qui nous permet de diviser à notre gré une heure d’un colloque en deux conférences de 30 minutes, trois de 20 minutes ou quatre de 15 minutes...). Citons aussi les douze mois de l’année, les deux fois douze heures de la journée, les œufs regroupés par douzaines et par grosses... Avant l’apparition du système métrique, de très nombreuses autres unités de mesure étaient également divisées en douze, bien plus souvent qu’en dix : un pied comptait douze pouces, un sou valait douze deniers, etc.

Mathématiquement aussi, les multiples de six ou douze ne sont pas rares : en particulier, les factorielles, omniprésentes en mathématiques, sont souvent des nombres très divisibles par six et douze : la factorielle de dix, par exemple, s’écrit “3628800” en base dix, “375F00” en base seize, mais “1270000” en base douze, ce qui montre bien à quel point il s’agit d’un nombre très “rond”... Si le nombre douze joue un rôle de perfection et de plénitude dans la symbolique des nombres, ce n’est pas par hasard !

Alors...?

Alors, base douze ou base seize ? (ou éventuellement six ou huit...). N’hésitez pas à prendre parti dans les commentaires ! :-)

Notes

[1Je ne parlerai ici que des nombres entiers, mais ce serait aussi valable pour les nombres réels, via l’utilisation de la virgule.

[2Le choix de la base dix est largement majoritaire au sein des civilisations (citons entre autres les civilisations égyptienne, latine, hébraïque, indienne ou chinoise), mais il y a quelques exceptions — la plupart d’entre elles ayant tout de même un lien fort avec le nombre dix — : la base soixante des Babyloniens, la base vingt des Mayas et des Aztèques, la base huit des Yukis (qui ne comptent pas sur mais entre leurs doigts), ... À noter que curieusement, bien que le nombre douze soit fréquemment distingué de par le monde, son usage en tant que base de numération semble avoir été exceptionnel : tout au plus en trouve-t-on un exemple chez les Népalais.

[3Je précise ici que je ne suis en fait pas le premier à m’être posé la question de la meilleure base de numération — comme quoi, ce n’est peut-être pas une question si bizarre que cela ! ;-) —, et que les arguments que je donne ci-après sont donc autant une compilation d’opinions de divers auteurs qu’une réflexion personnelle.

[4En comptant l’effort de mémoire pour retenir les conversions entre les bases seize et quatre, calculer en base seize ne demande de retenir que 21 résultats de tables, contre 225 si on avait procédé naïvement...!

[5En numération hexadécimale, il faut introduire six symboles supplémentaires pour désigner les nombres de dix à quinze : généralement, ceux-ci sont notés respectivement ‘A’, ‘B’, ‘C’, ‘D’, ‘E’ et ‘F’. Ainsi, cinq-cent-cinquante-cinq s’écrit en hexadécimal « 22B » : deux seizaines de seizaines, deux seizaines et onze unités.

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Pour citer cet article :

Rémi Peyre — «Douze ou seize ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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Commentaire sur l'article

  • Douze ou seize ?

    le 9 novembre 2013 à 23:35, par romainc

    Base 16, c’est très pratique en informatique. Vu que les ordinateurs utilisent la représentation binaire cela facilite les choses.

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  • Douze ou seize ?

    le 10 novembre 2013 à 09:24, par Monique Pencréach

    Bonjour,
    Votre article est extrêmement détendant et intéressant.
    Je vous félicite de cette analyse des bases et je vous remercie de cet article.
    Peut être auriez vous pu parler des noms de codages de l’informatique au début de cette dernière, à la papa, genre EBCDIC etc ... ? qui ne contiennent pas que des chiffres ou lettres mais aussi des caractères spéciaux.
    Bien cordialement
    Monique Pencréach

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  • Douze ou seize ?

    le 10 novembre 2013 à 19:03, par VALENTIN

    Merci pour ce sympathique article.

    Au risque de passer pour un soixante-huitard attardé : je ne résiste pas au « plaisir » de parler de la numération SHADOK.

    Cette numération est en base 4 et a pour symboles :

    GA=0

    BU=1

    ZO=2

    MEU=3

    Un petit lien pour sourire avec son utilisation :

    http://www.lepetitarchimede.fr/ha/old/revues/numero6/t30shadoks/t30shadocks.htm

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  • Douze ou seize ?

    le 11 novembre 2013 à 09:37, par ROUX

    Je ne sais pas choisir mais je me suis bien amusé !!!

    Le titre de l’article est très bien choisi.

    J’ai vérifié les divisions de 3 par 4 dans les deux bases (six ou douze) pour comprendre qu’après la virgule, j’avais bel et bien la succession des puissances négatives de la base.

    Par contre, je me suis aperçu que je ne savais pas compter directement en base six ou douze : je fais clairement les calculs en base dix que je traduis ensuite en écriture dans la base choisie.

    Comment feriez-vous pour m’enseigner le comptage directement dans une base ? Je ne sais pas quoi « débloquer » dans mon modus operandi qui me met intellectuellement directement en base dix...

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  • Douze ou seize ?

    le 11 novembre 2013 à 16:16, par Jean Mathieu - Turquais

    Bonjour
    Article passionnant, qui m’amène quelques réflexions. Dans le gros dictionnaire des mathématiques (Alain Bouvier PUF édition 1996), il y est dit, en substance, que la meilleure des bases de numération de position serait une base première, comme 3,5,7,... ce qui permettrait des algorithmes plus uniformes. Mais pas pour la vie courante et les activités commerciales, où une base devrait alors avoir de nombreux diviseurs. Il y est dit aussi que la base octale pourrait être un système d’avenir ! (1996)
    Au début des années 1990, dans la revue « Pour la science », Jean-Paul Delahaye avait écrit un article sur une base réelle. Malheureusement, je n’ai plus le numéro en question. Dommage, le mathématicien démontrait la « logique » et la facilité de compter dans une base réelle. Je ne me souviens plus laquelle. Il serait peut-être intéressant de pouvoir retrouver cet article ; et qu’il soit rediffusé dans le magazine, ou sur le site Image des maths.

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  • Douze ou seize ?

    le 12 novembre 2013 à 10:54, par DarDev

    Comme je travaille dans les domaines de l’informatique et de l’architecture, je côtoie souvent la base 16 et le binaire d’un coté, et la base 12 des mesures anglo-saxonnes. J’ai souvent eu ce type de réflexion sans pousser si loin... Mais au final, mon coeur balance toujours entre ces deux voies, partant du fait que les deux valent mieux que le système décimal.
    Pour sa division par trois, je préfère la base 12 ; mais comme je suis aussi fan de Boby Lapointe, la base 16, ou bibi-binaire comme il l’appelle, trouve un intérêt de plus...
    Je ne sais toujours pas le quel choisir !

    Répondre à ce message
  • Douze ou seize ?

    le 12 novembre 2013 à 23:46, par Pierre Lescanne

    Personnellement j’hésite entre la base soixante et la base vingt. :-)

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  • Douze ou seize ?

    le 13 novembre 2013 à 10:03, par Louis 3D

    Très intéressant !
    A noter que la base douze est également très utile pour compter sur ses doigts : on parcourt avec les pouces les phalanges des 4 autres doigts... Douze !

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  • Douze ou seize ?

    le 19 novembre 2013 à 15:00, par Rémi Peyre

    Merci à tous pour vos commentaires et remarques !

    Quelques réponses aux questions qui m’ont été posées :

    • @ ROUX : Je ne suis pas certain de savoir au juste ce qui vos bloque pour calculer dans une autre base, mais le fait est que ce n’est pas facile du tout : non tant qu’on soit trop habitué à la base dix, mais surtout que calculer en base dix est en fait déjà fort ardu, sauf que nous ne en rendons plus compte tellement nous l’utilisons souvent ! (de même que nous avons tendance à oublier à quel point il nous fut laborieux d’apprendre à lire...). En effet, il faut bien réaliser qu’à peu près tous les concepts que nous utilisons communément pour calculer sont en fait liés à la base dix : les tables d’addition, de multiplication etc., la liste des chiffres, et même jusqu’au nom des nombres eux-mêmes ! Ainsi, si aujourd’hui quand vous lisez “36” vous pensez « trente-six » et « 3×12 », c’est en fait le résultat d’un long processus d’apprentissage ; et il n’y a donc rien d’étonnant à ce qu’en base douze le nombre “36” ne vous évoque absolument rien (ce nombre n’a même pas de nom !), et surtout pas « 19+19 »... En conclusion, je dirai que pour apprendre à compter directement en base six ou douze, il faut commencer par “oublier” tous les raccourcis qu’on est habitué à utiliser en base dix, et se remettre à procéder en n’utilisant que les mécanismes élémentaires dont on dispose quand on vient de nous apprendre le principe de la numération — à savoir : épeler les nombres comme une succession de chiffres ; et pour chaque calcul, consulter les tables d’addition et de multiplication ainsi que l’ordre de succession des chiffres.
    • @ Jean Mathieu-Turquais : Effectivement, les bases premières ont un avantage en ce qui concerne les divisions : dans ces bases, quand on sait que le résultat d’une division va “tomber juste”, on peut alors faire les divisions de façons plus simple et plus rapide en commençant par la droite plutôt que par la gauche. Et quand on a l’habitude de ce procédé de division, il devient plus aisé de comprendre le fonctionnement des « corps p-adiques »... [un concept algébrique avancé mais très utile]. Cependant ces avantages me paraissent bien légers par rapport à ceux que procure une base plus “ronde”. Quant aux bases réelles, je n’en ai jamais entendu parler ; mais si je retrouve cet article de J-P. Delahaye je ne manquerai pas de vous en faire part !
    • @ DarDev : Je crois que si j’avais à choisir, j’opterais personnellement pour la base seize, principalement parce qu’elle permet de disposer d’une progression géométrique de nombre “ronds” : ainsi, en base seize, il serait bien pratique de manipuler des pièces et billets de 1, 2, 4, 8, 10, 20, ... €, car on aurait toujours le même genre de calculs à faire pour rendre la monnaie ! Cependant, les tables d’addition et de multiplication de la base seize sont selon moi beaucoup trop compliquées pour qu’on se fatigue à les apprendre par cœur (déjà que la plupart des adultes ne se rappellement plus leurs tables en base dix...) ; donc si je me permets de pencher pour la base seize, c’est uniquement en raison de l’astuce qui nous permet de faire les calculs intermédiaires en base quatre — astuce que n’autorise pas la base douze. Question : est-ce que ce l’apprentissage scolaire de procédé de calcul, moins couteux en mémoire mais plus complexe, ne serait pas rédhibitoire ? (ou, plus exactement, est-ce que l’effort ne serait pas démesuré par rapport à l’enjeu ?). Je ne pense pas, mais il faut quand même avouer que cela fait peur à première vue à nous qui avons l’habitude de travailler dans une base unique...
    • @ Pierre Lescanne : Je veux bien vous laisser travailler en base soixante ou vingt, mais les tables d’addition et de multiplication (et même la liste des chiffres) risquent d’être un peu compliquées à retenir, non...?! Il faut savoir qu’en pratique, l’utilisation historique de ces bases (resp. par les Babyloniens et les Mayas) se faisait comme une “combinaison d’autres bases” : par exemple, pour représenter treize, les Mayas dessinaient deux traits valant cinq chacun et trois points valant un chacun ; et pour représenter cinq-cent-cinquante-cinq, on dessinait 1 point tout en haut (une vingtaine de vingtaines), puis 1 trait et 2 points (1×5+2×1 = sept vingtaines), puis trois traits (3×5+0×1 = quinze unités). De même, chez les Babyloniens, les “chiffres” de la base soixante étaient décomposés en dizaines et en unités. Pas très pratique pour faire des opérations...
    Répondre à ce message
  • Douze ou seize ?

    le 21 novembre 2013 à 01:08, par DarDev

    En revenant sur l’article pour voir si mon commentaire avait été commenté, il me revient une ancienne pensée sur le nom des nombres en français et en anglais (pour les autres langues, je ne sais pas...).

    Il est bon de remarquer qu’en français on a donné un nom « simple » particulier au nombres jusqu’à seize et qu’après on met en place un système qui nomme la dizaine puis l’unité : dix-sept et suivants (qu’en France on arrive pas à tenir à partir de 70, alors qu’en Belgique on l’applique jusqu’au bout !).
    En anglais, on a la même chose jusqu’à douze (twelve) puis après on entre dans un système qui va jusqu’à dix-neuf (xxxteen), puis un autre système au delà.

    Je n’ai pas cherché plus loin, mais on peut donc penser que là où le français trouvait le 16 intéressant, l’anglais lui préférait le 12.

    Répondre à ce message
    • Douze ou seize ?

      le 22 novembre 2013 à 20:00, par Rémi Peyre

      Remarque intéressante. Il convient néanmoins d’observer que les adjectifs numéraux de « onze » à « seize » en français sont en fait eux aussi construits à partir de la base dix à l’origine (quoique selon une autre règle), même si l’évolution du langage a tellement déformé ces mots que leur étymologie est devenue opaque, en faisant des “chiffres” à part entière :

      • « onze » ← « un » + « ze » ;
      • « douze » ← « deux » + « ze » ;
      • etc.

      La même remarque vaut pour l’anglais et les autres langues germaniques :

      • « eleven » ← « e » + « lev » [ce « e » est sans doute un très vieux mot pour « un »] ;
      • « twelve » ← « two » + « lev ».

      À noter enfin qu’en espagnol, la transition entre les deux formes pour les nombres de onze à dix-neuf se fait entre 15 (quince) et seize (dieciséis) !

      Cordialement.

      Répondre à ce message
  • Douze ou seize ?

    le 23 novembre 2013 à 15:40, par ROUX

    Merci beaucoup pour votre réponse.

    Je me suis amusé en base « voyelle ». Mais si, voyons : a e i o u y ea ee ei eo eu ey ia ie ii io iu, etc.

    J’ai fait la table d’addition puis la table de multiplication et j’ai bien évidemment compris qu’il fallait les apprendre par cœur (cela faisait bien longtemps que je n’avais pas appris une table de multiplication).

    «  » se lit « a* » car « ** » se lit « i* ».

    Alors « ********** » se lit « eu* ». Les enfants ont juste été surpris de m’entendre compter e i o u y ea ee ei eo eu...

    Et je sais calculer le reste de la division de eyuoi par ua et les souvenirs des difficultés de l’apprentissage des calculs en base dix auraient pu facilement me revenir, car vous avez raison, cela n’avait rien d’évident, en fait !!!

    Oua(h) !!!

    Répondre à ce message
  • Douze ou seize ?

    le 26 novembre 2014 à 17:10, par Reskina

    Je ne suis pas vraiment d’accord pour dire que la base douze est intéressante

    D’un point de vue pédagogique ce serait une catastrophe
    déjà que les élèves ont beaucoup de mal au début à comprendre le concept de base (à priori, ils n’ont pas l’impression que le choix du 10 est contingent)
    Le fait qu’ils soient obligés de faire un effort mental pour faire des conversions avec les secondes, minutes, heures par exemple, est à mon avis une bonne chose et permet d’introduire inconsciemment le concept de base (même si évidemment quand on compte des secondes on compte en base 10 à l’intérieur de la minute, on a pas 60 symboles différents)

    Si on comptait en base 12, tout serait toujours rond, on aurait aucune conversion à faire, et on se laisserait porter par la facilité, au lieu d’exercer notre cerveau en faisant des conversions, et de se rendre compte que le choix de notre base est contingent (c’est bon même sur le plan philosophique, pour apprendre à relativiser, pour apprendre à discerner ce qui est pure convention et non chose essentielle).

    En plus, la base 10 est quand même une très bonne base ... Outre le fait qu’elle ne soit ni trop petite ni trop grande, il existe des règles de calculs simples pour tester la divisibilité par 2 et 4, par 5, et même par 3, 9 et 11 qui tombent pile sur 1 ou -1 modulo 10 ... Que demande le peuple ?

    Répondre à ce message
    • Douze ou seize ?

      le 27 novembre 2014 à 23:51, par Rémi Peyre

      Voilà une idée à laquelle je n’avais pas songé : ce serait un défaut pour une base que d’être « trop pratique », parce que cela nuirait à notre compréhension du caractère contingent de son choix dans notre représentation des nombres... Paradoxal, et fort intéressant !

      Quoique je ne pense pas être d’accord avec ce point de vue (je pense plutôt que les bienfaits de la simplicité passent devant les bénéfices collatéraux de la complexité), je ne puis que vous remercier d’avoir soulevé cette question ! :-)

      Cordialement,

      Répondre à ce message
  • Douze ou seize ?

    le 28 novembre 2014 à 00:05, par Rémi Peyre

    Un an après, l’auteur de ce billet revient sur ses réflexions...

    Si je devais me prononcer aujourd’hui, mon choix serait « six » ! Car :

    • J’estime maintenant que l’avantage des divisions rondes l’emporte dans l’usage quotidien sur la régularité des puissances de deux (ce qui semble conforté par l’analyse des choix des sociétés passées) ;
    • Je crois que la base dix que nous utilisons actuellement est déjà trop grande : ainsi, nous sommes généralement incapables de compter neuf objets d’un seul coup d’œil (de sorte qu’il me parait bizarre de désigner ce nombre par un simple chiffre) ; et quant aux tables de calcul, il n’y a qu’à voir combien de gens les oublient à l’âge adulte...

    En revanche, je reste convaincu par l’utilité de la base seize en informatique — mais cette opinion-là n’a rien de révolutionnaire... ;-)

    Rendez-vous dans un an pour un nouveau revirement ?... :-P

    Répondre à ce message

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