Douze ou seize ?

Le 9 novembre 2013  - Ecrit par  Rémi Peyre Voir les commentaires (15)
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On s’imagine volontiers les mathématiciens comme des individus décalés, aux préoccupations bizarres, obsédés par des problèmes aussi abstraits qu’inutiles... Eh bien, au risque d’en faire hurler certains, ce n’est pas tout à fait faux ! ;-)

Tenez, moi qui vous écris, j’ai récemment passé des jours à méditer sur la question : « Quelle est la meilleure base de numération ? ».

Pour comprendre cette question, rappelons que la façon habituelle d’écrire les nombres [1] est ce qu’on appelle la numération « en base dix » (ou encore « décimale ») : cela signifie qu’on écrit les nombres au moyen de dix chiffres possibles (‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’ et ‘9’), et que « 555 », par exemple, représente 5 dizaines de dizaines plus 5 dizaines plus 5 unités, soit cinq-cent-cinquante-cinq. Mais on aurait aussi pu faire jouer le rôle de la base à n’importe quel autre nombre strictement plus grand que 1 ! Par exemple, dans la numération en base sept, il y a sept chiffres possibles (à savoir ‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ et ‘6’), et le nombre cinq-cent-cinquante-cinq s’écrit « 1422 » : 1 heptaine d’heptaines d’heptaines, 4 heptaines d’heptaines, 2 heptaines et 2 unités.

Pourquoi avons-nous choisi la base dix plutôt que la base trois ou la base vingt-deux ? En fait, il ne faut choisir la base ni trop petite, ni trop grande : trop petite, cela conduirait à des écritures interminables et peu lisibles (par exemple, en base trois, cinq-cent-cinquante-cinq s’écrit « 202120 » : pas très commode...) ; trop grande, les chiffres et surtout les tables d’addition et de multiplication seraient trop compliqués à mémoriser (là où, en base dix, nous avons 81 résultats à retenir, en base vingt-deux il y en aurait 441...!). Mais après ? Pourquoi dix et pas neuf, par exemple ? Là, il n’y a pas d’autre raison que le fait que les humains ont dix doigts, et que par conséquent la base dix est la plus pratique quand on compte sur ses doigts [2]... Bref, autant dire que ce ne sont absolument pas les propriétés mathématiques intrinsèques du nombre dix qui lui ont valu le statut privilégié de base de notre numération, mais simplement les hasards de la Nature et de l’Histoire...

... Or, quand on est mathématicien, on n’aime pas beaucoup les choix arbitraires (en tout cas, moi je ne les aime pas ;-)). Bien sûr, la base dix marche très bien en pratique ; et on ne va pas tout chambouler pour le plaisir... Mais laissons notre pensée vagabonder un instant — ça ne fait de mal à personne ! :-) Imaginons ainsi que l’humanité soit en communication avec des centaines d’espèces d’extraterrestres utilisant chacune une base de numération différente, et que nous soyons membre de la commission galactique d’uniformisation des normes ; ou encore, imaginons que tous les livres aient été détruits suite à une guerre mondiale, et que nous soyons le seul survivant connaissant encore un peu de mathématiques, de sorte que nous ayons à refonder le système de numération... Quelle base choisir alors ? Peut-être y en a-t-il d’encore meilleures que la base dix ? Bref, quelle est la meilleure de toutes les bases de numération ?!

Nous allons voir qu’il y a deux critères principaux pour dire qu’une base de numération est “bonne” :

  • Le premier est que cette base soit liée à la base deux, ce qui conduira à privilégier la base seize ;
  • Le second est que cette base soit un nombre “rond”, ce qui conduira à privilégier la base douze.

Je vais vous présenter successivement les deux argumentaires [3]. Lequel emportera votre préférence ; douze ou seize...? À vous de juger ! :-)

Les dérivées de la base deux (bases huit et seize)

La première façon de résoudre la question de la “meilleure” des bases est de dire que la meilleure est la plus petite possible (et donc la plus simple), à savoir deux ! (on parle aussi de système de numération « binaire »). Les microprocesseurs travaillent ainsi presque tous en binaire, car il est très pratique pour eux de n’avoir que deux chiffres à manipuler, ‘0’ étant représenté par « hors tension » et ‘1’ par « sous tension ». En outre, les calculs en binaire sont extrêmement faciles, car les tables d’addition et de multiplication sont si simples qu’il n’y a essentiellement rien à retenir !

La base deux est également agréable dès qu’on divise un objet en moitiés successives. Ainsi, les Anglo-Saxons subdivisent volontiers le pouce en demi-pouces, puis en quarts de pouces, huitièmes, seizièmes, etc., ce qui revient à écrire des nombres binaires avec respectivement un, deux, trois ou quatre chiffres après la virgule. De même, en musique, les différentes durées fondamentales s’obtiennent en divisant plusieurs fois la ronde par deux : il y a par exemple deux fois deux fois deux fois deux fois deux triples croches dans une ronde, soit trente-deux, ce qui en base deux s’écrit élégamment « 100000 ». Réciproquement, la base deux apparaît également quand on double successivement des quantités : par exemple, le tableau de Roland-Garros comporte cent-vingt-huit concurrents, soit « 10000000 » en base deux, car il y a sept niveaux de compétitions pour lesquels le nombre de concurrents double à chaque fois ; on peut aussi penser aux clefs USB dont les tailles doublent régulièrement, ce qui explique qu’on ait des clefs de un, deux, quatre, huit, seize ou trente-deux gibi-octets, et avant cela des clefs de soixante-quatre, cent-vingt-huit, deux-cent-cinquante-six et cinq-cent-douze mébi-octets...

Enfin, du point de vue mathématique, les puissances de deux apparaissent incomparablement plus souvent que celles de n’importe quel autre nombre. Il y a par exemple les nombres premiers de Mersenne (les plus grands nombres premiers connus), qui sont de la forme $2^p-1$, les nombres premiers de Fermat (qui interviennent dans les constructions à la règle et au compas), de la forme $2^{2^n}+1$, les coefficients binomiaux $\binom{n}{p}$ (omniprésents dans les problèmes de dénombrement) dont la somme vaut $2^n$, et j’en passe.

Il y a tout de même un problème : la base deux est tellement petite qu’elle aboutit à des écritures interminables ! Le simple nombre cinq-cent-cinquante-cinq, par exemple, s’y écrit « 1000101011 »... Heureusement, une astuce consiste à remarquer que regrouper les chiffres d’une écriture en base $b$ (deux en l’occurrence) par paquets de $k$ (par exemple par paquets de trois) revient à travailler en base $b^k$ (en l’occurrence en base huit, donc) : ainsi, on peut regrouper « 1000101011 » en « 1 000 101 001 » ; voir que « 1 », « 000 », « 101 » et « 001 » correspondent respectivement aux nombres un, zéro, cinq et un ; et en déduire que cinq-cent-cinquante-cinq s’écrit « 1051 » en base huit ; la conversion réciproque est tout aussi aisée. Travailler en base quatre, huit, seize ou trente-deux est donc essentiellement équivalent à travailler en numération binaire, mais avec l’avantage de donner des écritures plus compactes.

Laquelle de ces variantes de la base deux choisir ? Sur le critère « avoir une base ni trop petite ni trop grande », la base huit (ou « octale ») semble le choix optimal. Mais en fait, c’est plutôt la base seize (ou « hexadécimale ») qu’on préconise, parce que calculer en base seize n’est pas si compliqué que cela parait à première vue, du fait que seize est égal à $4^2$ : en effet, en vertu de l’astuce de regroupement/éclatement des chiffres expliquée ci-dessus, calculer en base seize est alors essentiellement équivalent à calculer en base quatre, à condition de retenir les conversions qui associent un chiffre en base seize à deux chiffres en base quatre [4]. Cela explique que ce soit généralement la base seize qui est considérée comme la meilleure des bases dérivées de la base deux ; et la numération hexadécimale est ainsi extrêmement utilisée par les informaticiens [5].

Les bases “rondes” (bases six et douze)

La base deux et ses dérivées sont certes séduisantes, mais elles ne corrigent pas un défaut agaçant de la base dix, qui est que les divisions ne tombent que très rarement “juste” : ainsi, nous savons bien qu’en base dix la fraction 1÷3 s’écrit « 0,333333... » avec une infinité de ‘3’ ; or cela est regrettable dans la mesure où on est souvent amené à faire des divisions par trois (par exemple, la division d’un héritage entre trois enfants donne 33,333... % pour chacun d’eux), et on aimerait bien que ces divisions conduisent à des résultats simples qu’on ne soit pas obligé d’approximer ! Mais en base seize, ce défaut ne s’arrange pas, puisque 1÷3 s’écrit « 0,555555... » ; et c’est même pire : 1÷5, qui s’écrivait simplement « 0,2 » en base dix, devient en base seize « 0,333333... » !

Certains estiment ainsi que la principale qualité d’une base de numération est de donner des divisions qui tombent fréquemment juste. Ils privilégient donc des bases “rondes” qui se divisent facilement, en particulier par deux et par trois, voire aussi par quatre : cela conduit à mettre en avant les bases six (deux fois trois) et douze (trois fois quatre) — avec une préférence pour la base douze, car la base six semble un peu petite, et donne des résultats plus compliqués lors des divisions par quatre (par exemple, 3÷4 s’écrit « 0,43 » en base six, et simplement « 0,9 » en base douze). Certains font aussi remarquer qu’il serait sans doute plus facile aux élèves d’apprendre le concept de division si on travaillait déjà dans une base qui se divise bien...

En y regardant bien, on s’aperçoit en fait que nous utilisons déjà les bases “rondes” sans le savoir, par exemple lorsque nous divisons le cercle en trois-cent-soixante degrés [360 = 30 × 12] (il est bien commode que les angles d’un triangle équilatéral vaillent exactement 60 degrés !), ou quand nous découpons l’heure en soixante minutes [60 = 5 × 12] (ce qui nous permet de diviser à notre gré une heure d’un colloque en deux conférences de 30 minutes, trois de 20 minutes ou quatre de 15 minutes...). Citons aussi les douze mois de l’année, les deux fois douze heures de la journée, les œufs regroupés par douzaines et par grosses... Avant l’apparition du système métrique, de très nombreuses autres unités de mesure étaient également divisées en douze, bien plus souvent qu’en dix : un pied comptait douze pouces, un sou valait douze deniers, etc.

Mathématiquement aussi, les multiples de six ou douze ne sont pas rares : en particulier, les factorielles, omniprésentes en mathématiques, sont souvent des nombres très divisibles par six et douze : la factorielle de dix, par exemple, s’écrit “3628800” en base dix, “375F00” en base seize, mais “1270000” en base douze, ce qui montre bien à quel point il s’agit d’un nombre très “rond”... Si le nombre douze joue un rôle de perfection et de plénitude dans la symbolique des nombres, ce n’est pas par hasard !

Alors...?

Alors, base douze ou base seize ? (ou éventuellement six ou huit...). N’hésitez pas à prendre parti dans les commentaires ! :-)

Notes

[1Je ne parlerai ici que des nombres entiers, mais ce serait aussi valable pour les nombres réels, via l’utilisation de la virgule.

[2Le choix de la base dix est largement majoritaire au sein des civilisations (citons entre autres les civilisations égyptienne, latine, hébraïque, indienne ou chinoise), mais il y a quelques exceptions — la plupart d’entre elles ayant tout de même un lien fort avec le nombre dix — : la base soixante des Babyloniens, la base vingt des Mayas et des Aztèques, la base huit des Yukis (qui ne comptent pas sur mais entre leurs doigts), ... À noter que curieusement, bien que le nombre douze soit fréquemment distingué de par le monde, son usage en tant que base de numération semble avoir été exceptionnel : tout au plus en trouve-t-on un exemple chez les Népalais.

[3Je précise ici que je ne suis en fait pas le premier à m’être posé la question de la meilleure base de numération — comme quoi, ce n’est peut-être pas une question si bizarre que cela ! ;-) —, et que les arguments que je donne ci-après sont donc autant une compilation d’opinions de divers auteurs qu’une réflexion personnelle.

[4En comptant l’effort de mémoire pour retenir les conversions entre les bases seize et quatre, calculer en base seize ne demande de retenir que 21 résultats de tables, contre 225 si on avait procédé naïvement...!

[5En numération hexadécimale, il faut introduire six symboles supplémentaires pour désigner les nombres de dix à quinze : généralement, ceux-ci sont notés respectivement ‘A’, ‘B’, ‘C’, ‘D’, ‘E’ et ‘F’. Ainsi, cinq-cent-cinquante-cinq s’écrit en hexadécimal « 22B » : deux seizaines de seizaines, deux seizaines et onze unités.

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Pour citer cet article :

Rémi Peyre — «Douze ou seize ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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  • Douze ou seize ?

    le 19 novembre 2013 à 15:00, par Rémi Peyre

    Merci à tous pour vos commentaires et remarques !

    Quelques réponses aux questions qui m’ont été posées :

    • @ ROUX : Je ne suis pas certain de savoir au juste ce qui vos bloque pour calculer dans une autre base, mais le fait est que ce n’est pas facile du tout : non tant qu’on soit trop habitué à la base dix, mais surtout que calculer en base dix est en fait déjà fort ardu, sauf que nous ne en rendons plus compte tellement nous l’utilisons souvent ! (de même que nous avons tendance à oublier à quel point il nous fut laborieux d’apprendre à lire...). En effet, il faut bien réaliser qu’à peu près tous les concepts que nous utilisons communément pour calculer sont en fait liés à la base dix : les tables d’addition, de multiplication etc., la liste des chiffres, et même jusqu’au nom des nombres eux-mêmes ! Ainsi, si aujourd’hui quand vous lisez “36” vous pensez « trente-six » et « 3×12 », c’est en fait le résultat d’un long processus d’apprentissage ; et il n’y a donc rien d’étonnant à ce qu’en base douze le nombre “36” ne vous évoque absolument rien (ce nombre n’a même pas de nom !), et surtout pas « 19+19 »... En conclusion, je dirai que pour apprendre à compter directement en base six ou douze, il faut commencer par “oublier” tous les raccourcis qu’on est habitué à utiliser en base dix, et se remettre à procéder en n’utilisant que les mécanismes élémentaires dont on dispose quand on vient de nous apprendre le principe de la numération — à savoir : épeler les nombres comme une succession de chiffres ; et pour chaque calcul, consulter les tables d’addition et de multiplication ainsi que l’ordre de succession des chiffres.
    • @ Jean Mathieu-Turquais : Effectivement, les bases premières ont un avantage en ce qui concerne les divisions : dans ces bases, quand on sait que le résultat d’une division va “tomber juste”, on peut alors faire les divisions de façons plus simple et plus rapide en commençant par la droite plutôt que par la gauche. Et quand on a l’habitude de ce procédé de division, il devient plus aisé de comprendre le fonctionnement des « corps p-adiques »... [un concept algébrique avancé mais très utile]. Cependant ces avantages me paraissent bien légers par rapport à ceux que procure une base plus “ronde”. Quant aux bases réelles, je n’en ai jamais entendu parler ; mais si je retrouve cet article de J-P. Delahaye je ne manquerai pas de vous en faire part !
    • @ DarDev : Je crois que si j’avais à choisir, j’opterais personnellement pour la base seize, principalement parce qu’elle permet de disposer d’une progression géométrique de nombre “ronds” : ainsi, en base seize, il serait bien pratique de manipuler des pièces et billets de 1, 2, 4, 8, 10, 20, ... €, car on aurait toujours le même genre de calculs à faire pour rendre la monnaie ! Cependant, les tables d’addition et de multiplication de la base seize sont selon moi beaucoup trop compliquées pour qu’on se fatigue à les apprendre par cœur (déjà que la plupart des adultes ne se rappellement plus leurs tables en base dix...) ; donc si je me permets de pencher pour la base seize, c’est uniquement en raison de l’astuce qui nous permet de faire les calculs intermédiaires en base quatre — astuce que n’autorise pas la base douze. Question : est-ce que ce l’apprentissage scolaire de procédé de calcul, moins couteux en mémoire mais plus complexe, ne serait pas rédhibitoire ? (ou, plus exactement, est-ce que l’effort ne serait pas démesuré par rapport à l’enjeu ?). Je ne pense pas, mais il faut quand même avouer que cela fait peur à première vue à nous qui avons l’habitude de travailler dans une base unique...
    • @ Pierre Lescanne : Je veux bien vous laisser travailler en base soixante ou vingt, mais les tables d’addition et de multiplication (et même la liste des chiffres) risquent d’être un peu compliquées à retenir, non...?! Il faut savoir qu’en pratique, l’utilisation historique de ces bases (resp. par les Babyloniens et les Mayas) se faisait comme une “combinaison d’autres bases” : par exemple, pour représenter treize, les Mayas dessinaient deux traits valant cinq chacun et trois points valant un chacun ; et pour représenter cinq-cent-cinquante-cinq, on dessinait 1 point tout en haut (une vingtaine de vingtaines), puis 1 trait et 2 points (1×5+2×1 = sept vingtaines), puis trois traits (3×5+0×1 = quinze unités). De même, chez les Babyloniens, les “chiffres” de la base soixante étaient décomposés en dizaines et en unités. Pas très pratique pour faire des opérations...
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