Cette note est consacrée à des objets surprenants qui s’appellent droites tropicales. Le comportement de ces objets ressemble beaucoup à celui des droites habituelles. Toute droite habituelle dans le plan peut être décrite par une équation linéaire $$ ax + by + c = 0. $$ Nous verrons comment cet énoncé se traduit en langage tropical. Nous parlerons aussi des courbes algébriques dans le plan (ce sont les courbes définies par des équations polynomiales), ainsi que de leurs analogues tropicaux.
Vous avez, sans doute, déjà rencontré des droites, des paraboles et des hyperboles. Considérons, par exemple, les courbes suivantes :
Exemples de courbes algébriques
Les deux premières courbes sont les graphes des fonctions $x \mapsto -1 - x$ et $x \mapsto x^2$, respectivement. La troisième courbe n’est pas le graphe d’une fonction. Néanmoins, ces trois courbes ont une propriété très importante en commun : leurs équations peuvent être écrites sous la forme $$ P(x, y) = 0, $$ où $P$ est un polynôme à deux variables. En effet, les équations ci-dessus peuvent être réécrites de la façon suivante :
Rappelons qu’un point du plan $\mathbb{R}^2$ est un couple $(x, y)$ de nombres réels $x$ et $y$. Une courbe algébrique dans le plan est l’ensemble des couples $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ qui sont les solutions de l’équation $P(x, y) = 0$, où $P$ est un polynôme à deux variables et à coefficients réels.
La courbe algébrique définie par un polynôme de degré élevé peut être très compliquée. Dans cette note, on essayera de se familiariser avec des courbes algébriques en étudiant leurs analogues qui portent le nom de courbes tropicales. Ces analogues sont faits de segments et de demi-droites.
Considérons la réunion de trois demi-droites dans le plan qui ont la même extrémité :
Droite tropicale
Un tel tripode s’appelle droite tropicale. Les directions des trois demi-droites étant prédéfinies, une droite tropicale est déterminée de façon unique par la position de son point central (l’extrémité commune des trois demi-droites). Pourquoi le nom de l’objet considéré contient-il le mot « droite » ? Il est vrai que la forme d’une droite tropicale ne ressemble pas à celle d’une droite habituelle : une droite tropicale a trois « pieds ». Néanmoins, les droites tropicales ont beaucoup de choses en commun avec les droites habituelles. Examinons quelques propriétés standards des droites habituelles dans le plan.
(A) Par deux points quelconques du plan, on peut toujours tracer une droite.
Vous pouvez vérifier que cette propriété reste vraie si on remplace « droite » par « droite tropicale » :
(A’) par deux points quelconques du plan, on peut toujours tracer une droite tropicale.
Droite tropicale passant par deux points
De plus, si deux points choisis ne sont pas sur une droite habituelle horizontale (est — ouest), une droite habituelle verticale (nord — sud) ou une droite habituelle de pente à $45$ degrés (sud-ouest — nord-est), alors il existe une et une seule droite tropicale qui passe par ces points. Essayez de démontrer cette affirmation ! On va dire que deux points vérifiant la propriété ci-dessus sont indépendants.
Voici encore une propriété des droites habituelles dans le plan :
(B) deux droites non parallèles se coupent toujours en un point.
Cette propriété reste vraie si on remplace « droites » par « droites tropicales » et « non parallèles » par « dont les points centraux sont indépendants » :
(B’) deux droites tropicales dont les points centraux sont indépendants se coupent toujours en un point.
Deux droites tropicales
Une propriété très importante des droites habituelles est le fait qu’elles peuvent être décrites par des équations linéaires :
(C) une droite quelconque dans le plan est l’ensemble des solutions de l’équation $$ax + by + c = 0,$$ où au moins un des coefficients $a$ et $b$ est non nul ; inversement, toute équation $ax + by + c = 0$, où au moins un des coefficients $a$ et $b$ est non nul, définit une droite dans le plan.
L’expression $ax + by + c$ est un polynôme de degré $1$ à deux variables. La propriété (C) nous dit que les droites habituelles dans le plan sont les courbes algébriques de degré $1$, c’est-à-dire, les courbes algébriques définies chacune par un polynôme de degré $1$.
Pour traduire la propriété (C) en langage tropical, nous allons introduire les opérations arithmétiques tropicales.
Remplaçons l’addition et la multiplication habituelles dans $\mathbb{R}$ par deux autres opérations $\oplus$ et $\odot$ : pour tout $a \in {\mathbb R}$ et tout $b \in {\mathbb R}$, on pose $$ a\oplus b=\max\{a,b\}\qquad {\rm et}\qquad a\odot b=a+b. $$ Pour avoir un « zéro » de la nouvelle opération d’addition $\oplus$, on ajoute $-\infty$ à l’ensemble $\mathbb{R}$ et on considère les opérations $\oplus$ et $\odot$ sur l’ensemble ${\mathbb R} \cup \{-\infty\}$. On va noter $\mathbb{T}$ cet ensemble, et on va appeler nombres tropicaux les éléments de $\mathbb{T}$. Les opérations introduites sur les nombres tropicaux s’appellent addition tropicale et multiplication tropicale, respectivement. Le qualificatif « tropicale » leur a été donné en l’honneur de l’informaticien brésilien Imre Simon.
Bien sûr, $$a \oplus (-\infty) = (-\infty) \oplus a = a$$ pour tout $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$. De plus, $$a \odot (-\infty) = (-\infty) \odot a = -\infty$$ pour tout $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$. Donc, $-\infty$ joue effectivement le rôle de « zéro tropical » (c’est-à-dire, de l’élément neutre de l’addition tropicale).
Considérons un polynôme $P_1(x, y) = ax + by + c$ de degré $1$ et à coefficients tropicaux. Supposons que chacun des trois coefficients de ce polynôme est différent de $-\infty$. Si on interprète les opérations de l’expression $$ ax + by + c $$ comme opérations tropicales, on obtient $$ \max\{a + x, b + y, c\}. $$ Étudions la fonction $p_1: {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}$ définie par $$ (x, y) \mapsto \max\{a + x, b + y, c\}. $$
Trois régions
En vert, bleu et rouge, les trois régions où la fonction $p_1$ est affine
Les lignes qui séparent les régions forment une droite tropicale ! On dit que la réunion des lignes de séparation est le lieu des coins de la fonction $p_1$ ; il est constitué des points $(x, y)$ tels que le maximum $\max\{a + x, b + y, c\}$ soit atteint au moins deux fois.
De façon plus générale, un polynôme à deux variables est une expression de la forme $$ \sum_{i,j}a_{i,j}x^iy^j. $$ Les termes $a_{i,j}x^iy^j$ sont les monômes de notre polynôme, et les nombres $a_{i, j}$ sont les coefficients. Considérons un polynôme $$ P(x, y) = \sum_{i,j}a_{i,j}x^iy^j $$ à coefficients tropicaux, et interprétons les opérations de cette expression comme opérations tropicales. Pour tout monôme $a_{i,j}x^iy^j$ du polynôme, les puissances $x^i$ et $y^j$ nous donneront les produits habituels $ix$ et $jy$, respectivement, et le monôme $a_{i,j}x^iy^j$ nous donnera $a_{i,j} + ix + jy$. Donc, en interprétant les opérations de $\sum_{i,j}a_{i,j}x^iy^j$ comme opérations tropicales, on obtient $$ \max_{i,j}\{a_{i,j} + ix + jy\}. $$ Supposons à nouveau que chaque coefficient $a_{i,j}$ de ce polynôme est différent du « zéro tropical », c’est-à-dire, différent de $-\infty$. Chacune des fonctions $$ (x, y) \mapsto a_{i,j} + ix + jy $$ est affine. Donc, la fonction $p: {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}$ définie par $$ (x, y) \mapsto \max_{i,j}\{a_{i,j} + ix + jy\} $$ est affine par morceaux. Le lieu des coins de la fonction $p$ est la courbe tropicale définie par le polynôme de départ. Par exemple, la courbe tropicale définie par le polynôme tropical $$ 1 \oplus (-1) \odot x \oplus 0 \odot y \oplus (-5) \odot x^2, $$ est représentée sur le dessin ci-dessous (dans chaque région du complémentaire de la courbe, on a mis le « monôme tropical dominant » dans cette région).
Pouvez-vous reconstruire le polynôme habituel (à coefficients tropicaux) qui, après l’interprétation de ses opérations comme opérations tropicales, donne le polynôme tropical $$ 1 \oplus (-1) \odot x \oplus 0 \odot y \oplus (-5) \odot x^2 \; ? $$ Il s’agit du polynôme $$ 1 + (-1) \cdot x + 0 \cdot y + (-5) \cdot x^2. $$ Ne soyez pas étonnés que, parmi les coefficients de ce polynôme, il y a le nombre $0$ : le nombre tropical $0$ n’est pas l’élément neutre de l’addition tropicale !
Une courbe tropicale dans ${\mathbb R}^2$ est une réunion finie de segments et de demi-droites. Voici encore un exemple d’une courbe tropicale. Essayez de trouver un polynôme tropical qui définit une telle courbe.
Une cubique tropicale
Il est naturel de considérer les courbes tropicales dans ${\mathbb T}^2$ au lieu de ${\mathbb R}^2$ en ajoutant aux courbes les points appropriés sur les deux droites « à l’infini » $\{-\infty\} \times {\mathbb T}$ et ${\mathbb T} \times \{-\infty\}$ (ces deux droites peuvent être vues comme axes de coordonnées).
En fait, chaque segment et chaque demi-droite d’une courbe tropicale dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{T}^2$ est équipé d’un poids qui est un nombre entier strictement positif, mais nous n’allons pas parler de ces poids ici.
Quelle est la relation entre les courbes algébriques habituelles et les courbes tropicales ? Pour essayer de répondre à cette question, étudions d’abord la relation entre les opérations tropicales, d’une part, et les opérations d’addition et de multiplication habituelles dans l’ensemble $$ \mathbb{R}_+ = \{x \in \mathbb{R} \ | \ x \geq 0\} $$ des nombres réels positifs ou nuls, d’autre part.
Pour tout nombre réel $t > 1$, l’application $$ \log_t : \quad{\mathbb R}_+ \to ({\mathbb R} \cup \{-\infty\}) $$ $$ x \mapsto \log_t x, $$ (on pose $\log_t 0 = -\infty$) met en correspondance les ensembles $\mathbb{R}_+$ et $\mathbb{R} \cup \{-\infty\}$.
Le graphe de l’application $\log_t$ , où $t > 1$
En utilisant, pour un nombre réel $t > 1$ donné, la correspondance $$ \log_t: {\mathbb R}_+ \to (\mathbb{R} \cup \{-\infty\}), $$ on peut « transporter » les opérations d’addition et de multiplication habituelles définies dans $\mathbb{R}_+$ pour les mettre dans $\mathbb{R} \cup \{-\infty\}$ : pour deux éléments quelconques $a$ et $b$ de $\mathbb{R} \cup \{-\infty\}$,
Ceci donne des nouvelles opérations $\oplus_t$ et $\odot_t$ dans $\mathbb{R} \cup \{-\infty\}$ : pour deux éléments quelconques $a$ et $b$ de $\mathbb{R} \cup \{-\infty\}$, on pose $$ a \oplus_t b = \; \log_t(t^a + t^b), $$ $$ a \odot_t b = \; a + b. $$ Remarquons que l’opération $\odot_t$ ne dépend pas de $t$ et coïncide avec la multiplication tropicale. De plus, vous pouvez vérifier que, quand $t$ tend vers $+\infty$, la limite de $\log_t(t^a + t^b)$ est $\max\{a, b\}$. Donc, l’addition tropicale est l’opération « limite » de $\oplus_t$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
On peut maintenant revenir à la question concernant la relation entre les courbes algébriques habituelles et les courbes tropicales.
Considérons les courbes algébriques complexes dans le plan complexe $\mathbb{C}^2$. (En mathématiques, traditionnellement, les nombres complexes sont le choix le plus naturel de coefficients !) De manière complètement similaire au cas réel, une courbe algébrique dans le plan complexe $\mathbb{C}^2$ est l’ensemble des couples $(x, y) \in \mathbb{C}^2$ qui sont les solutions de l’équation $P(x, y) = 0$, où $P$ est un polynôme à deux variables et à coefficients complexes.
Il est, peut-être, difficile d’imaginer une courbe algébrique complexe (qui est un objet de dimension $2$) dans le plan complexe $\mathbb{C}^2$ (qui est un objet de dimension $4$). Pour mieux visualiser ces courbes, on peut utiliser l’application $$ \text{Log} : \quad{\mathbb C}^2 \to ({\mathbb R} \cup \{-\infty\})^2 $$ $$ (z,w) \mapsto (\ln \vert z\vert,\ln\vert w\vert). $$ Soit $C \subset {\mathbb C}^2$ une courbe algébrique. L’ amibe ${\mathcal A}(C)$ de $C$ est l’image de $C$ par l’application $\text{Log}$. Voici à quoi ressemble l’amibe d’une droite complexe dans $\mathbb{C}^2$ :
L’amibe d’une droite complexe
De façon similaire, pour tout nombre réel $t > 1$, on peut considérer l’application $$ \text{Log}_t : \quad{\mathbb C}^2 \to ({\mathbb R} \cup \{-\infty\})^2 $$ $$ (z,w) \mapsto (\log_t \vert z\vert, \log_t\vert w\vert), $$ et, pour toute courbe algébrique $C \subset {\mathbb C}^2$, on peut définir la $t$-amibe ${\mathcal A}_t(C)$ de $C$ comme image de $C$ par l’application $\text{Log}_t$.
Remarquons qu’une droite tropicale ressemble à une amibe « rétrécie » d’une droite complexe. En effet, pour toute droite tropicale, il existe une famille $\{C_t\}_{t \in ]1, +\infty[}$ de droites complexes dans $\mathbb{C}^2$ telle que les amibes ${\mathcal A}_t(C_t)$ convergent vers cette droite tropicale quand $t$ tend vers $+\infty$.
De façon plus générale, pour toute courbe tropicale dans $\mathbb{T}^2$, il existe une famille $\{C_t\}_{t \in ]1, + \infty[}$ de courbes complexes dans $\mathbb{C}^2$ telle que les amibes ${\mathcal A}_t(C_t)$ convergent vers cette courbe tropicale quand $t$ tend vers $+\infty$.
Cette relation entre le monde algébrique complexe et le monde tropical est à la base de théorèmes de correspondance qui ont beaucoup d’applications, par exemple, en géométrie énumérative (comme le montre une série de travaux initiée par le travail de Grigory Mikhalkin [M] sur la géométrie tropicale énumérative dans ${\mathbb R}^2$). Les problèmes de la géométrie énumérative concernent le dénombrement d’objets géométriques ( e.g., de courbes algébriques) vérifiant certaines conditions. Des introductions élémentaires à la géométrie tropicale et à ses applications en géométrie énumérative peuvent être trouvées dans [B] et [HPS].
[B] E. Brugallé, Un peu de géométrie tropicale, Quadrature, n° 74 (2009), 10-22.
[HPS] P. Harinck, A. Plagne et C. Sabbah (éditeurs), Géométrie tropicale, Journées mathématiques X-UPS 2008, Editions de l’Ecole Polytechnique, 2008.
[M] G. Mikhalkin, Enumerative tropical algebraic geometry in $\mathbb{R}^2$, J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), 313—377.
Un grand merci à Michèle Audin, Simon Billouet, Maxime Bourrigan, Erwan Brugallé, Serge Cantat, Gilles Damamme, Damien Gaboriau, Etienne Ghys et Nicolas Schabanel. Leurs remarques et suggestions m’ont beaucoup aidé à améliorer la première version de l’article.
