Du boulier à la révolution numérique

Le 17 juin 2013  - Ecrit par  Vicenç Torra Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques, suivi du sommaire du livre.

Extrait du chapitre 3 - Les premiers instruments mécaniques de calcul

Le XVIIe siècle

En 1617, le mathématicien écossais John Neper (ou Napier) inventa l’un des premiers
outils de calcul, un boulier connu sous le nom « les os de Neper ». Cet instrument
se révéla si efficace qu’il fut utilisé jusqu’au début du xxe siècle.

John Neper (1550-1617)

Le mathématicien John Neper découvrit la théorie des logarithmes,
qu’il appela « nombres artificiels », et donna son
nom aux logarithmes népériens.

PNG - 73.8 ko

Très intéressé par la théologie,
il appliqua le formalisme mathématique pour interpréter
l’Apocalypse selon saint Jean, ce qui lui permit de calculer
que la fin du monde se produirait entre 1688 et 1700.

Les os de Neper étaient basés sur un concept en réalité très simple puisqu’ils
constituaient une sorte de table de multiplication. Il s’agissait de 10 bâtons de bois,
quadrangulaires, numérotés de 0 à 9, et qui comprenaient 9 espaces dans lesquels se
trouvaient les 9 multiples du nombre exprimés au moyen de deux chiffres séparés
par une barre inclinée, comme l’indique la figure.

PNG - 273.8 ko
Reconstruction moderne des os de Neper

Voyons un exemple du fonctionnement de cet instrument : considérons la
multiplication de 35 672, un nombre qui permet de jouer avec tous les bâtons.
Il faut placer en séquence les bâtons correspondant aux cinq chiffres du nombre,
autrement dit d’abord le bâton portant le chiffre 3, puis celui portant le 5, puis le 6,
le 7 et enfin, le 2. La simple observation des bâtons dans cette disposition montre
toutes les possibilités de multiplication de 35 672 par n’importe quel chiffre de 1
à 9, qui apparaissent dans chaque rangée. Et donc, pour multiplier 35 672 par 4, il
suffit de prendre les nombres se trouvant dans la rangée 4, lesquels, dans notre cas,
correspondent à :

\[1/2\qquad 2/0\qquad 2/4\qquad 2/8\qquad 0/8.\]

On additionne alors les nombres contigus situés entre les divisions inclinées :

\[1/2 + 2/0 + 2/4 + 2/8 + 0/8.\]

On obtient :
\[1 / 4 / 2 / 6 / 8 / 8.\]
Soit 142 688. Ce résultat peut être vérifié à la main ou à l’aide d’une calculatrice ;
en tout cas, il correspond au produit de 35 672 par 4 :
\[35 672 × 4 = 142 688.\]

PNG - 37.3 ko
Les os de Neper utilisés pour multiplier 35 672 par 4.

Dans le cas de la multiplication par des nombres composés de plusieurs chiffres,
l’opération est la même que celle que l’on réalise de nos jours : on multiplie chaque
chiffre du deuxième nombre par le premier nombre puis on fait la somme. Pour
obtenir les multiplications partielles, on applique le système de base. Notons que
toutes les multiplications partielles nécessaires se trouvent dans les mêmes planchettes.
Par exemple, pour multiplier $35 672$ par $436$, on fait les calculs précédents pour les
rangées $4,\, 3$ et $6$ des planchettes. Elles nous donneront les nombres suivants, lesquels
devront être présentés alignés conformément aux divisions inclinées des planchettes :

PNG - 10.8 ko

Les nombres étant ainsi disposés, il est possible de réaliser la multiplication de
$35 672$ par $436$ en faisant la somme des résultats des multiplications partielles comme
suit : on place d’abord les résultats des multiplications partielles puis les sommes
partielles selon les dispositions en diagonale et enfin, la propagation des retenues.

PNG - 15.7 ko

Si on réalise l’opération à l’aide d’une calculatrice, on peut vérifier encore une
fois que le résultat est parfaitement correct :

\[35 672 × 436 = 15 552 992.\]
On peut voir que les rangées calculées correspondent à celles que l’on obtiendrait
avec l’algorithme de multiplication que nous connaissons aujourd’hui. Les résultats
partiels sont :

PNG - 13.4 ko

Toutefois, les os de Neper ne servent pas qu’à réaliser des multiplications.
La division d’un nombre composé de plusieurs chiffres par un autre s’effectue
en plaçant les planchettes correspondant aux chiffres du diviseur. Les multiples
du diviseur apparaissant alors dans les différentes lignes des planchettes, on peut
déterminer plus facilement les chiffres du résultat.

[...]

PDF - 1.5 Mo
Sommaire du livre
Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : David Auger. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Vicenç Torra — «Du boulier à la révolution numérique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Manon Bucciarelli
Reconstruction moderne des os de Neper - Age-Fotostock
img_10210 - Archives RBA

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

registros

Cet article fait partie du dossier «Le monde est mathématique» voir le dossier

Suivre IDM