Du côté des lettres (2) : une lettre de Sophie Germain à Carl Friedrich Gauss (20 février 1807), et la réponse de celui-ci (30 avril 1807)

Piste verte 22 août 2014  - Ecrit par  Jean-Pierre Friedelmeyer Voir les commentaires (4)

Depuis longtemps, les correspondances alimentent le travail des historiens. Aux noms de mathématiciens renommés s’associent des centaines de correspondants, illustres ou anonymes, tissant ainsi un vaste réseau de sociabilités. Dans cette série « Du côté des lettres » nous proposerons périodiquement la lecture commentée d’une lettre autour des mathématiques. S’appuyant sur les nombreux travaux d’édition de correspondances de mathématiciens en cours ou achevés, elle offrira aux lecteurs d’Images des Mathématiques une fenêtre ouverte sur les coulisses de la fabrication du savoir mathématique et de la vie mathématique, alternant lettres scientifiques et lettres plus intimes, correspondances anciennes et contemporaines.

Une lettre de Sophie Germain à Carl Friedrich Gauss (20 février 1807), et la réponse de celui-ci (30 avril 1807)

Présentation de la lettre

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) s’est révélé dès sa jeunesse comme un mathématicien extrêmement brillant, nous offrant, selon l’expression du mathématicien allemand Felix Klein, une remarquable et très heureuse jonction de l’esprit des deux époques au carrefour desquelles il se situe. Grande figure du 19e siècle par ses thèmes de recherche et ses idées novatrices, par la rigueur et la précision de ses publications scientifiques, il peut cependant apparaître comme un homme du 18e siècle par l’écriture de la plupart de ses œuvres en latin, par la diversité des sujets traités (mathématiques, physique, astronomie, géodésie), par sa correspondance sur les questions scientifiques avec quelques personnes choisies, peu nombreuses. Que parmi ces personnes se trouve une femme mathématicienne est pour l’époque suffisamment rare pour mériter l’intérêt que nous portons à un échange de lettres daté de l’année 1807 et que nous présentons ici.

Gauss était marié depuis un an et demi à Johanna Osthoff, « un merveilleux visage de madone dans lequel se reflète la paix de l’âme et la santé, des yeux tendres un peu exaltés, une taille irréprochable et une intelligence vive… » [1] mais qu’il perdra prématurément le 11 octobre 1809, après la naissance du troisième enfant, à peine âgée de 29 ans. En cette année 1807, Gauss était donc très heureux sur le plan personnel mais cependant en butte à de sérieuses difficultés professionnelles. Napoléon venait de battre les troupes prussiennes du duc de Brunswick à Iéna (octobre 1806) et occupait une grande partie de la Prusse, en particulier Brunswick, la ville où habitait Gauss. La mort du duc sur le champ de bataille anéantissait les ressources qu’il avait trouvées chez ce protecteur qui lui avait permis de faire ses études au lycée et à l’université, et même après, de se consacrer à ses recherches mathématiques. Heureusement sa célébrité de mathématicien acquise particulièrement depuis la publication en 1801 de ses Disquisitiones arithmeticae [2] lui donnait des appuis non négligeables parmi les savants parisiens que Napoléon écoutait volontiers, d’autant plus que Gauss était depuis 1804 membre correspondant de l’Académie des Sciences de Paris.

Parmi les personnes préoccupées par la situation de Gauss se trouvait Sophie Germain (1776-1831) qui correspondait avec lui depuis novembre 1804, mais sous le pseudonyme de M. Le Blanc [3]. Elle avait emprunté ce nom depuis quelques années déjà afin de pouvoir suivre les cours de l’Ecole polytechnique, nouvellement créée, qui était interdite aux femmes. Elle s’était arrangée pour obtenir les notes de cours de certains professeurs, particulièrement le cours d’analyse de Lagrange, les professeurs encourageant les étudiants à faire par écrit les observations qu’ils souhaitaient. Lagrange fut très impressionné par la pertinence de celles de Le Blanc, au point qu’il demanda à le rencontrer et fut très surpris de découvrir que c’était une femme. Lagrange accepta très bien ce fait et prodigua nombre de conseils à Sophie Germain, ce qui ne fut pas toujours le cas des autres mathématiciens ; l’astronome De La Lande avait conseillé à la jeune femme de lire son Astronomie des dames. [4]. Irritée, elle lui répondit vivement qu’elle avait déjà lu L’exposition du système du Monde de Laplace [5]. Elle avait ainsi acquis dans les milieux scientifiques parisiens la réputation d’une sorte de prodige, mais qui ne lui ouvrait pas pour autant les portes de l’enseignement officiel, réservé aux hommes, ce qui la contraignait à se former par elle-même. C’est ainsi qu’elle étudia avec une grande ferveur la Théorie des nombres de Legendre paru en 1798. Ayant également eu connaissance des Disquisitiones arithmeticae de Gauss, elle les travailla en profondeur et prit l’initiative de lui écrire, désirant ardemment être reconnue et encouragée dans ses qualités. Elle écrivit donc une première lettre le 21 novembre 1804, mais sous le nom de Le Blanc, craignant le ridicule attaché au titre de femme savante. Gauss lui répondit quelques mois plus tard, entamant ainsi une correspondance espacée mais régulière, en réponse à chacune de ses premières lettres et n’hésitant pas à y aborder à chaque fois les questions mathématiques les plus délicates soulevées par Sophie Germain dans des notes ajoutées à ses lettres
 [6] .

La quatrième lettre de Sophie Germain et la réponse de Gauss sont particulièrement intéressantes. Non seulement parce que Sophie Germain y révèle sa véritable identité et Gauss sa surprise à cette annonce, mais aussi parce qu’il y prend le temps de répondre aux réflexions et aux résultats arithmétiques énoncés par sa correspondante parisienne dans la note ajoutée à la lettre. Impressionné par leur pertinence et leur profondeur, Gauss ne pouvait qu’être flatté d’avoir trouvé en elle une lectrice intéressée et compétente sur un sujet, la théorie des nombres, auquel peu de mathématiciens se consacraient à cette époque, alors qu’elle était pour lui le domaine de prédilection. « Rien ne pourrait me prouver d’une manière plus flatteuse et moins équivoque, que les attraits de cette science, qui ont embelli ma vie de tant de jouissances, ne sont pas chimériques, que la prédilection, dont vous l’avez honorée », écrira t-il dans sa lettre.

Inquiète pour la situation de Gauss après l’occupation de Brunswick par les troupes napoléoniennes, Sophie Germain avait profité de ce que le général Pernety commandant l’artillerie de l’armée française était un ami de sa famille pour le prier de s’assurer que Gauss était en sécurité et de le mettre sous sa protection. Pernety confia cette mission au chef de bataillon Chantal qui rendit visite à Gauss, l’informant de l’identité de son protecteur, Mademoiselle Sophie Germain, mais que Gauss avoua ne pas avoir l’honneur de connaître. Informée en retour de cette démarche par le général Pernety, Sophie Germain se sentit alors obligée de révéler sa véritable identité dans une lettre datée du 20 février 1807.


La lettre de Sophie Germain à Gauss (20 février 1807)

A Monsieur le docteur Gauss, logé chez Ritter, Steinweg, Nr. 1917 à Brunswick

Monsieur, l’intérêt dû aux hommes supérieurs suffit pour expliquer le soin que j’ai pris de prier le général Pernetty [7] de faire savoir, à qui il jugerait convenable, que vous avez droit à l’estime de tout gouvernement éclairé.

En me rendant compte de l’honorable mission dont je l’avais chargé, M. Pernetty m’a mandé qu’il vous avait fait connaître mon nom : cette circonstance me détermine à vous avouer que je ne vous suis pas aussi parfaitement inconnue que vous le croyez ; mais que, craignant le ridicule attaché au titre de femme savante, j’ai autrefois emprunté le nom de M. Le Blanc pour vous écrire et vous communiquer des notes qui, sans doute, ne méritaient pas l’indulgence avec laquelle vous avez bien voulu y répondre.

La reconnaissance que je vous dois pour l’encouragement que vous m’avez accordé, en me témoignant que vous me comptiez au nombre des amateurs de l’arithmétique sublime dont vous avez développé les mystères, était pour moi un motif particulier de m’informer de vos nouvelles dans un moment où les troubles de la guerre pouvaient inspirer quelques craintes, et j’ai appris avec une véritable satisfaction que vous êtes resté dans vos foyers aussi tranquille que les circonstances le permettaient. Je crains cependant que les suites de ces grands événements ne nous privent encore longtemps des ouvrages que vous préparez sur l’astronomie et, surtout, de la continuation de vos recherches arithmétiques ; car cette partie de la science a pour moi un attrait particulier et j’admire toujours avec un nouveau plaisir l’enchaînement des vérités exposées dans votre livre ; malheureusement, la faculté de penser avec force est un attribut réservé à un petit nombre d’esprits privilégiés, et je suis bien sûre de ne rencontrer aucun des développements qui, pour vous, semblent une suite inévitable de ce que vous avez fait connaître.

Je joins à ma lettre une note destinée à vous témoigner que j’ai conservé pour l’analyse le goût qu’a développé en moi la lecture de votre ouvrage, et qui m’a autrefois inspiré la confiance de vous adresser mes faibles essais, sans autre recommandation auprès de vous que la bienveillance accordée par les savants aux admirateurs de leurs travaux.

J’espère que la singularité, dont je fais aujourd’hui l’aveu, ne me privera pas de l’honneur que vous m’avez accordé sous un nom emprunté, et que vous ne dédaignerez pas de consacrer quelques instants à me donner directement de vos nouvelles ; croyez, Monsieur, à l’intérêt que j’y attache et recevez l’assurance et la sincère admiration avec laquelle j’ai l’honneur d’être,

Votre très humble servante,

Sophie GERMAIN.

Début manuscrit de la lettre de Sophie Germain

Extrait d’une photolithographie réalisée à Berlin et publiée par B. Boncompagni en 1880 sous le titre Cinq lettres de Sophie Germain à Charles Frédéric Gauss d’après les originaux possédés par la Société royale des Sciences de Göttingen [8].

Sophie Germain a ajouté à cette lettre une note purement mathématique contenant les deux propositions suivantes avec leur démonstration (que nous ne citons pas) :

De quelque manière que l’on sépare un nombre quelconque de la forme h 2 + nf 2 en deux parties (n étant un nombre premier de la forme 4k + 3) la somme des puissances n ième de chacune de ces parties sera aussi de la même forme h 2 + nf 2.

Et sa réciproque

Si la somme des puissances n ièmes, de deux nombres quelconques est de la forme h 2 + nf 2, la somme de ces nombres eux-mêmes sera de la même forme. [9]


La réponse de Gauss (30 avril 1807)

(La lettre est retranscrite telle que Gauss l’a écrite, c’est-à-dire en français, mais avec les quelques fautes et archaïsmes bien compréhensibles de la part de quelqu’un qui fait l’effort de répondre dans la langue de son correspondant).

Votre lettre du 20 février, mais qui ne m’est parvenue que le 12 mars, a été pour moi la source d’autant de plaisir que de surprise. Combien l’acquisition d’une amitié aussi flateuse et précieuse est-elle douce à mon cœur ! L’intérêt vif que vous avez pris à mon sort pendant cette guerre funeste, mérite la plus sincère reconnaissance. Assurément, votre lettre au général Pernety m’eût été fort utile, si j’avais été dans le cas d’avoir recours à une protection spécielle de la part du gouvernement françois. Heureusement les evenements et les suites de la guerre ne m’ont pas touché de trop près jusqu’ici, bien que je sois persuadé qu’elles auront une grande influence sur le plan futur de ma vie. Mais comment vous décrire mon admiration et mon étonnement, en voïant se metamorphoser mon correspondant estimé M. Leblanc en cette illustre personnage, qui donne un exemple aussi brillant de ce que j’aurois peine de croire. Le goût pour les sciences abstraites en général et surtout pour les mysteres des nombres est fort rare : on ne s’en étonne pas ; les charmes enchanteurs de cette sublime science ne se decelent dans toute leur beauté qu’à ceux qui ont le courage de l’approfondir. Mais lorsqu’une personne de ce sexe, qui, par nos mœurs et par nos préjugés, doit rencontrer infiniment plus d’obstacles et de difficultés, que les hommes, à se familiariser avec ses recherches epinenses, sait neansmoins franchir ces entraves et penétrer ce qu’elles ont de plus caché, il faut sans doute, qu’elle ait le plus noble courage, des talens tout à fait extraordinaires, le génie supérieur. En effet rien ne pourroit me prouver d’une manière plus flatteuse et moins équivoque, que les attraits de cette science, qui ont embelli ma vie de tant de jouissances, ne sont pas chimériques, que la predilection, dont vous l’avez honorée.

Les notes savantes, dont toutes vos lettres sont si richement remplies, m’ont donné mille plaisirs. Je les ai étudiées avec attention, et j’admire la facilité avec laquelle vous avez pénétré toutes les branches de l’Arithmetique, et la sagacité avec laquelle vous les avez su généraliser et perfectionner. Je vous prie d’envisager comme une preuve de cette attention, si j’ose ajouter une remarque à un endroit de votre dernière lettre. Il me semble, que la proposition inverse, savoir « si la somme des puissances nemes de deux nombres quelconques est de la forme hh + nff, la somme de ces nombres eux-mêmes sera de la meme forme » est énoncée un peu trop generalement [10]. Voici un exemple où cette règle est en défaut :

1511 + 811 = 8649755859375 + 8589934592 = 8658345793967 = 15958262 + 11.7453912.

Néanmoins 15 + 8 = 23 ne peut se reduire sous la forme xx + 11yy.

[(…) Suit une autre proposition précisant les deux propositions de Sophie Germain avec sa démonstration, que nous ne reproduisons pas en raison de son caractère très technique.]

Depuis cinq ans des travaux astronomiques [11] — auquels pour le dire en passant je dois surtout l’heureuse situation dont j’ai joui pendant la vie de notre duc, le victime malheureux de son attachement fidel à la maison de Prusse — m’ont empêché de me livrer autant qu’auparavant à ma predilection pour l’arithmetique et les autres branches de l’analyse. Je n’ai pas pourtant négligé celle-ci tout à fait. Tout au contraire j’ai rassemblé peu à peu un grand nombre de recherches, qui un jour formeront un autre volume — si non deux — certainement pas moins intéressant que le premier. Même dans le dernier hiver j’ai reussi à y ajouter une branche entièrement nouvelle. C’est la théorie des résidus cubiques et des résidus biquarrés, portée à un degré de perfection, égal à celui, qu’a atteint la théorie des résidus quarrés [12]. Je mets cette théorie, qui repand un nouveau jour sur les résidus quarrés parmi les recherches les plus curieuses dont je me sois jamais occupé. Je ne saurais vous en donner une idée sans ecrire un Memoire expres. Voici pourtant quelque theoreme special, qui pourra servir d’un petit echantillon.

I. Soit p un nombre premier de la forme 3n + 1. Je dis, que 2. (c.a.d. +2 et -2) est résidu cubique de p, si p se reduit à la forme xx + 27.yy ; que 2 est non-résidu cubique de p, si 4p se reduit à cette forme. P.E.7.13.19.31.37.43.61.67.73.79.97 [13]. Vous ne trouverez que 31 = 4 + 27. 43 = 16 + 27, et 2 = 43 (mod. 31), 2 = (-93) (mod. 43).

II. Soit p un nombre premier de la forme 8n + 1. Je dis que +2 et -2 seront residus ou non-résidus biquarrés de p, suivant ce que p est ou n’est pas de la forme xx + 64 yy. Par exemple parmi les nombres 17.41.73.89.97.113.137 vous ne trouvez que 73 = 9 + 64. 89 = 25 + 64. 113 = 49 + 64, et 254 = 2 (mod. 73), 54 = 2 (mod. 89), 204 = 2 (mod. 113) [14].

La demonstration de ces theoremes et de ceux qui sont plus generaux sont intimement liés à des recherches delicates. — Voici une autre proposition relative aux residus quarrés, dont la demonstration est moins cachée : je ne l’ajoute pas, pour ne pas vous derober le plaisir de la developper vous-même, si vous la trouverez digne d’occuper quelques moments de votre loisir.

Soit p un nombre premier. Soient les p - 1 nombres inférieurs à p partagés en deux classes :

A..... 1, 2, 3, 4....½(p - 1)

B..... ½(p + 1), ½(p + 3), ½(p + 5), ... p - 1

Soit a un nombre quelconque non divisible par p. Multipliés tous les nombres A par a ; prenés-en les moindres residus selon le module p, soient, entre ces residus, α appartenants à A, et β appartenants à B, de sorte que α + β = ½(p - 1). Je dis que a è residu quarré de p lorsque β è pair, non residu lorsque β è impair.

[(…) Suivent quelques indications de compléments et corrections, en partie en latin, à apporter à l’édition des Disquisitiones arithmeticae.]

J’aurois repondu plus tôt a votre lettre, mais la découverte d’une nouvelle planète par M. Olbers m’a un peu distrait.

[(…) Suivent quelques considérations sur des observations comparant cette nouvelle planète à Cérès, Pallas et Junon.]

Je viens d’achever un ouvrage étendu sur les methodes, qui me sont propres, à determiner les orbites des planètes. Mais quoique je l’aie ecrit en allemand, je trouve beaucoup de difficulté d’y engager un libraire. La guerre a suspendu tout commerce, plusieurs de nos plus grands libraires l’ont refusé. Je suis à present à traiter avec un autre qui se montre un peu plus courageux. S’il trouvera son conte à cette entreprise, peut-être il sera encouragé par la à risquer la publication d’un second volume de mes disquisitiones.

Continuez, Mademoiselle, de me favoriser de votre amitié et de votre correspondance, qui font mon orgueil, et soïes persuadée, que je suis et serai toujours avec la plus haute estime,

Votre plus sincere admirateur,

Ch. Fr. GAUSS.

Bronsvic, ce 30 Avril 1807, jour de ma naissance.


Post-scriptum :

Merci à tous les relecteurs, Laurent Bétermin, Antoine Chambert-Loir et Antonin Guilloux qui m’ont permis d’améliorer et d’étoffer notablement ma première version.

Article édité par Hélène Gispert

Notes

[1Lettre de Gauss à son ami F. Bolyai du 28 juin 1804. Elle nous montre un Gauss, réputé froid et austère, sous un jour beaucoup plus sensible et passionné, tel qu’il se révélera également dans sa correspondance avec Sophie Germain.

[2Les Disquisitiones arithmeticae ou Recherches arithmétiques est un livre de théorie des nombres qui représente une avancée exceptionnelle en mathématiques, tant par son contenu innovant que par la rigueur de sa présentation. Entre autre, Gauss y introduit la notion de congruence, il y donne les critères de constructibilité des polygones réguliers à la règle et au compas. Il a inspiré nombre de travaux ultérieurs, en particulier ceux d’Abel ou de Galois. Publié en latin en 1801, il a été traduit en français en 1807 par Poullet-Delisle.

[3Pour des éléments biographiques sur Sophie Germain, on pourra consulter sur IdM ce court extrait.

[4Le Mercure de France (vol. 23, février 1806, p. 221) nous explique que L’Astronomie de M. Delalande est renfermée dans un des cent cinquante-quatre petits volumes qui composent la Bibliothèque des Dames, extrait de son grand Traité d’Astronomie, (…) et rapetissé de cette sorte « parce qu’il lui importe d’attirer, non d’effrayer à l’abord des sciences ».

[5Publié en 1796, l’Exposition du système du monde est volontiers considéré comme l’ouvrage de mécanique le plus important après les Principia mathematica de Newton. Il y donne une solution complète du grand problème de mécanique céleste que pose le système solaire.

[6Au total on connaît dix lettres de S. Germain à Gauss conservées à la Société royale des Sciences de Göttingen ; huit lettres écrites entre 1804 et 1809, qui lui valurent quatre réponses de Gauss, et deux autres, en 1819 et 1829 pour lesquelles il n’existe aucune réponse connue. On trouvera une étude approfondie de cette correspondance dans Arch. Hist. Exact Sci. (2012) 66. 585-700, « The correspondance between Sophie Germain and Carl Friedrich Gauss », par Andrea Del Centina et Allessandra Fiocca.

[7Comme le montre l’extrait manuscrit, Sophie Germain met deux t au nom du général, là où il n’y en a qu’un.

[8Cette publication par Boncompagni à longtemps fait croire qu’il n’existait que cinq lettres de S. Germain, conservées à Göttingen et sans connaître l’existence des adentas mathématiques.

[9Dans sa réponse Gauss donne un contre exemple infirmant ce résultat.

[10Selon une habitude du 18e siècle, Gauss écrit encore xx là où nous écrivons x2.

[11Après la mort du duc de Brunswick, en 1807, Gauss avait accepté un poste de professeur d’astronomie et de directeur de l’Observatoire de Göttingen.

[12Résidus quarrés. Gauss désigne ainsi ce que nous appelons résidus quadratiques. La résolution des équations diophantiennes du second degré fait intervenir, comme pour les équations classiques un discriminant, qui permet de les ramener à une équation de la forme (1) x2r (mod.p) où p est un nombre premier. L’équation (1) aura des solutions à condition que r soit congru à un carré selon le module p. On dit dans ce cas que r est résidu quadratique selon le module p et l’on démontre que le nombre des résidus quadratiques distincts pour le module premier p, (p ≠ 2) est égal à (p - 1) / 2. Par exemple 1, 3, 4, 5, 9 sont résidus quadratiques selon le module 11 ; 2, 6, 7, 8, 10 sont non résidus. Une idée similaire est développée pour les résidus cubiques ou biquadratiques.

Un des autres intérêts de cette lettre de Gauss réside justement dans le fait qu’elle permet de dater les premières recherches de Gauss sur les résidus biquadratiques, alors qu’il ne publiera sur la question que plus de vingt années plus tard.

[13Gauss a mis des points là où nous mettons des virgules, et P.E. pour « Par exemple ».

[14Cette dernière congruence est incorrecte ; on a 204 ≡ -8 (mod.113) ; néanmoins 2 est bien résidu biquadratique car 274 ≡2 (mod.113).

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Pour citer cet article :

Jean-Pierre Friedelmeyer — «Du côté des lettres (2) : une lettre de Sophie Germain à Carl Friedrich Gauss (20 février 1807), et la réponse de celui-ci (30 avril 1807)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

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Commentaire sur l'article

  • Du côté des lettres (2) : une lettre de Sophie Germain à Carl Friedrich Gauss (20 février 1807), et la réponse de celui-ci (30 avril 1807)

    le 24 août 2014 à 12:21, par Thomas Sauvaget

    Merci à l’auteur pour cet article intéressant, et à l’équipe éditoriale pour cette rubrique qui est une très bonne idée.

    Répondre à ce message
  • Du côté des lettres (2) : une lettre de Sophie Germain à Carl Friedrich Gauss (20 février 1807), et la réponse de celui-ci (30 avril 1807)

    le 20 mars 2015 à 14:39, par fluvial

    Bonjour,

    Merci de votre article. Je me pose une question dans ce que met Gauss dans sa lettre où il indique :
    « 15^11 + 8^11 = 8649755859375 + 8589934592 = 8658345793967 = 1595826² + 11.745391². »

    Comment a-t-il fait pour trouver ce contre-exemple sans calculatrice ?
    L’idée même de calculer de tête 15^11 + 8^11 me donne des vertiges ....

    Merci de votre réponse.
    Bien cordialement,
    Fluvial

    Répondre à ce message
    • Du côté des lettres (2) : une lettre de Sophie Germain à Carl Friedrich Gauss (20 février 1807), et la réponse de celui-ci (30 avril 1807)

      le 20 mars 2015 à 18:09, par Jean-Pierre Friedelmeyer

      merci pour l’intérêt que vous avez manifesté pour ce texte.
      Gauss était non seulement un génie mathématique (le prince des mathématiciens) mais aussi un calculateur prodige, entraîné depuis le plus jeune âge à effectuer des calculs longs et compliqués dont beaucoup mentalement. Les anecdotes sont nombreuses, la plus célèbre étant le calcul de tête à l’âge de sept ans de la somme 1+2+3+....+100 moyennant une petite astuce.
      Pour ce qui est du calcul de 15^11, il devait certainement être capable de calculer 15^4 = 50625 de tête puis en prendre le carré et multiplier le résultat par 15^3 ou quelque chose de ce genre.Quant à 8^11 = 2^33 = (2^10)^3 x =1024^3 x 8, c’est encore plus simple ! Aujourd’hui, l’usage des calculatrices a beaucoup réduit nos capacités de calcul mental !

      Répondre à ce message
  • Du côté des lettres (2) : une lettre de Sophie Germain à Carl Friedrich Gauss (20 février 1807), et la réponse de celui-ci (30 avril 1807)

    le 20 mars 2015 à 19:34, par fluvial

    merci beaucoup de votre réponse.

    hmmm, en effet... après, outre le calcul, il faut aussi trouver le calcul et se rendre compte de la chose ce qui là, m’apparaît vraiment impossible de tête :O

    ps : dieu soit béni la calculatrice ;)

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