Du côté des lettres : une lettre d’Olry Terquem à Eugène Catalan (31 août 1849)

Piste bleue Le 22 octobre 2018  - Ecrit par  Jean Delcourt Voir les commentaires

Depuis longtemps, les correspondances alimentent le travail des historiens. Aux noms de mathématiciens renommés s’associent des centaines de correspondants, illustres ou anonymes, tissant ainsi un vaste réseau de sociabilités. Dans cette série « Du côté des lettres » nous proposerons périodiquement la lecture commentée d’une lettre autour des mathématiques. S’appuyant sur les nombreux travaux d’édition de correspondances de mathématiciens en cours ou achevés, elle offrira aux lecteurs d’Images des Mathématiques une fenêtre ouverte sur les coulisses de la fabrication du savoir mathématique et de la vie mathématique, alternant lettres scientifiques et lettres plus intimes, correspondances anciennes et contemporaines.

Une lettre d’Olry Terquem à Eugène Catalan (31 août 1849)

La lettre que nous présentons fait partie de la correspondance entre Olry Terquem et Eugène Catalan, deux personnalités originales et attachantes de la scène mathématique du XIXe siècle. Cette correspondance est constituée d’une cinquantaine de lettres écrites par Terquem entre février 1839 et 1862, année de sa disparition. Elles sont conservées dans le fonds Catalan disponible à la salle des manuscrits de l’université de Liège (cote MS 1307 C).

Nous remercions François Jongmans qui, en 2006, nous avait permis la localisation de toutes ces lettres [MS 1307 C, I : 23, 26, 45, 46, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 97 & 100 II : 101, 102, 103, 104, 105, 106, 109, 110, 112, 132, 135, 142, 147, 152, 172, 173, 174, 186, 187, 188 & 189 III : 8, 40, 41, 42, 43, 44 & 45). Nous n’avons pas réussi à localiser les réponses de Catalan.

Olry TerquemCommençons par présenter Terquem, l’auteur de la lettre. Né en 1782 dans une famille juive de Metz, il entre à l’École polytechnique en 1801. Il commence par s’orienter vers l’enseignement puisqu’il sera brièvement répétiteur de mathématiques à polytechnique avant d’être nommé professeur au lycée de Mayence. Mais en 1814, Mayence n’est plus française et Terquem retourne à Paris où il prend le poste de bibliothécaire du dépôt d’artillerie à Vincennes, et le gardera jusqu’à la fin de sa vie. En dépit de l’apparence tranquille de cette carrière, Terquem va toute sa vie déployer une intense activité mathématique. Docteur en mathématiques dès 1812, il publie des articles dans divers journaux, comme le célèbre Journal de Liouville, et surtout en 1842 il crée avec Camille Gérono, les Nouvelles annales de mathématiques, revue mensuelle qui paraîtra jusqu’en 1927. Dans cette revue destinée aux « candidats aux écoles polytechnique et normale » mais qui a un public bien plus large, Terquem est omniprésent : pour écrire lui même des articles, commenter d’autres, proposer des traductions, éclaircir des points d’histoire ou polémiquer sur l’enseignement des mathématiques.

Eugène Catalan Eugène Catalan est bien plus jeune ; né à Bruges en 1814, il vivra une cinquantaine d’années à Paris avant de rejoindre la Belgique. Son parcours « scolaire » est un peu curieux ; n’étant pas allé au collège, il suit les cours d’une école de dessin, se fait remarquer par ses dispositions en mathématiques, et réussit en 1833 le concours d’entrée à l’École polytechnique. Esprit aventureux, républicain farouche, il choisit l’enseignement et pour cela passe le baccalauréat puis l’agrégation dans la foulée. Professeur de lycée (Charlemagne puis Saint-Louis), répétiteur à l’École polytechnique, il refuse de prêter serment à Napoléon III et doit survivre en enseignant dans des cours privés et en écrivant des manuels. En 1865 enfin, ses nombreux travaux, ses livres, lui permettent d’être recruté comme professeur de mathématiques à l’université de Liège. C’est le retour en Belgique où il restera jusqu’à son décès en 1894. L’œuvre mathématique de Catalan est importante surtout dans deux domaines : l’arithmétique et la combinatoire d’un côté, et de l’autre la géométrie, mais il fera également des recherches en analyse.

Catalan a contribué à de nombreuses reprises aux Nouvelles annales de mathématiques, et sa correspondance avec Terquem porte très souvent sur des articles qu’il propose, ou qu’on lui demande. Il sera lui-même à l’origine d’une autre revue, la Nouvelle correspondance mathématique, créée en 1874 avec son ami Mansion. François Jongmans a écrit une très riche biographie de Catalan : Eugène Catalan, Géomètre sans patrie, républicain sans république, Mons, Société belge des professeurs de mathématiques d’expression française, 1996.

Une lettre et beaucoup de mathématiques

Le nombre de thèmes abordés dans cette lettre, datée du 31 août 1849, est impressionnant (ce n’est pas forcément le cas dans le reste de la correspondance entre Catalan et Terquem). Il est à l’image de la revue Les Nouvelles annales de mathématiques qui s’intéresse à beaucoup de domaines mathématiques, à des niveaux variés mais reste compréhensible à de bons élèves de classes préparatoires. Cette lettre montre également le style très vif de Terquem et son érudition étonnante : polyglotte, il proposera de nombreuses traductions (de l’allemand notamment) ; il est féru et versé dans l’histoire des sciences mathématiques et est un militant actif dans la communauté juive, prônant une réforme du judaïsme qui s’appuie sur l’idéologie des lumières. Un colloque ayant pour héros Olry Terquem a eu lieu à Nancy, aux Archives Henri Poincaré, le 6 septembre 2018.

La lettre commentée

Mon cher géomètre,

Ce n’est pas comme difficile que je vous ai proposé les problèmes combinatoires ; ce serait une indiscrétion de les proposer à un Catalan ; mais pour obtenir des solutions claires, à la portée et à la couleur des élèves, je vous remercie de votre envoi ; j’en ferai bon usage.

La formule générale pour $(s,n)$ est trouvée depuis longtemps ; mais celle de $[s,n]$ a été donnée il y a qcq années, pour la 1ere fois par Stern [1]. C’est cette distinction que vous signalez entre les paires et impaires qui arrêtait tout le monde. Stern a tourné la difficulté en introduisant le signe $\left(\frac{n}{2}\right)$ qui désigne la partie entière du quotient ; sa formule est alors applicable aux deux cas, j’en parlerai dans les Nlles Annales [2].

Je recevrai avec reconnaissance votre factum sur la sphère inscrite au tétraèdre [3] ; je vous engage à lire dans les Nelles Ann. l’article de Steiner sur la division de l’espace général en espaces particuliers par des plans donnés ; cela a un rapport intime avec votre question, les relations analytiques et géométriques (celles que vous indiquez) sont données et épuisées tant l’on a manié ce sujet [4]. On ne m’a pas encore envoyé de démonst. de la belle formule de Brassine qui exprime le rayon $\lambda$ de la sph. circonscrite en fonction des côtés et du vol. du tetdre [5].

Le théorème empirique sur les nombres impairs est de Mr Polignac, fils de l’ancien ministre, jeune homme qui aime de passion l’arithmologie ; une des singularités de notre époque [6]. Voici un autre théorème empirique : dans toute progression arithmétique $1$, $1+r$, $1+2r$,$\ldots$ il ne peut y avoir que deux termes consécutifs qui soient des puissances parfaites.
exle

$r=1$ ... on a $8$ et $9$ (Catalan)

$r=2$.........$25$, $27$

$r=3$......... $1$, $4$.

$r=4$.........$121$, $125$.

Je n’en ai pas encore trouvé pour $r=6$, c’est la généralisation de votre affaire [7].

Je ne désespère pas de voir démontrer beaucoup de ces cas particuliers du th. de Fermat ; c’est toujours q.q. chose en attendant le cas général ; est-il vrai pour les nombres complexes en général, d’après Kummer on pourrait en douter [8]. Voici un joli théorème de Steiner : dans un triangle donné, on ne peut inscrire que six coniques égales à une conique donnée. Les six centres sont sur une même circonférence dont le centre $C$ est indépendant de la conique et ne dépend que du triangle. Voici le pendant : à une conique donnée on ne peut circonscrire que six triangles égaux à un triangle donné ; les six points $C$ sont sur une même circonférence ayant pour centre celui de la conique. C’est un problème dans le genre difficile. Terminons par un autre dans le genre facile. L’aire d’une ellipse est égale à celle d’un cercle décrit sur un des diamètres de l’ellipse comme diamètre et multipliée par ce diamètre et divisée par le double du rayon de courbure perp.re à ce diamètre [9].

Profitez de votre séjour, pendant que nous sommes encore en république, pour vous faire élire roi de Navarre [10]. Il ne faut jamais désespérer du suffrage universel ; vous pouvez déjà compter sur une voix, sur la mienne et aussi sur la vôtre ; ce qui fait deux ; c’est ainsi que commencent les plus grands nombres. En attendant, jouissez bien de vôtre villégiature et amassez de la santé, c’est le souhait de vôtre tout affectionné

31 août 1849

O. Terquem

Post-scriptum :

L’auteur remercie Norbert Verdier qui lui a communiqué la lettre et l’a aidé grâce à sa connaissance précise de Terquem et de Catalan. Les mêmes remerciements vont aussi à Laurent Rollet.

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relectrices Nathalie Cartier et Marielle Simon pour leurs commentaires et propositions de correction, qui ont été très utiles pour améliorer la qualité de cet article.

Article édité par Laurent Rollet

Notes

[1Moritz Abraham Stern naît en 1807 dans une famille juive très religieuse, à Francfort. Il poursuit des études supérieures à Heidelberg puis à Göttingen, où il suit les cours de Gauss. En 1829, il soutient une thèse de doctorat sur les fractions continues, et l’arithmétique sera un des ses thèmes favoris. Restant à Göttingen, il sera nommé comme professeur extraordinaire en 1848, et c’est seulement en 1859 qu’il deviendra professeur ordinaire, devenant le premier juif obtenant ce titre en Allemagne. Il était considéré comme un excellent enseignant, eut comme élève Riemann et fut remplacé en 1884 par Félix Klein, avant de terminer sa vie en Suisse en 1894. Il est auteur de très nombreux articles et mémoires ; son nom reste attaché à la suite de Stern-Brocot, introduite en 1858 (M. A. Stern, « Über einse zahlentheoretische Function », Journal für die reine und angewandte Mathematik, 55, (1858), 193-220).

[2Ce que Terquem note $(s,n)$ (on écrit aussi $(n,s)$) est le nombre des partitions de l’entier $n$ en $s$ entiers distincts, c’est-à-dire le nombre de façons d’écrire $n$ comme somme de $s$ entiers naturels non nuls, l’ordre n’important pas ; et $[s,n]$ est le nombre de partitions de $n$ en $s$ entiers naturels non forcément distincts. Le problème est ancien, et a été étudié en premier par Euler. Dans le Journal de Crelle (Journal für die reine und angewandte Mathematik), Stern a écrit deux articles sur le sujet (tome 21, 1840, p.91-97, p.177-179). Dans le premier de ces articles, il démontre des formules de récurrence sur ces nombres. Il remarque en particulier que $[2,n]$ est égal à $\frac{n}{2}$ si $n$ est pair et $\frac{n-1}{2}$ si $n$ est impair, ce qui se résume à la partie entière de $\frac{n}{2}$ dans les deux cas. Il note cette partie entière de $\frac{n}{2}$ par $\overline{\frac{n}{2}}$. C’est à cette notation que fait allusion Terquem. Son article établit diverses formules de récurrence, et lui permet, par exemple, de justifier

$(n,3)={\overline{\frac{n-1}{2}}}+{\overline{\frac{n-4}{2}}}+{\overline{\frac{n-4}{2}}}+$...

Catalan a publié un article sur ce sujet dans ses Mélanges (p. 62-65) ; il y démontre élégamment des « théorèmes » qui se trouvent chez Euler et dans le premier article de Stern. Il indique également en note : « Les démonstrations suivantes, que je retrouve dans une lettre adressée autrefois à M. Terquem, m’avaient été demandées par ce regrettable savant. Elles n’ont jamais été imprimées ». Terquem reviendra sur cette question dans une lettre ultérieure.

[3C’est l’article Sur le problème de la sphère tangente à quatre plans donnés, Nouvelles annales de mathématiques, I, tome 9 (1850), p.352-361. Le problème consiste à chercher toutes les sphères inscrites ou exinscrites à un tétraèdre : il y a en a au maximum huit, mais moins sous certaines conditions. Le rédacteur indique que cet article est extrait de la Géométrie descriptive de Lafrémoire (titre complet : Traité élémentaire de géométrie descriptive, par H. Ch. de Lafrémoire et E. Catalan, Carilian-Goeury). On trouve l’article de Catalan p. 99 de ce traité.

[4Dans le tome 9 (1850) des Nouvelles annales de mathématiques, p. 148-150, Terquem fait une critique élogieuse du livre de Steiner Développement systématique de la dépendance des figures géométriques les unes des autres, ayant égard aux travaux des anciens et des nouveaux géomètres sur les porismes, les méthodes projectives,la géométrie de position, les transversales, la dualité et la réciprocité, etc. Première partie de 322 pages et 4 planches lithographiées paru en 1832 et en Allemand sous le titre Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten voneinander : mit Berücksichtigung der Arbeiten alter und neuer Geometer uber Porismen, Projections-Methoden, Geometrie der Lage, Transversalen, Dualität und Reciprocität, etc, Reiner, Berlin 1832.

[5Dans le tome 6 (1847) des Nouvelles annales de mathématiques, p. 226-230), E. Brassine, professeur à l’école d’artillerie de Toulouse, (il est notamment l’éditeur d’une nouvelle édition des Œuvres de Fermat) a écrit un article intitulé : Sur quelques propriétés des Polygones et des Polyèdres inscriptibles. — Expression du rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre. — Rayons de courbure des courbes à double courbure.

Cette formule s’écrit

$ R=\frac{1}{6V}\sqrt{p(p-aa')(p-bb')(p-cc')}$

où $V$ est le volume du tétraèdre, $(a,a')$, $(b,b')$ et $(c,c')$ les longueurs des couples d’arêtes opposées et $2p$ désigne la somme $aa'+bb'+cc'$. Cette jolie formule, qui fait penser à celles donnant l’aire d’un triangle ou d’un quadrilatère inscriptible en fonction des côtés, est donnée sans démonstration. En 1873, la revue publie la démonstration de Georges Dostor (Nouvelles annales de mathématiques, II, tome 12 (1873), p.370-374).

[6L’article est intitulé Six propositions arithmologiques déduites du crible d’Erathosthène, (Nouvelles annales de mathématiques, I, tome 8 (1849), p.423). Le « théorème empirique » est sans doute celui qui énonce que tout nombre impair est somme d’une puissance de 2 et d’un nombre premier. Cet énoncé est faux, le premier contre-exemple est 127. Alphonse de Polignac est entré à l’École polytechnique en 1849. C’est le petit-fils de la duchesse de Polignac, favorite de Marie-Antoinette, et le fils de Jules de Polignac, dernier premier ministre de Charles X. Alphonse de Polignac fera carrière dans l’artillerie tout en poursuivant son activité mathématique mais décède en 1863, à l’âge de 37 ans. Pour plus de détails sur sa vie et ses travaux, on pourra consulter l’article de Norbert Verdier et Olivier Bordellès, « Variations autour du postulat de Bertrand », Bulletin de l’association mathématique du Québec (2009). Voir également les Comptes Rendus de l’Académie des Sciences,1849 (p.738-739) et (p.397-401). Par « théorème empirique », il faut entendre « conjecture ».

[7Le cas $r=1$ est connu sous le nom de conjecture de Catalan, énoncée en 1844 (Journal de Crelle, tome 27, p. 192) de la façon suivante :

Je vous prie, Monsieur, de bien vouloir énoncer, dans votre recueil, le théorème suivant, que je crois vrai, bien que je n’aie pas encore réussi à le démontrer complètement, d’autres seront peut-être plus heureux : Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent être des puissances exactes ; autrement dit : l’équation $x^m-y^n = 1$, dans laquelle les inconnues sont entières et positives, n’admet qu’une seule solution.

Le même énoncé avait fait l’objet d’une question posée dans les Nouvelles annales en 1842 (question 48, p. 520). Cette conjecture s’est révélée exacte et a été démontrée en 2002, par Preda Mihailescu. On trouvera un entretien avec Preda Mihilescu dans le numéro 57 (Octobre 2015) du Bulletin de la Société des Amis de la Bibliothèque et de l’Histoire de l’École polytechnique (Sabix), numéro entièrement consacré à Catalan.

Le généralisation que propose Terquem s’appelle parfois conjecture de Pillai (Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1901–1950)) qui conjecture seulement que pour tout $r$, il y a un nombre fini de solutions.

[8Dans un article publié dans les Nouvelles annales de mathématiques (I, tome 8, 1849, p.362-365), la rédaction annonce que le grand prix de mathématiques de l’Académie des sciences pour l’année 1850 est consacré au grand théorème de Fermat :

Trouver pour un exposant entier $n$ quelconque les solutions en nombres entiers et inégaux de l’équation $x^n+y^n=z^n$, ou prouver qu’elle n’en a pas..

L’académie a reçu cinq mémoires. « Aucun d’eux n’a été jugé digne du prix », qui a été remis en jeu pour l’année 1853, et sera alors laissé au concours... Ce sujet avait déjà été proposé en 1816.

La suite de l’article consiste en une intéressante bibliographie, qui donne en particulier les références des tout derniers travaux de Kummer.

[9Dans un article de Paul Serret (1827-1898), on trouve une démonstration (indirecte) du premier résultat de Steiner. (Nouvelles annales de mathématiques, I, tome 8 (1849), p.456). Paul Serret est alors élève à l’École normale et c’est un pilier de la revue. Exclu de l’école pour insuffisance de résultats en physique, il sera toute sa vie enseignant dans des institutions privées.

Dans le tome suivant (Nouvelles annales de mathématiques, I, tome 9 (1850), p.5-9), le jeune Jules-Alexandre Mention (né en 1829, il est admis à l’École polytechnique en 1848, puis poursuivra une carrière dans l’enseignement privé) démontre également ce théorème ainsi que quelques autres. La rédaction précise que cette réponse a été reçue avant la précédente.

[10Catalan, républicain convaincu et actif, avait participé aux événements de février 1848. Il était présent à l’Hôtel de ville quand fut formé le premier gouvernement républicain, et se présenta devant les électeurs de la Seine aux élections de l’Assemblée Constituante : « Aujourd’hui, citoyens, pour récompense de mes services passés, je demande à rendre de nouveaux services à la patrie ; je demande à prendre part aux travaux de cette Assemblée qui, plus heureuse que la Convention Nationale, pourra mettre en pratique les principes de Liberté, d’Égalité, de Fraternité proclamés par celle-ci, et pour lesquels nos pères ont versé tant de sang et de larmes ! ». (République Française. [...] Aux Électeurs du Département de la Seine, consultable sur Gallica). Contrairement à son ami Liouville, Catalan ne fut pas élu. Il n’est pas sûr qu’il se soit présenté l’année suivante aux élections de l’Assemblée Nationale Législative.

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Pour citer cet article :

Jean Delcourt — «Du côté des lettres : une lettre d’Olry Terquem à Eugène Catalan (31 août 1849)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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