Du processus de découverte

27 janvier 2010  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (2)

J’ai eu entre les mains un formulaire pour la demande d’un financement de
recherches en mathématiques pures, dans lequel il fallait rédiger mois
par mois les résultats que l’on planifiait d’y démontrer. Un tel formulaire
montre une méconnaissance profonde du fonctionnement de la recherche.

Pour contribuer à remédier à cette méconnaissance, je pense qu’il est
important
d’expliquer par des exemples concrets la complexité des processus de
découverte.
Il n’est pas facile de trouver de tels exemples, car la plupart du
temps les articles
de recherche ne disent pas un mot du processus les ayant constitués, des
questions initiales, de leurs métamorphoses, des tâtonnements, de l’importance
des discussions avec d’autres chercheurs...
C’est compréhensible, puisque les chercheurs
craignent en général d’être pris pour de petits joueurs s’ils
montraient à quel point ils ont peiné pour démontrer quelque chose qui leur
parait évident a posteriori.

Heureusement, il arrive que des mathématiciens écrivent des
articles de souvenirs dans lesquels ils dévoilent certains aspects de
l’anatomie de la recherche.

Je choisis de donner ici un exemple de mon domaine de recherche,
la topologie des singularités. Je traduis des extraits d’un article [1]
du mathématicien allemand Egbert Brieskorn, élève de
Friedrich Hirzebruch.

Ces extraits concernent la découverte par Brieskorn
et Hirzebruch en 1965 d’équations
explicites pour des sphères exotiques, découvertes
quant à elles par le
mathématicien américain John Milnor vers 1956, ce qui lui valut une
médaille Fields. Ces équations intéressèrent tellement Milnor,
que pour mieux les comprendre il écrivit un livre qui fonda l’étude
topologique des singularités d’hypersurfaces.

Il n’est pas nécessaire de comprendre les mathématiques en jeu
pour découvrir dans ces extraits des aspects importants du
fonctionnement de la recherche. En particulier, je voudrais attirer
l’attention du lecteur sur les points suivants :

  • Le problème de départ n’a a priori rien à voir avec les sphères exotiques.
  • Brieskorn le résout dans tous les cas, sauf un, qui résiste. Ce dernier
    cas est donné par une équation explicite, d’une forme spéciale.
  • La suite d’équations étudiée par Brieskorn,
    de même type que celle qui résiste,
    est choisie afin d’arriver à un exemple
    calculable. Les suggestions d’autres mathématiciens ont été très
    importantes dans le choix de cette suite.
  • La porte d’entrée vers la découverte d’un lien avec les sphères exotiques
    a été un résultat « irritant » d’un calcul, n’apportant apparemment aucun renseignement
    pour le problème initial.
  • Si on avait demandé à Brieskorn de prévoir le déroulement de
    sa recherche, il se serait complètement trompé. En prenant au pied de la
    lettre un formulaire de planification qu’il aurait rempli, on aurait dû lui
    refuser des financements ultérieurs pour non respect du plan ...
  • Il s’agit néanmoins d’une recherche particulièrement fructueuse, car
    elle a déclenché un processus de découvertes en chaîne.

Je donne la parole à Brieskorn :


[...] j’ai demandé à Hirzebruch un problème pour mon premier travail
postdoctoral. C’était quelque part en 1963. Hirzebruch m’a donné un article
de 7 pages de Michael Atiyah publié en 1958 [...]. La construction
d’Atiyah [...] indique l’existence de résolutions simultanées pour des
applications [...] ayant seulement des singularités $A_1$.

Hirzebruch suggéra que je
pourrais essayer de généraliser cela des [...]
singularités de surfaces de type $A_1$ aux autres singularités de
surfaces de type $A_n, D_n, E_6, E_7, E_8$. [...] encouragé par mon
professeur,
j’ai construit en 1964 les résolutions simultanées pour $A_n, D_n, E_6$ et $E_7$.
[...] Ainsi le seul cas restant était $E_8$.

L’équation à considérer pour $E_8$ était

\[x^2 + y^3 + z^ 5 + t^{30} =0.\]

J’étais incapable de traiter ce cas avec les méthodes que j’avais utilisé dans
les autres cas. Pendant l’Arbeitstagung en 1965 j’ai parlé de ça avec
Heisuke Hironaka. Il suggéra que [...]
je devais étudier la cohomologie des bords des voisinages de
ces singularités [...].

[...] Mumford suggéra que je devais d’abord regarder l’exemple
plus simple
\[x^2 + y^3 + z^5 + t^2 =0.\]
C’est la singularité $E_8$ tridimensionnelle. J’ai décidé de faire d’abord
un exemple encore plus simple, nommément, le cas de la singularité $A_2$
tridimensionnelle

\[z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^3 =0.\]

[...] en Septembre 1965 j’ai fait la découverte irritante que cette
singularité
était topologiquement triviale. [...] Ainsi il n’y avait pas d’analogue du
théorème de Mumford pour les singularités de dimension plus grande que
deux. Bien sûr, j’ai dit cela immédiatement à Mumford et j’ai aussi
écrit une lettre à Hirzebruch. Dans cette lettre datée du 28 Septembre,
j’ai spéculé sur la singularité $E_8$ et de possibles liens avec la
construction par plombage du type $E_8$ faite par Hirzebruch, et les
sphères exotiques.

[...] J’ai essayé de prendre des forces en regardant le bel
icosaèdre de cristal
sur le linteau de mon appartement [2] [...], mais je ne parvins nulle
part et je devins
de plus en plus déprimé. En Décembre 1965 j’ai écrit à ma mère que
j’abandonnais $E_8$. [...]

Dans une lettre datée du 24 Mars 1966, Hirzebruch [...] obtint :

Théorème :

La variété
\[ \{ (z_0,...,z_5) \in \mathbb{C}^6 \: | \: z_0^3 + z_1^2 + \cdots + z_5^2 =0, ||z||=1 \} \]
est une sphère exotique.

[...] Deux semaines plus tard un nouvel acteur parut. Le 16 Avril, John Nash
me montra une lettre que John Milnor lui avait adressée. [...] Le
texte est le suivant :

« Cher John,

J’ai apprécié notre conversation de la semaine dernière. L’exemple de
Brieskorn est fascinant. Après l’avoir contemplé pendant un certain temps
je pense que je sais quelles variétés de ce type sont des sphères, mais
l’énoncé est compliqué et la preuve n’existe pas encore. [...]
 »

[...] même sans connaître les idées de Milnor, par un coup de chance
je fus capable de prouver
ses affirmations en moins de deux semaines. Sur
l’étagère des nouveautés dans la bibliothèque du MIT j’ai trouvé un
article de
Frédéric Pham soumis au Bulletin de la Société Mathématique de France
en 1965. [...] Pham, qui à l’époque travaillait au Service de
Physique Théorique
de Saclay était motivé par des problèmes qui semblaient à première vue
non reliés avec ce que l’on faisait.

[...] De ses résultats j’ai pu déduire sans peine la partie homologique des
affirmations de Milnor. [...]

[...] Pendant ce temps, fin Avril, Milnor avait fini un manuscrit
intitulé “Sur les singularités isolées des hypersurfaces”. Il ne donnait pas une
preuve complète
de son affirmation sur la classe de singularités considérée dans sa
lettre à Nash,
mais il contenait des résultats de fondement sur les singularités isolées
d’hypersurfaces arbitraires.

[...] je suis revenu à mon vieux problème de la construction de résolutions
simultanées pour [...] $E_8$, la singularité icosaédrale. Maintenant
j’ai été finalement capable de le résoudre.

Notes

[1Il s’agit de
« Singularities in the work of Friedrich Hirzebruch », publié en 2000
dans le volume VII de Surveys in Differential Geometry,
International Press, pages 17-60.

[2N.d.T : car la singularité
de type $E_8$ est intimement reliée à l’icosaèdre régulier.

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Du processus de découverte» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Du processus de découverte

    le 27 janvier 2010 à 14:44, par François Blanchard

    Excellente idée d’avoir présenté cet exemple d’une recherche dont le résultat était totalement imprévu. Et il n’a rien d’exceptionnel. À peu près chacun d’entre nous mathématiciens pourrait sortir le sien.
    Espérons qu’il aidera à convaincre quelques personnes, et parmi elles certains de nos collègues, qu’exiger des projets de recherche comportant un programme détaillé est dépourvu de sens.

    Répondre à ce message
  • Du processus de découverte

    le 28 janvier 2010 à 10:56, par Sandrine Caruso

    Voici un dessin humoristique qui, je trouve, illustre très bien le propos :
    http://abstrusegoose.com/230

    Répondre à ce message

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