J’ai eu entre les mains un formulaire pour la demande d’un financement de recherches en mathématiques pures, dans lequel il fallait rédiger mois par mois les résultats que l’on planifiait d’y démontrer. Un tel formulaire montre une méconnaissance profonde du fonctionnement de la recherche.
Pour contribuer à remédier à cette méconnaissance, je pense qu’il est important d’expliquer par des exemples concrets la complexité des processus de découverte. Il n’est pas facile de trouver de tels exemples, car la plupart du temps les articles de recherche ne disent pas un mot du processus les ayant constitués, des questions initiales, de leurs métamorphoses, des tâtonnements, de l’importance des discussions avec d’autres chercheurs... C’est compréhensible, puisque les chercheurs craignent en général d’être pris pour de petits joueurs s’ils montraient à quel point ils ont peiné pour démontrer quelque chose qui leur parait évident a posteriori.
Heureusement, il arrive que des mathématiciens écrivent des articles de souvenirs dans lesquels ils dévoilent certains aspects de l’anatomie de la recherche.
Je choisis de donner ici un exemple de mon domaine de recherche, la topologie des singularités. Je traduis des extraits d’un article [1] du mathématicien allemand Egbert Brieskorn, élève de Friedrich Hirzebruch.
Ces extraits concernent la découverte par Brieskorn et Hirzebruch en 1965 d’équations explicites pour des sphères exotiques, découvertes quant à elles par le mathématicien américain John Milnor vers 1956, ce qui lui valut une médaille Fields. Ces équations intéressèrent tellement Milnor, que pour mieux les comprendre il écrivit un livre qui fonda l’étude topologique des singularités d’hypersurfaces.
Il n’est pas nécessaire de comprendre les mathématiques en jeu pour découvrir dans ces extraits des aspects importants du fonctionnement de la recherche. En particulier, je voudrais attirer l’attention du lecteur sur les points suivants :
Je donne la parole à Brieskorn :
« [...] j’ai demandé à Hirzebruch un problème pour mon premier travail postdoctoral. C’était quelque part en 1963. Hirzebruch m’a donné un article de 7 pages de Michael Atiyah publié en 1958 [...]. La construction d’Atiyah [...] indique l’existence de résolutions simultanées pour des applications [...] ayant seulement des singularités $A_1$.
Hirzebruch suggéra que je pourrais essayer de généraliser cela des [...] singularités de surfaces de type $A_1$ aux autres singularités de surfaces de type $A_n, D_n, E_6, E_7, E_8$. [...] encouragé par mon professeur, j’ai construit en 1964 les résolutions simultanées pour $A_n, D_n, E_6$ et $E_7$. [...] Ainsi le seul cas restant était $E_8$.
L’équation à considérer pour $E_8$ était
$$x^2 + y^3 + z^ 5 + t^{30} =0.$$
J’étais incapable de traiter ce cas avec les méthodes que j’avais utilisé dans les autres cas. Pendant l’Arbeitstagung en 1965 j’ai parlé de ça avec Heisuke Hironaka. Il suggéra que [...] je devais étudier la cohomologie des bords des voisinages de ces singularités [...].
[...] Mumford suggéra que je devais d’abord regarder l’exemple plus simple $$x^2 + y^3 + z^5 + t^2 =0.$$ C’est la singularité $E_8$ tridimensionnelle. J’ai décidé de faire d’abord un exemple encore plus simple, nommément, le cas de la singularité $A_2$ tridimensionnelle
$$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^3 =0.$$
[...] en Septembre 1965 j’ai fait la découverte irritante que cette singularité était topologiquement triviale. [...] Ainsi il n’y avait pas d’analogue du théorème de Mumford pour les singularités de dimension plus grande que deux. Bien sûr, j’ai dit cela immédiatement à Mumford et j’ai aussi écrit une lettre à Hirzebruch. Dans cette lettre datée du 28 Septembre, j’ai spéculé sur la singularité $E_8$ et de possibles liens avec la construction par plombage du type $E_8$ faite par Hirzebruch, et les sphères exotiques.
[...] J’ai essayé de prendre des forces en regardant le bel icosaèdre de cristal sur le linteau de mon appartement [2] [...], mais je ne parvins nulle part et je devins de plus en plus déprimé. En Décembre 1965 j’ai écrit à ma mère que j’abandonnais $E_8$. [...]
Dans une lettre datée du 24 Mars 1966, Hirzebruch [...] obtint :
La variété $$ \{ (z_0,...,z_5) \in \mathbb{C}^6 \: | \: z_0^3 + z_1^2 + \cdots + z_5^2 =0, ||z||=1 \} $$ est une sphère exotique.
[...] Deux semaines plus tard un nouvel acteur parut. Le 16 Avril, John Nash me montra une lettre que John Milnor lui avait adressée. [...] Le texte est le suivant :
« Cher John,
J’ai apprécié notre conversation de la semaine dernière. L’exemple de Brieskorn est fascinant. Après l’avoir contemplé pendant un certain temps je pense que je sais quelles variétés de ce type sont des sphères, mais l’énoncé est compliqué et la preuve n’existe pas encore. [...] »
[...] même sans connaître les idées de Milnor, par un coup de chance je fus capable de prouver ses affirmations en moins de deux semaines. Sur l’étagère des nouveautés dans la bibliothèque du MIT j’ai trouvé un article de Frédéric Pham soumis au Bulletin de la Société Mathématique de France en 1965. [...] Pham, qui à l’époque travaillait au Service de Physique Théorique de Saclay était motivé par des problèmes qui semblaient à première vue non reliés avec ce que l’on faisait.
[...] De ses résultats j’ai pu déduire sans peine la partie homologique des affirmations de Milnor. [...]
[...] Pendant ce temps, fin Avril, Milnor avait fini un manuscrit intitulé “Sur les singularités isolées des hypersurfaces”. Il ne donnait pas une preuve complète de son affirmation sur la classe de singularités considérée dans sa lettre à Nash, mais il contenait des résultats de fondement sur les singularités isolées d’hypersurfaces arbitraires.
[...] je suis revenu à mon vieux problème de la construction de résolutions simultanées pour [...] $E_8$, la singularité icosaédrale. Maintenant j’ai été finalement capable de le résoudre. »
