Nous avons tous appris à construire un cercle au compas à l’école
primaire. Nous avons aussi appris qu’une partie du plan euclidien bordée
par un cercle est appelée un disque. Les disques ont cette propriété
remarquable d’être à la fois « convexes » et « de largeur constante » :
dire qu’une partie du plan bordée par une courbe est « convexe » signifie
que toutes les fois que l’on prend deux points A et B dans cette partie, le
segment qui les joint est entièrement contenu dans la partie considérée ;
et dire qu’elle est « de largeur constante » signifie alors que la distance
entre deux droites d’appui parallèles ne dépend pas de la direction de
ces droites. Dans le cas d’un disque, la largeur est bien sûr le diamètre.
On résume cela en disant qu’un cercle est une courbe convexe de
largeur constante du plan euclidien.

Mais, me direz-vous, les cercles ne sont-ils pas les seules courbes du
plan qui soient dotées de cette propriété remarquable d’être « convexe et
de largeur constante » ?

Eh bien, non ! Il en existe beaucoup d’autres. On peut même en
construire beaucoup au compas ! L’exemple le plus simple se construit
comme ceci : prenez deux points distincts du plan, disons A et B ; construisez le cercle de centre A et de rayon AB, puis le cercle de centre
B et de rayon AB ; ces deux cercles se coupent l’un l’autre en deux
points ; prenez l’un de ces deux points, nommez-le C et construisez le
cercle de centre C et de rayon AB. Les points appartenant aux trois
disques bordés par les cercles que vous venez de construire forment une
partie convexe et de largeur constante du plan. La courbe qui la borde,
formée de trois arcs de cercles de même rayon, est appelée un triangle
de Reuleaux, du nom de l’ingénieur mécanicien allemand Franz Reuleaux
qui a découvert au XIXème siècle que cette courbe est bien dotée de
cette fameuse propriété d’être « convexe de largeur constante » . Cette
propriété donne aux cercles et aux triangles de Reuleaux la possibilité
de rouler indéfiniment entre deux droites parallèles avec lesquelles ils
restent constamment en contact.

Construction au compas d’un triangle de Reuleaux

Mais alors, peut-on faire du vélo avec des roues en forme de courbes
convexes de largeur constante non circulaires ? Par exemple, avec des
roues en forme de triangle de Reuleaux ?

Eh bien, oui ! Certains s’y sont d’ailleurs essayés avec succès comme
cet ingénieux chinois Guan Baihua. Notez que sa roue avant n’est pas
un triangle de Reuleaux mais un pentagone de Reuleaux, lui aussi de
largeur constante.

Monsieur Guan Baihua sur son vélo d’exception

Voir le triangle de Reuleaux rouler :

Naturellement, il s’agit là d’une application purement récréative
du triangle de Reuleaux. Il en existe bien d’autres et des plus sérieuses. Le triangle de Reuleaux permet par exemple d’effectuer des forages de trous presque
carrés. Il est à noter que lors d’un tel forage, le centre de la tête du forêt en
forme de triangle de Reuleaux (c’est-à-dire le centre de son cercle circonscrit) ne reste pas statique : comme on le voit sur la figure ci-dessous
où ce centre est représenté par un point bleu, il se meut alors sur une
courbe fermée bien choisie

Forage de trous carrés

Pour mieux le comprendre, regarder cette animation :

Le lecteur intéressé par le triangle de Reuleaux pourra consulter cet article d’Images des Mathématiques qui lui a été consacré. Les enseignants pourraient également être intéressés par cet atelier de MATh.en.JEANS.

Le cas des courbes algébriques

Revenons à présent à nos simples cercles du plan euclidien et dotons
notre plan d’un repère orthonormé $(O; I, J)$. Le cercle de centre
$\Omega \left( a,b\right)$ et de rayon $r$ admet une équation cartésienne que l’on peut écrire sous la forme $P (x, y) = 0$, où $P (x, y) = (x - a)^2 +(y - b)^2-r^2$. En d’autres termes, ce cercle est une courbe algébrique réelle, c’est-à-dire une courbe dont l’équation cartésienne peut être mise sous la forme $Q(x,y) = 0$, où
$Q$ est une fonction polynomiale. Rappelons ici qu’une fonction $Q(x,y)$
est dite polynomiale si elle peut être formée à partir de $x$, de $y$ et de
constantes par un nombre fini d’additions et de multiplications.

Un cercle est donc une courbe algébrique convexe de largeur constante (contrairement à un triangle de Reuleaux qui, s’il est bien convexe et de largeur constante, n’est pas algébrique). Existe-t-il des courbes algébriques convexes de largeur constante qui ne soient pas circulaires ?

Eh bien, oui ! En 1997, l’américain Stanley Rabinowitz [5] a démontré qu’il existe une courbe convexe non circulaire de largeur constante formée de points dont les coordonnées satisfont tous l’équation $P (x, y) = 0$, où

Un peu compliqué me direz-vous ? Nous avons depuis réussi à faire
un peu mieux. Nous avons en effet démontré que l’ensemble des points du plan euclidien dont les
coordonnées $(x,y)$ vérifient

forme une courbe convexe non circulaire de largeur constante [2].

Nous ne pourrons certainement pas obtenir un meilleur résultat car il
a été démontré que si une courbe algébrique convexe de largeur constante
est non circulaire, alors elle est au minimum de degré 8 [1].

Cet exemple présente un petit avantage supplémentaire par rapport à
celui de Stanley Rabinowitz. Tous les points de la courbe de Rabinowitz
vérifient bien l’équation P (x; y) = 0. Mais ce ne sont pas les seuls :
l’ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient P (x; y) = 0
contient aussi des points isolés qui ne sont pas sur la courbe [4]. Par
chance, dans notre exemple, tous les points satisfaisant l’équation sont situés sur la courbe (ibidem).

Courbe convexe algébrique de largeur constante

Comment diable en sommes-nous venus à considérer cette courbe ?
Nous avions remarqué que la deltoïde représentée ci-dessous est une
courbe algébrique de degré 4 dont une équation cartésienne est

$(x^2+y^2)^2+18(x^2+y^2)-8y(y^2-3x^2)=27$

et qu’elle est (non convexe) de largeur constante 0. Comment une largeur
constante de zéro est-elle possible ? Observez ce petit bonhomme qui
se tient debout sur une tangente à la deltoïde et imaginez le point de
tangence se déplaçant sur la deltoïde dans le sens des aiguilles d’une
montre. Quand il parvient à la pointe en bas à gauche, il rebrousse
chemin à reculons et se trouve à l’extérieur de la deltoïde (on dit que l’extrémité
de la pointe est un point de rebroussement). Après un tour, le petit
bonhomme aura la tête en bas. Il sera alors sur une tangente parallèle
à la première qui se confond avec elle, si bien que la distance entre ces
tangentes sera nulle. Pour que le petit bonhomme revienne à sa position
initiale, il faudra que le point de tangence effectue un second tour.

Surfons sur la deltoïde

La deltoïde est donc parcourue deux fois. Déplaçons chaque point de
la deltoïde d’une distance constante sur la perpendiculaire orientée à la deltoïde
en ce point (orientée dans la direction de la tête de notre petit bonhomme). Nous obtenons ainsi des courbes dites parallèles à la deltoïde (par exemple sur notre figure ci-dessous, la courbe jaune, puis la verte en enfin la bleue).
La première d’entre elles qui est convexe est notre courbe.

Courbes colorées “parallèles”à la deltoïde

[1] M. Bardet and T. Bayen, On the degree of the polynomial defining a planar algebraic curves of constant width, arXiv2013.

[2] Y. Martinez-Maure, Noncircular algebraic curves of constant width:
an answer to Rabinowitz, HAL archive. La version définitive est à paraître dans le bulletin canadien de
mathématiques.

[3]
H. Martini, L. Montejano and D. Oliveros, Bodies of constant
width. An introduction to convex geometry with applications., Cham:
Birkhäuser (2019).

[4] C. Panraksa and L.C. Washington, Real algebraic curves of constant
width. Period. Math. Hung. 74 (2017), 235-244.

[5] S. Rabinowitz, A polynomial curve of constant width. Missouri J.
Math. Sci 9 (1997), 23-27, texte (en anglais) téléchargeable ici.

[6] Théorème de Barbier.

[7] Théorème de Blaschke-Lebesgue.